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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示


3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示

?? ?? ? 如果e1, e 2是同一平面内的两个不共线向量, ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 ? ? ?? ? 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 ?? ?? ? (e1、 e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。)

平面向量基本定理:

【温故知新】

平面向量的正交分解及坐标表示

y

? ? ? i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0).

? ? ? a ? xi ? y j

? a
x

? i

? o j

?? 我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以 ? ? 用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定 理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?

问题:

? ? ??? ? ???? ? ???? OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j.

z

??? ? ??? ? ? ? ? ? OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk. ?? ? 由此可知,如果 i, j , k 是空间两

两垂直的向量,那么,对空间任一 ?? 向量 p ,存在一个有序实数组 ? ? ? ? ? {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk .

?? ? ? ? 我们称 xi, y j, zk 为向量 p ?? ?

? ? k ? j O i
x

?? p

P

y Q



i, j, k上的分向量。

探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量

?? ? 代替两两垂直的向量 i, j , k
结论吗?

? ? ? a, b, c

,你能得出类似的

? ?? 如果三个向量 a, b, c不共面,那么对空间任一 ??
向量 ,存在一个唯一的有序实数组 {x,y,z} , p ? ? ? ? ? 使 p ? xa ? yb ? zc.

一、空间向量基本定理:

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? ?? a, b, c 都叫做基向量

特别提示:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面,
还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? (2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着 ? 它们都不是 0 。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。 推论:设O、A、B、C是不共线的四点,则对空间任一 点P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC.

当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面。

练习
1、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底. 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.

二、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 z 空间直角坐标系O--xyz
e3 e1 O x e2 y

点O叫做原点,向量e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐 标轴的平面叫做坐标平面。

三、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)
x e3 e1 O e2

z

p
y

例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1

D1 N C1

A B

D

分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可.

M

C

例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1

D1

N
A M B

C1 D

解: 连AN, 则MN=MA+AN 1 1 MA=- 3 AC =- 3 (a+b)

C

AN=AD+DN=AD-ND 1 = 3 (2 b + c ) ∴MN= MA+AN
=
1 (- 3

a + b + c )

例题
已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M,N,分别是对边OA,BC的中点,点P,Q是 线段MN三等分点,用基向量OA,OB,OC表 示向量OP,OQ.
O M A Q P C

N
B

练习 .空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c

点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则 MN=( ). 1 2 1 O (A) a - b + c
2 3 2 2 1 1 (B)- 3 a + b + c 2 2 1 1 2 (C) 2 a + b - c 2 3 2 1 2 (D) 3 a + b - 2 c 3

M A N C

B

练习2

练习: AB ? e1 ? 2e2 ? 3e2 ( e1、 1、在空间坐标系o-xyz中, e2、 e3 分 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量),则 AB 的坐标为 ,点B的坐标为 。 2、点M(2,-3,-4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ,关于原点的对称点 为 ,关于轴的对称点为 ,


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