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高中数学第三章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用课件苏教版选修_图文

回忆:
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的哪些最值问题?
1.几何方面的应用 (面积和体积的最值)
2.物理方面的应用. (功和功率的最值)
3.经济学方面的应用 (利润的最大值)

[基础练习]
1.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无 盖的铁盒时,在铁皮的四角各剪去一个 面积相等面积相等的小正方形,然后把 四边折起,就能焊接成无盖铁盒,所做 的铁盒容积最大时,在四边剪去的小正 方形的边长为多少?

[基础练习]
2.将长为104cm的铁丝剪成两段,各围 成长与宽之比为2:1及3:2的矩形,那么这 两个矩形面积之和的最小值为多少?

【例题】

1.强度分别为a, b的两个光源A, B间的距离为d,试问:

在连结两光源的线段AB上,何处照度最小?

(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比).

试就a=8, b=1, d=3时回答上述问题.

P点受A光源的照度为 I P点受B光源的照度为I B

ka

A?
?

xk2

?
b

(3 ? x)

8k x2
2?

(3

k ?

x)

2

(k为比例常数)

P点的总照度为

I (x)

?

8k x2

?

k (3 ? x)2

(0

?

x

?

3)

【巩固练习】
3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌汽 车,利润(单位:万元)分别为 L1 ? 5.06x ?0.15x2 和 L2 ? 2 x ,其中x为销量(单位辆)。 若该公司在这两地共销售15辆车,则能 获得的最大利润为多少?

▲ 此类优化问题的解题步骤:
1. 选取适当的自变量建立函数模型; (勿忘定义域!)
2. 用导数求函数在定义域内的极 值,此极值即所求的最值.
3. 用实际意义作答.

【例题】 2. 经济学中, 生产x单位产品的成本为成本函数, 记为C(x),
出售x单位产品的收益称为收益函数, 记为R(x), 利润是收益与成本之差, 记为P(x). (1) 若C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000, 则生产多少单位产品
时,边际成本C’(x)最低? (2) 若C(x)=50x+10000,产品单价p=100-0.01x,
则怎样定价可使利润最大?
[引申] 如何确定生产规模?( ? 数学模型 )
▲ 阅读理解课本:P38第5行—— 你理解这些图形吗?

【巩固练习】 1. 设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的 宽与高的比为?(?<1),画面的上下各留8cm空白,左右 各留5cm空白,怎样确定画面的宽与高的尺寸,能使宣 传画所用纸张面积最小?
面若积要最求小???[32 , 43],则?为何值时,能使宣传画所用纸张
8

5x

5

8

2. 某工厂统计资料显示,次品数 y 依赖于日产量 x ,

其关系表如下: ( x ? N*, x ? 100 )

x1

2

3

4



99

10 0

y

1 100

2 99

3 98

4 97



99 2

10 0

y

?

x 101?

x

该产品售出一件可盈利a元, 但出一件次品就损失a/3元. 为获取最大利润, 日产量应为多少?



盈利总数

P(x)

=

a (x?101x?x)

-

a 3

(101x? x)

3. 一列车队,每辆车长5m,速度v(km/h),两车之间的

合适间距为0.18v+0.006v2(m). 问:

车速v为多少时,单位时间段内通过的汽车数量最多?

● 建模:

(即车流量最大).

1小时内汽车的路程为 S = vt

dddd

d

一辆车占去的路长为d ?5?0.18v?0.006v2

1小时内通过的汽车数量为Q

?

S d

?

5

?

1000v 0.18v ? 0.006v2

[练习] P39/4.

【课后作业】
1. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积 为160m2的污水处理池, 若池外壁造价 为112元/m, 中间隔墙造价为96元/m, 池底造价为100元/m2 (池壁厚度忽略不 记,且池无盖).
(1) 当污水处理池的长为多少时, 其总造价最低? (2) 因地形限制,长、宽都不超过15m, 当污水处理池的
长为多少时,其总造价最低?

2. 如图,在施工地中心设一灯架,上面挂一

“太阳”灯, 问: 灯离地面多高时, 可使与工地

?r

中心距离为a的圆形施工区域边上有最大照度?

(照度与cos?成正比, 与光源距离r的平方成反比)

a

【上本作业】

1. P81/1, 2, 3.

2.

已知函数

f(x)

=

x+

a x

.

(1) 当a=1时,求f(x)的单调区间;

(2) 求f(x)的单调区间;

(3) 判断f(x)在(0, 1]上的单调性.