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1100x.com:高中数学第二章平面向量第四节平面向量的数量积(第二课时)示范教案新人教A版必修4

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第二章第四节平面向量的数量积第二课时
整体设计 教学内容分析
以物体受力做功为背景引入数量积的概念,使向量数量积运算与物理知识联系起来;向 量数量积与向量的长度及夹角的关系;进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有 关的性质、几何意义和运算律.
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修 4》(A 版)第二章、第 4 节 第 1 课时.它是平面向量的核心内容,向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位 置关系,而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征,向量的数量积恰好是解决问题的一 个重要工具.
本节的知识结构:
学生学习情况分析 本节以力对物体做功作为背景,研究平面向量的数量积,以及对运算律的理解和平面向
量的数量积的灵活应用.但是,学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量,寻找两 向量的夹角又容易想当然.通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内 容.利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角,这些刻画几何元素(点、 线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆.利用数量积运算来反映向量的长度和两个向 量间夹角的关系解决问题,是学生学习本节内容的重点又是难点.由向量的线性运算迁移, 引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡,深入浅出、符合学生的认知规律,也有利于明 确本节课的教学任务,激发学生的学习兴趣和求知欲望. 设计思想
《高中数学课程标准》指出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手 实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”,转变学生的学习方式,激发学生 的学习积极性,让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来,这是新课程数学教学的 基本要求.《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过 程与方法,培养学生的情感态度、价值观的三维目标.为此,结合本节课的教学内容,教学 中注重过程、方法,注重引导学生自觉去看书,不断提出问题、研究问题,并解决问题.重 视在师生,生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观. 教学目标
通过师生互动、学生的自主探究:(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义;(2) 掌握向量数量积的性质和运算律,会进行平面向量数量积的运算;(3)能运用数量积表示两 个向量的夹角,会用数量积判断两个向量的垂直关系;(4)通过向量的线性运算及多项式乘 法运算的对照,强化学生的类比思想;通过数量积的性质、运算律的灵活应用,发展学生从 特殊到一般的能力,培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯. 教材重点和难点
重点是平面向量的数量积的概念和性质;用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹 角;平面向量数量积的运算律的探究及应用.
难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解;平面向量数量积的灵活应用. 教学过程
情境 1
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问题 回忆物理中“功”的计算,它的大小与哪些量有关?结合向量的学习你有什么想 法?若一个物体在力 F 的作用下产生的位移为 s,那么力 F 所做的功 W 等于多少?
图3 设计意图 以物理问题为背景,初步认识向量的数量积,为引入向量的数量积的概念作铺垫. 师生互动 生:W=|F||s|cosθ (其中 θ 是 F 和 s 的夹角). 师:功是一个矢量还是标量?它的大小由哪些量来确定? 显然功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定.从中我们得到一个启发:能否将功 看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢?从而得出平面向量的“数量积”的概念. 情境 2 1.定义向量数量积.弄清定义中涉及哪些量?它们有怎样的关系?运算结果是向量还 是数量? 2.如何确定两个非零向量的数量积的符号,什么情况下值为零? 设计意图 使学生从感性到理性去认知数量积的定义.通过对概念的认识、分析和探究,使学生加 深理解,并掌握相关的性质及几何意义.同时加深对投影的认识. 师生互动 1.仿照物理问题建构“数学模型”,引入“向量数量积”的概念:已知两个非零向量 a 与 b,把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作:a·b,即 a·b= |a||b|cosθ (其中 θ 是 a 与 b 的夹角).|a|cosθ (|b|cosθ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影.
图4 2.规定:零向量与任何向量的数量积为 0. 3.(1)数量积运算结果的符号取决于 a 与 b 的夹角 θ (θ ∈[0,π ])的大小;(2)两个 向量的数量积是一个数量,它与两个向量的长度及其夹角有关;(3)符号 a·b 不能写成 ab 或 a×b 的形式;(4)找向量的夹角时,应将两向量的起点平移到同一个点上. 4.探究其性质: (1)a⊥b?a·b=0(a 与 b 都是非零向量); 设置情境:若 a·b=0,则向量 a 与 b 至少有一个是零向量.类比 a,b∈R 时,若 ab =0?a=0 或 b=0.而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用. (2)当向量 a 与 b 共线同向时,a·b=|a||b|;当向量 a 与 b 共线反向时,a·b=-|a||b|. 特别地 a·a=a2=|a|2 或|a|= a·a= a2(与二次根式性质: a2=|a|进行类比).这是求 向量长度的又一重要方法. 情境 3 由学生自主学习来完成书本例题 1. 设计意图 通过计算巩固对数量积定义的理解,进一步引导学生对|a·b|和|a||b|的大小关系进行 一般的研究比较. 师生互动 从例 1 容易得出性质|a·b|≤|a||b|和数量积的几何意义. 情境 4 给学生 2~3 分钟时间,阅读教材,并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结.
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设计意图 培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯.把课堂还给学生,体现师生间的 合作探究,不管是老师还是课件,都是为学生服务的,都在同步配合学生的学习和探索. 师生互动 学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法,老师可以有针对性的进行学习方法点拨, 并指出对学习过程进行及时反思的重要性. 情境 5 运算律和运算是紧密相联的,类比实数运算中的运算律,探究平面向量数量积的运算律. 设计意图 通过类比、探究使学生得出数量积的运算律,进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的 能力. 师生互动 1.回顾实数运算中有关乘法的运算律.类比数量积的运算律,体会不同运算的运算律 不尽相同,需要研究. 已知向量 a、b、c 和实数 λ ,则 (1)a·b=b·a; (2)(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b); (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 2.对向量数量积的运算律进一步研究. (1)a(b·c)=(a·b)c 成立吗?显然,等式左边与向量 a 共线,右边与向量 c 共线,而 向量 a 与 c 不一定共线,因此结论不一定成立; (2)由 a·b=b·c 能否推出 a=c?(反例:当 a=0,b⊥c 时,有 a·b=b·c=0.但不 能得到 c=0).结合实数 a,b,c(b≠0),有 ab=bc? a=c 进行类比,辨析. 3.老师可以通过学生的讨论进行纠错,理解不同的运算具有不同的运算律,体会到数 学的法则与法则之间的区别与联系.同时注意利用学生的错误这一重要资源,让学生更容易 找到易错点和易混点,从而更清晰、准确地掌握知识. 情境 6 例 2、例 3、例 4 的教学. 设计意图 1.要求学生体会实际解题中运算律的作用,比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同 工. 2.学会利用数量积来解决有关垂直问题,体会运算律带来的优越性. 3.上面几个例题,层层递进,都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题, 体现了知识和方法上的转化. 师生互动 1.老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比. 2.让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练,进一步体 现向量的工具作用. 情境 7 课后反思:让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法. 设计意图 让学生整理相关的学习内容,使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分的体现, 体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法,培养学生思考问 题、分析问题、解决问题的能力. 教学反思 本节课教学效果不错,主要是把学习的主动权交还给学生,注意学生的主动探索、思考 及师生互动,还以物理知识为背景,建立了数学的平面向量数量积的概念和运算.使得学习 内容直观、生动,抓住重点.使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主 动学习合作交流,体验数学的发现和创造过程,培养学生数学表达和交流的能力.在课堂中 会体现自我,学会自己寻找解题的突破口,在探究中学会思考,在合作中学会推进,在观察 中学会比较,进而推进整个教学程序的展开.但自我感觉“讲”的还是偏多了一点,对于学
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生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够,以后应该更加注意引导.
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