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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度上学期高一期中考试数学试题(word含答案)


湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高一期中考试

数 学 试 卷
命题人:市 49 中 唐和海 审题人: 武汉四中 晏海燕
全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1、已知全集 U={0,1,2,4,6,8,10},集合 A={2,4,6},B={1},则 UA∪B 等于( ) A、{0,1,8,10} B、{1,2,4,6} C、{0,8,10} D、Φ 2、函数 y ? A、 ( , ??)

log 1 (4 x ? 3) 的定义域为(
2

) C、 ( ,1]

3 4

B、 (??, )

3 4

3 4

D、 ( ,1) )

3 4

3、若 f ? x ? ? 2 x ? 3, g ? x ? 2? ? f ? x ? , 则 g ? x ? 表达式为 ( A、 2 x ? 1 B、 2 x ? 1 C、 2 x ? 3 D、 2 x ? 7 2 2 4、已知 A={y︱y=x -2};B={ y︱y=-x +2},则 A∩B=( A、{(- 2 ,0) , ( 2 ,0)} C、[-2,2]
3



B、[- 2 , 2 ] D、{- 2 , 2 }

5、方程 x ? x ? 3 ? 0 的实数解落在的区间是 A、 [?1, 0] B、 [0,1] C、 [1, 2] D、 [2,3] 6、设 f ( x ) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f (x ) ? 0 的解集是( A、 x | ?3 ? x ? 0或x ? 3 C、 x | x ? ?3或x ? 3 )

?

?

B、 x | x ? ?3或0 ? x ? 3

?

? ?
1 ) a

?

?

D、 x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3

?

7、对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式 ① log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ③a
1? a

1 ) a

② log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ④a
1? a

?a

1?

1 a

?a

1?

1 a

其中成立的是( A、①与③

) B、①与④

C、②与③

D、②与④

3 8、已知 f ( x) ? ax ? bx ? 4 其中 a , b 为常数,若 f (?2) ? 7 ,则 f (2) 的值等于

A、15 B、-7 C、14 D、 -15 2x 9、设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a -2ax-2),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)

)

10 、设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在

x ? [a, b] 上有两个不同的零点, 则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [ a, b] 上是“关联函数”, 区间 [ a, b] 称
为“关联区间”.若 f (x) ?x 2 ?3x ?4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数”,则 m 的取值范围 ( A、 ( ? ) B、 [?1, 0] C、 (??, ?2] D、 (? , ??)

9 , ?2] 4

9 4

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)
。 。

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 2 11、已知 f(x)=x +2x+4(x∈[-2,2])则 f(x)的值域为 12、已知 f(x-1)的定义域为[-3,3],则 f ? x ? 定义域为 13 、 已 知 列)

a=2-3 ;b=(
.

1 -2 ) ;c=log20.5. 则 a,b,c 的 大 小 关 系 是 ( 从 大 到 小 排 2
.

14、函数 y ? log 1 ( x 2 ? 2mx ? 3) 在 ( ??, 1) 上为增函数,则实数 m 的取值范围是
2

15、已知函数

f ( x) ?

?

( a ? 3) x ? 5 ( x ?1) 2 a ? log a x ( x ?1) 是(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值

范围是 . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)计算: (1) 、已知全集为 R,集合A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x | 1 ? x ? 6}, 求
2 3
U

A∩

U

B。

(2) 、3

g ol

3

4

? 27 ? lg 0.01? ln e3

17. (本题满分 12 分) 已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x?-x-1; (1)求 f(x)的解析式; (2)作出函数 f(x)的图象(不用列表) ,并指出它的增区间。

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ax2 ? 2x ? 1) ;g(x)= log 1 ( x 2 ? 4 x ? 5)
2

(1)若 f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围. (2)若 f ( x ) 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围. (3)求函数 g(x)的递减区间。

19.(本小题满分 12 分) 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购, 决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元, 但实际出厂单价不能低于51元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元? (2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元.写出函数P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是 多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)

20. (本题满分 13 分)

?2 x ? b 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数。 2 ?a (Ⅰ)求 a , b 的值;
(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (2t 2 ? t ) ? f (t 2 ? t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围

21.(本小题满分 14 分) 函数f(x)对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时f(x)<0恒成立. (1)证明函数f(x)的奇偶性; (2)若f(1)= -2,求函数f(x)在[-2,2]上的最大值;

(3)解关于 x 的不等式

1 1 f (?2 x 2 ) ? f ( x) ? f (4 x) ? f (?2) 2 2

2014-2015 学年度上学期高一期中考试数学试卷参考答案
一、 选择题:
题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 C 6 D 7 D 8 D 9 C 10 A

二、 填空题
11.

?3,12?

12.[-4,2]

13. b>a>c

14. [1,2]

15. (1,2]

三、解答题
16. (本题满分 12 分=6 分+6 分) (1) 、解法一: CU A = {x x ? ?2或x ? 5} ????2 分

CU B = {x x ? 1或x ? 6} ????4 分
∴ CU A ∩ CU B = {x x ? ?2或x ? 6} ????6 分 解法二: CU A ∩ CU B = CU ( A ? B) = {x x ? ?2或x ? 6} ????6 分 (2) 、0 ????12 分 17. (本题满分 12 分) 解: (1)设 x<0,则–x>0 ∴f(-x)=(-x)?-(-x)-1=x?+x-1 ????3 分 又∵函数 f(x)为奇函数 ∴f(-x)= -f(x) ∴f(x)= –f(-x)= -x?-x+1 ????6 分 当 x=0 时,由 f(0)=– f(0),∴f(0)=0 ????7 分 x?-x-1(x>0) ∴f(x) = 0(x=0) ????????8 分 -x?-x+1(x<0) y

1 -

1 2
O -1 x

1 2

(2)由函数图象????????11 分 易得函数的增区间为: (-∞,- 18. (本题满分 12 分) (1)若 f ( x ) 的定义域为 R ,则 y= ax ? 2 x ? 1 的图象恒在 x 轴的上方,
2

1 1 ) , ( ,+∞)????12 分 2 2

∴?

a?0 ?? ? 4 ? 4a ? 0 ?

?a ? 1

????4 分

2 (2)若 f ( x ) 的值域为 R ,则 y= ax ? 2 x ? 1 的图象一定要与 x 轴有交点,

?a ? 0或? ?

a?0 ? ? ? 4 ? 4a ? 0

? 0 ? a ?1

????8 分

(3)先求出 g(x)的定义域为{x︱x<-1 或 x>5}????10 分 ∴g(x)的减区间为(5,+∞)????12 分 19.(本小题满分 12 分) (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为xo个,则xo=100+

60 ? 51 =550 0.02

因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元????2分 (2)当0<x≤100时,P=60 当100<x<550时,P=60-0.02(x-100)=62当x≥550时 P=51

x 50

?60 0 ? x ? 100 ? x ? P=f(x)= ?62 ? 100 ? x ? 550 50 ? x ? 550 ? ?51

(x∈N)

????????6分

(3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则

?20x 0 ? x ? 100 ? x2 ? 100 ? x ? 550 L=(P-40)x= ?22x ? 50 ? x ? 550 ? ?11 x

(x∈N)

当x=500时 L=6000;当x=1000时,L=11000 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润为 6000 元,如果订购 100 个利润 为 11000 元. ????????????12 分 20. (本题满分 13 分) (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. ????4 分 a?4 a ?1 1 ? 2x 1 1 ?? ? x (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ? ,易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1 2 2 为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式: f (2t ? t ) ? f (t ? t ? k ) ? 0 2 2 2 等价于 f (2t ? t ) ? ? f (t ? t ? k ) = f (?t ? t ? k ) ,因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: 2 即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 , 1?

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .
2

1 3

????13 分
2

(或: 即对一切 t ? R 有:k<3t -2t,又 3t -2t=3 (t ? ) -
2

1 3

1 1 ≥- 3 3

∴k<-

1 ????13 分) 3

解法二:由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 ? 2x .又由题设条件得: 2 ? 2 x ?1

? ? 0, 2 2 2 ? 2t ?2t ?1 2 ? 22t ? k ?1 2 2 2 2 即 : (22t ?k ?1 ? 2)(1 ? 2t ?2t ) ? (2t ?2t ?1 ? 2)(1 ? 22t ?k ) ? 0 ,
整理得

1 ? 2t

2

? 2t

1 ? 22 t

2

?k

23t

2

?2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

21.(本小题满分 14 分) (1)令x=y=0得f(0)=0,再令y=—x即得f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数 ????2分 (2)设任意x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,由已知得 f(x2-x1)<0(1) 又f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)(2) 由(1) (2)可知f(x1)>f(x2), 由函数的单调性定义知f(x)在(-∞,+∞)上是减函数??????????6分 ∴x∈[-2,2]时,[f(x)]max= f(-2)= - f(2)= - f(1+1) =-2f(1)=4, ∴f(x)当x∈[-2,2]时的最大值为4. ????????????8分 2 (3)由已知得:f(-2x )-f(4x)>2[f(x)-f(-2)] 由(1)知f(x)是奇函数, 2 ∴上式又可化为:f(-2x -4x)>2[f(x+2)]= f(x+2)+ f(x+2)= f(2x+4) 由(2)知f(x)是R上的减函数, 2 ∴上式即:-2x -4x<2x+4 化简得 : ( x ? 2)(x ? 1) ? 0

{x | x ? ?2或x ? ?1} ∴ 原不等式的解集为

????????14分


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