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【解析版】广东省佛山市2013年高考数学一模试卷(文科)


2013 年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 分) (5 (2013?潮州二模)设 i 为虚数单位,则复数 A. B. C. 等于( ) D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的复数分子分母同时乘以 2﹣i,然后整理成 a+bi(a,b∈R)的形式即可. 解答: 解: = . 故选 A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的共轭复数,是基 础题. 2. 分) (5 (2013?东莞二模)命题“?x∈R,x +1≥1”的否定是( ) 2 2 2 A.?x∈R,x +1<1 B.?x∈R,x +1≤1 C.?x∈R,x +1<1
2

D.?x∈R,x +1≥1

2

考点: Venn 图表达集合的关系及运算;交、并、补集的混合运算. 专题: 规律型. 分析: 全称命题:“?x∈A,P(x)”的否定是特称命题:“?x∈A,非 P(x)”,结合已知中原命题“?x∈R, 2 都有有 x +1≥1”,易得到答案. 2 解答: 解:∵ 原命题“?x∈R,有 x +1≥1” 2 ∴ 命题“?x∈R,有 x +1≥1”的否定是: 2 ?x∈R,使 x +1<1. 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是命题的否定, 其中熟练掌握全称命题: “?x∈A, P (x) ”的否定是特称命题: “?x∈A, 非 P(x)”,是解答此类问题的关键. 3. 分) (5 (2013?佛山一模)程序框图如图所示,该程序运行后输出的 i 的值是( )

A.10

B.11

C.12

D.13

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计 算并输出 S 值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到最 终的输出结果. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 a b i 循环前/4 2 1 第一圈 是2 1 2 第二圈 第三圈 第四圈 … 第9圈 第 10 圈 第 11 圈 第 12 圈 是 是 是 是 10 11 12 13 是1 是 是 4 5 3

第 13 圈 否 该程序运行后输出的 i 的值是 13, 故选 D.

点评: 本题考查循环结构的程序框图,解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件.属于基础题.

4. 分) (5 (2013?佛山一模)已知 =(1,2) =(0,1) =(k,﹣2) , , ,若( +2 )⊥ ,则 k=( A.2 B.﹣2 C.8 D.﹣8



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的坐标运算易得 的坐标,进而由 的方程,解之可得答案. 解答: 解:∵ =(1,2) =(0,1) , , ∴ 又因为 所以 =(1,4) , , =k﹣8=0,

可得它们的数量积为 0,可得关于 k

解得 k=8, 故选 C 点评: 本题考查平面向量数量积和向量的垂直关系,属基础题.

5. 分) (5 (2013?潮州二模)已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=2x﹣y 的最大值为(



A.﹣3

B.

C.5

D.6

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=2x﹣y 对应的直线 进行平移,可得当 x=2,y=﹣1 时,z 取得最大值 5. 解答: 解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ ABC 及其内部,

其中 A(﹣1,﹣1) ,B(2,﹣1) ,C(0.5,0.5)

设 z=F(x,y)=2x﹣y,将直线 l:z=2x﹣y 进行平移, 当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴ 最大值=F(2,﹣1)=5 z 故选:C 点评: 题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=2x﹣y 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平 面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 6. 分) (5 (2013?佛山一模)已知集合 M={x||x﹣4|+|x﹣1|<5},N={x|a<x<6},且 M∩ N={2,b},则 a+b= ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 集合 M 中的不等式表示数轴上到 1 的距离与到 4 的距离之和小于 5,求出 x 的范围,确定出 M,由 M 与 N 的交集及 N,确定出 a 与 b 的值,即可求出 a+b 的值. 解答: 解:由集合 M 中的不等式,解得:0<x<5, ∴ M={x|0<x<5}, ∵ N={x|a<x<6},且 M∩ N=(2,b) , ∴ a=2,b=5, 则 a+b=2+5=7. 故选 B 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 7. 分) (5 (2013?河东区二模)函数 f(x)=e +x ﹣2 在区间(﹣2,1)内零点的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
x 2



考点: 利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 由已知中函数的解析式,求出导函数 f'(x)的解析式,和导函数的导函数 f''(x)的解析式,分析 f''(x)的符号,求出 f'(x)的单调性,进而分析 f'(x)的符号,再分析函数 f(x)在区间(﹣2, 1)的单调性及极值,进而结合零点存在定理,得到答案. x 2 解答: 解:∵ f(x)=e +x ﹣2 x 得 f'(x)=e +2x x f''(x)=e +2>0 从而 f'(x)是增函数, f'(﹣2)= ﹣4<0

f'(0)=1>0 从而 f'(x)在(﹣2,1)内有唯一零点 x0,满足 则在区间(﹣2,x0)上,有 f'(x)<0,f(x)是减函数, 在区间(x0,1)上,f'(x)>0,f(x)是增函数. 因为 f(﹣2)= +2>0,f(x0)<f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0

从而 f(x)在(﹣2,1)上有两个零点. 故选 B 点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,使用导数法,判断函数的单调性是解答的关键,

但需要二次求导,难度中档.

8. 分) (5 (2013?佛山一模)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

的焦点与顶点, )

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

的焦点与顶点,确定双曲线的顶点

与焦点,再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,确定双曲线的渐近线, 从而求出椭圆的离心率. 解答: 解:∵ 双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 的焦点与顶点

∴ 双曲线的顶点是

,焦点是(±a,0)

设双曲线方程为

∴ 双曲线的渐近线方程为 ∵ ∴ n=b ∵ 双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形 ∴ 双曲线的渐近线方程为 y=±x ∴ m=n ∴ ﹣b =b a 2 2 2 ∴ =a ﹣c c 2 2 ∴ =2c a ∴ ∴ 故选 D. 点评: 本题以椭圆方程为载体,考查双曲线的几何性质,考查椭圆的离心率,正确运用几何量的关系是关 键. 9. 分) (5 (2013?佛山一模)一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示, 则该几何体的侧视图可以为( )
2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 通过正视图与俯视图,判断几何体的形状,然后推断侧视图的图形即可. 解答: 解:由题意可知,几何体是长方体被截去正面左上部一个角的图形,如图:

因此它的侧视图是 故选 B.

点评: 本题考查三视图与几何体的关系,考查空间想象能力.
2

10. 分) (5 (2013?济宁二模)设二次函数 f(x)=ax ﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) ,则 为( A.3 ) B. C.5 D.7

的最小值

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先判断 a、c 是正数,且 ac=4,把所求的式子变形使用基本不等式求最小值. 解答: 解:由题意知,a>0,△ =1﹣4ac=0,∴ ac=4,c>0, 则 则 则 ≥2× =3,当且仅当 时取等号,

的最小值是 3.

故选 A. 点评: 本题考查函数的值域及基本不等式的应用,求解的关键就是拆项,属于基础题.

二、填空题:必做题(11~13 题)每小题 5 分. 11. 分) (5 (2011?上海)课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应 的城市数分别为 4,12,8,若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数为 2 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 根据本市的甲、乙、丙三组的数目,做出全市共有组的数目,因为要抽取 6 个城市作为样本,得到 每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目,得到结果. 解答: 解:∵ 某城市有甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为 4,12,8. 本市共有城市数 24, ∵ 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 6 的样本 ∴ 每个个体被抽到的概率是 ∵ 丙组中对应的城市数 8, ∴ 则丙组中应抽取的城市数为 ×8=2, 故答案为 2. 点评: 本题考查分层抽样,是一个基础题,解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等, 做出一种情况的概率,问题可以解决. ,

12. 分) (5 (2013?佛山一模)函数 y=sinx+sin(x﹣

) 的最小正周期为 2π ,最大值是



考点: 两角和与差的正弦函数;诱导公式的作用. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与差的正弦函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式,然后直接求出函数的周期与 最大值. 解答: 解:因为函数 y=sinx+sin(x﹣ )=sinx+ sinx﹣ cosx= sin(x﹣ ) . 所以函数的周期为 T= =2π (2 分) ;

函数的最大值为: (3 分) 故答案为:2π; . 点评: 本题考查三角函数的化简求值,函数周期的求法,考查基本知识的应用. 13. 分) (5 (2013?佛山一模)观察下列不等式: ① <1;② +;③ . ;…则第 5 个不等式为

考点: 归纳推理;进行简单的合情推理. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 前 3 个不等式有这样的特点,第一个不等式含 1 项,第二个不等式含 2 项,第三个不等式含 3 项, 且每一项的分子都是 1,分母都含有根式,根号内数字的规律是 2;2,6;2,12;由此可知,第 n 个不等式左边应含有 n 项,每一项分子都是 1,分母中根号内的数的差构成等差数列,不等式的右

边应是根号内的序号数. 解答: 解:由① <1; ② ③ +; ; ; . .

归纳可知第四个不等式应为 第五个不等式应为 故答案为

点评: 本题考查了合情推理中的归纳推理,归纳推理是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想, 再进行归纳,然后提出猜想的推理.是基础题. 三、选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)每小题 5 分 14. 分) (5 (2013?崇明县二模)在极坐标系中,直线过点(1,0)且与直线 的极坐标方程为 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 先将直线极坐标方程 且与直线 解答: . (ρ∈R)垂直,则直线

(ρ∈R)化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程进行求解过点(1,0)

(ρ∈R)垂直的直线方程,最后再化成极坐标方程即可. (ρ∈R)的直角坐标方程为: x﹣y=0 垂直的直线方程为:y=﹣ y﹣1=0, x﹣y=0, (x﹣1) ,

解:由题意可知直线 过点(1,0)且与直线 即所求直线普通方程为 x+

则其极坐标方程为 . 故答案为: . 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 利用直角坐标与极坐标间的关系, 即利用 ρcosθ=x, ρsinθ=y, 2 2 2 ρ =x +y ,进行代换即得. 15. (2013?佛山一模) (几何证明选讲)如图,M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点,直线 l 过点 M 分 别交 AD,AC 于点 E,F.若 AD=3AE,则 AF:FC= 1:4 .

考点: 向量在几何中的应用.

专题: 压轴题. 分析: 利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可得出. 解答: 解:如图所示,设直线 l 交 CD 的延长线于点 N. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ CD,AB=CD. AB∥ ∵ 是边 AB 的中点,∴ M ∴ ,∴ . .

故答案为 1:4.

点评: 熟练掌握平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键. 四、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2013?崇明县二模)如图,在△ ABC 中,∠ C=45°,D 为 BC 中点,BC=2.记锐角∠ ADB=α.且 满足 cos2α= .

(1)求 cosα; (2)求 BC 边上高的值.

考点: 正弦定理;二倍角的余弦. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)由二倍角公式 cos2α=2cos2α﹣1,可求 cosα (2)方法一、由 ( )=sin 可求 sinα,而∠ CAD=∠ ADB﹣∠ C=α﹣45°,利用 sin∠ CAD=sin ,代入可求 sin∠ CAD,最后再 ,可求 AD,从而可由 h=ADsin∠ ADB 求解 ,设出 AD,则可表示

由正弦定理

方法二、作 BC 边上的高为 AH,在直角△ ADH 中,由(1)可得 DH,AH,结合△ AHC 为等腰直角三角形,可得 CD+DH=AH,代入可求 解答: 解: (1)∵ cos2α=2cos α﹣1= ∴ ,
2







∴ cosα= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (2)方法一、由(1)得 ∵CAD=∠ ∠ ADB﹣∠ C=α﹣45°, ∴ CAD=sin( sin∠ = = )=sin ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) , = ,

在△ ACD 中,由正弦定理得:

∴ AD=

=

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

则高 h=ADsin∠ ADB=

=4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH 在直角△ ADH 中,由(1)可得 △ = ,

则不妨设 AD=5m 则 DH=3m,AH=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 注意到 C=45°,则△ AHC 为等腰直角三角形,所以 CD+DH=AH, 则 1+3m=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 所以 m=1,即 AH=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用,解题的关键是熟练 应用基本公式 17. (12 分) (2013?佛山一模) 组别 候车时间 人数 2 一 [0,5) 6 二 [5,10) 4 三 [10,15) 2 四 [15,20) 1 五 [20,25] 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表所示(单位:min) : (1)求这 15 名乘客的平均候车时间; (2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数;

(3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 考点: 频率分布表;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)累积各组组中与频数的积,可得这 15 名乘客的这 15 名乘客的总和,除以 15 可得这 15 名乘客 的平均候车时间; (2)根据 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟频数和为 8,可估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分 钟的人数; (3)将两组乘客编号,进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数,代 入古典概型概率公式可得答案. 解答: 解: (1) = min.﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)候车时间少于 10 分钟的概率为 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) 人.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(3)将第三组乘客编号为 a1,a2,a3,a4,第四组乘客编号为 b1,b2. 从 6 人中任选两人有包含以下 15 个基本事件: (a1,a2)(a1,a3)(a1,a4)(a1,b1)(a1,b2) , , , , , (a2,a3)(a2,a4)(a2,b1)(a2,b2)(a3,a4) , , , , , (a3,b1)(a3,b2)(a4,b1)(a4,b2)(b1,b2) , , , , , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查的知识点是频率分布直方表,古典概型概率公式,是统计与概率的简单综合应用,难度不 大,属于基础题.

18. (14 分) (2013?佛山一模)如图,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为线段 AB 上一点,且 点 C 为圆 O 上一点,且 .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,PD=BD. (1)求证:CD⊥ 平面 PAB; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离.



考点: 直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由 AB 是圆的直径,得到 AC⊥ CB,结合 BC= AC 算出∠ ABC=30°,进而得到 .△ BCD 2 2 2 中用余弦定理算出 CD 长, 从而 CD +DB =BC , 可得 CD⊥ AO. 再根据 PD⊥ 平面 ABC, 得到 PD⊥ CD,

结合线面垂直的判定定理即可证出 CD⊥ 平面 PAB; (2)根据(1)中计算的结果,利用锥体体积公式算出 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d,可得 的距离. 解答: 解: (1)∵ 为圆 O 的直径,∴ CB, AB AC⊥ ∵ ABC 中,由 Rt△ ,∴ ABC= tan∠ = ,∠ ABC=30°, ,而 VP﹣BDC=VD﹣PDC,由此 ,结合△ PBC 的面积可算出点 D 到平面 PBC

∵ AB=4,3AD=DB,∴ DB=3, , 2 2 2 由余弦定理,得△ BCD 中,CD =DB +BC ﹣2DB?BCcos30°=3, 2 2 2 ∴ +DB =12=BC ,可得 CD⊥ CD AO.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,即 PD⊥ 点 平面 ABC, 又∵ CD?平面 ABC,∴ CD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) PD⊥ ∵ AO=D 得,∴ 平面 PAB.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) PD∩ CD⊥ (2)由(1)可知,PD=DB=3,且 Rt△ BCD 中, ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) ∴ 又∵ , , .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) , .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

∴PBC 为等腰三角形,可得 △ 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d,由 VP﹣BDC=VD﹣PBC,得 ,解之得 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

点评: 本题给出底面△ ABC 在外接圆中的三棱锥,求证线面垂直并求点到平面的距离,着重考查了线面垂 直的判定与性质、锥体体积公式和点面距离的求法等知识,属于中档题. 19. (14 分) (2013?佛山一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an﹣2,数列{bn}是首项为 a1,公差不为零的等 差数列,且 b1,b3,b11 成等比数列. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}与{bn}的通项公式; (3)求证: <5.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 Sn=2an﹣2,分别令 n=1,2,3 可求 a1,a2,a3 (2)n≥2 时,由 an=sn﹣sn﹣1 可得 an=2an﹣1,结合等比数列的通项公式可求 an,然后由 b1=a1 且 b1, b3,b11 成等比数列可求公差 d,进而可求通项 (3) Tn= 令 然后可证明 解答: (本题满分 14 分) 解: (1)∵ n=2an﹣2, S , 代入结合项的特点考虑利用错位相减求和先求出左边的式子的和,

∴ 当=1 时,a1=2a1﹣2,解得 a1=2; 当 n=2 时,S2=2+a2=2a2﹣2,解得 a2=4; 当 n=3 时,s3=a1+a2+a3=2a3﹣2,解得 a3=8.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1,﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 得 an=2an﹣1 又,a1=2, ∴ 数列{an}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 所以数列{an}的通项公式为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

b1=a1=2,设公差为 d,则由且 b1,b3,b11 成等比数列 2 得(2+2d) =2(2+10d) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 解得 d=0(舍去)或 d=3,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ∴n=3n﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) b (3)令 Tn=

=



∴ n= 2T

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

两式式相减得

=2+

=5﹣

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分)



>0,故:

<5. .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14)

点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列,等比数列的通项公、性质及等差数列的通项公 式的应用 ,数列的错位相减求和方法的应用,适用具有一定的计算量 20. (14 分) (2013?佛山一模)已知 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(m,n) . (1)若 m=1,n= ,求△ ABC 的外接圆的方程; (2)若以线段 AB 为直径的圆 O 过点 C(异于点 A,B) ,直线 x=2 交直线 AC 于点 R,线段 BR 的中点为 D,试判断直线 CD 与圆 O 的位置关系,并证明你的结论. 考点: 圆的一般方程;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;综合题;直线与圆. 分析: (1)法 1:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意,求得 D,E,F 即可; 法 2:可求得线段 AC 的中点为(﹣ , ) ,直线 AC 的斜率为 k1= 及线段 AC 的中垂线的方程,

从而可求△ ABC 的外接圆圆心及半径为 r; 法 3:可求得|OC|=2,而|OA|=|OB|=2,从而知△ ABC 的外接圆是以 O 为圆心,2 为半径的圆;

法 4:直线 AC 的斜率为 k1=

,直线 BC 的斜率为 k2=﹣

,由 k1?k2=﹣1?AC⊥ BC,?△ ABC 的

外接圆是以线段 AB 为直径的圆; (2)设点 R 的坐标为(2,t) ,由 A,C,R 三点共线,而 (m+2)可求得 t= =(m+2,n) , =(4,t) ,则 4n=t

,继而可求得直线 CD 的方程,于是可求得圆心 O 到直线 CD 的距离 d=r,从

而可判断直线 CD 与圆 O 相切.
2 2 解答: 解: (1)法 1:设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,

由题意可得

,解得 D=E=0,F=﹣4,

∴ABC 的外接圆方程为 x +y ﹣4=0,即 x +y =4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) △ 法 2:线段 AC 的中点为(﹣ , ∴ 线段 AC 的中垂线的方程为 y﹣ ) ,直线 AC 的斜率为 k1= =﹣ (x+ ) , ,

2

2

2

2

线段 AB 的中垂线方程为 x=0, ∴ABC 的外接圆圆心为(0,0) △ ,半径为 r=2, 2 2 ∴ABC 的外接圆方程为 x +y =4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) △ 法 3:∵ |OC|= =2,而|OA|=|OB|=2,

∴ABC 的外接圆是以 O 为圆心,2 为半径的圆, △ ∴ABC 的外接圆方程为 x +y =4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) △ 法 4:直线 AC 的斜率为 k1= ,直线 BC 的斜率为 k2=﹣ ,
2 2

∴1?k2=﹣1,即 AC⊥ k BC, ∴ABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆, △ 2 2 ∴ABC 的外接圆方程为 x +y =4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) △ 2 2 (2)由题意可知以线段 AB 为直径的圆的方程为 x +y =4,设点 R 的坐标为(2,t) , ∵ A,C,R 三点共线, ∴ ∥ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 而 ∴ t= =(m+2,n) , , ) ,点 D 的坐标为(2, ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 =(4,t) ,则 4n=t(m+2) ,

∴ R 的坐标为(2, 点 分) ∴ 直线 CD 的斜率为 k=

=
2

=



而 m +n =4,∴ ﹣4=﹣n , m

2

2

2

∴ k=

=﹣ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

∴ 直线 CD 的方程为 y﹣n=﹣ (x﹣m) ,化简得 mx+ny﹣4=0, ∴ 圆心 O 到直线 CD 的距离 d=

=

=2=r,

所以直线 CD 与圆 O 相切.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) 点评: 本题考查圆的一般方程,考查圆的方程的确定,突出考查直线与圆的位置关系,考查圆心到直线的 距离,考查推理分析与运算能力,属于难题.

21. (14 分) (2013?佛山一模)设函数 f(x)=

,x≠0.

(1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式|f(x)﹣1|<a 成立. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的办法,通过导数大于或小于 0 判断函数的单调性. (2)先将|f(x)﹣1|化为|f(x)﹣1|=
x

,从而原不等式化为

<a,即 e ﹣(1+a)

x

x﹣1<0.令?(x)=e ﹣(1+a)x﹣1,利用导数研究它的单调性和最值,最后得到存在正数 x=ln (1+a) ,使原不等式成立. 解答: 解: (1)f′ (x)= = ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2

分) x x x x 令 h(x)=(x﹣1)e +1,则 h′ (x)=e +e (x﹣1)=xe , x 当 x>0 时,h′ (x)=xe >0,∴ h(x)是上的增函数, ∴ h(x)>h(0)=0 故 f′ (x)= ﹣﹣﹣(6 分) (2)|f(x)﹣1|=|
x

>0,即函数 f(x)是(0,+∞)上的增函数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

|,
x

当 x>0 时,令 g(x)=e ﹣x﹣1,则 g′ (x)=e ﹣1>0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 故 g(x)>g(0)=0,∴ |f(x)﹣1|= ,

原不等式化为 分)

<a,即 e ﹣(1+a)x﹣1<0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10

x

令?(x)=e ﹣(1+a)x﹣1,则?′ (x)=e ﹣(1+a) , x 由?(x)=0 得:e =1+a,解得 x=ln(1+a) , 当 0<x<ln(1+a)时,?′ (x)<0;当 x>ln(1+a)时,?′ (x)>0. 故当 x=ln(1+a)时,?(x)取最小值?[ln(1+a)]=a﹣(1+a)ln(1+a) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 令 s(a)= ﹣ln(1+a) ,a>0 则 s′ (a)= <0.

x

x

故 s(a)<a(0)=0,即?[ln(1+a)]=a﹣(1+a)ln(1+a)<0. 因此,存在正数 x=ln(1+a) ,使原不等式成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) 点评: 本题主要考查了函数单调性的判断方法、导数在最大值、最小值问题中的应用.利用导数判断函数 的单调性常用的方法.


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