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8专题32 线性规划问题的求解策略(学生版)——王彦文


专题八:线性规划问题的求解策略
【高考地位】
线性规划问题是高考的必考内容,其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。近年来,高考中的线性规划问题 更趋灵活多样,体现了“活、变、新”等特点,更加深刻的考查学生解决综合性问题的能力。在高考中以各种题型中 均出现过,其试题难度属中高档题.

【方法点评】 类型一 线性目标函数问题
使用情景:求目标函数的最值 解题模板:第一步 第二步 第三步 根据已知约束条件画出其可行域; 平移目标函数的直线系,根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解; 得出结论.

? x ≥ 0, ? 例 1 已知实数 x, y 满足不等式组 ? y ≥ ?2, 则 2 x ? y 的最大值是___________. ?2 x ? y ? 2 ≤ 0, ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 例 2 已知 x 、 y 满足不等式组 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?y ?1 ?



?y ? 2 ? 【变式演练 1】已知变量 x, y 满足约束条件 ? : ? x ? y ? 1 ,若 ? 表示的区域面积为 4,则 z ? 3 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? a ?
___________.

?x ? k ? 【变式演练 2】已知约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 表示面积为 1 的直角三角形区域,则实数 k 的值为( ?x ? y ? 0 ?
A.0 B.1 C.1 或 3



D.3

类型二
使用情景:求非线性目标函数的最值 解题模板:第一步 第二步

非线性目标函数问题

根据已知约束条件画出其可行域; 借助目标函数的几何意义,并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如直线的斜率

问题、两点的距离的平方等;
1

第三步

得出结论.

? x ? 0, y ?1 ? 例 3 已知不等式组 ? x ? y ? 0, 则z ? 的最大值为 x ? 1 ?4 x ? 3 y ? 12, ?



?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 4 在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域上一动点, 已知点 A ? ?1, 2 ? ,则直线 ? x ? 0, y ? 0 ?
AM 斜率的最小值为(
A. ? ) B. ?2 C. 0 D.

2 3

4 5

?x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5 若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? y ? 2 | x | 的最大值为( ?y ? 0 ?
A.-8 B.-4



C.1

D.2

?x ? y ? 4 ? 0 y2 ? 【变式演练 3】已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 的最大值是( x ?x ?1 ? 0 ?
A.



1 3

B.9

C.2

D.11

?x ? 2 y ? 0 y 1 ? 【变式演练 4】若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,且 z ? 仅在点 A( ?1, ) 处取得最大值,则实数 a 的 x?a 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
取值范围为( A. [?2,?1) ) B. (??,?1) C. (?2,?1) D. (?1,1)

【变式演练 5】已知实数 x, y 满足 ?

?x ? 2 y ?1 ? 0 2x ? y ? 2 ,则 z ? 的取值范围为( x ? x ? y ?1 ? 0
?10 ? , ?? ? ?3 ?
C. ? 2,



A. ? 0,

? 10 ? ? 3? ?

B. ? ??, 2? ? ?

? 10 ? ? 3? ?

D. ? ??, 0? ? ?

?10 ? , ?? ? ?3 ?

类型三 含参数线性目标函数问题
使用情景:求含参数线性目标函数的最值 解题模板:第一步 第二步 根据已知约束条件画出其可行域; 画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较并进行分类讨论;
2

第三步

得出结论.

?y ? x ? 例 6 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的-2 倍,则 a 的值是 ?x ? a ?

.

? y ? x, ? 【变式演练 6】设 m ? 1 ,变量 x , y 在约束条件 ? y ? mx, 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值为 2 ,则 m ? _________. ?x ? y ? 1 ?

【高考再现】

? x ? y ? 2, ? 1.【2016 高考山东文数】若变量 x,y 满足 ? 2 x ? 3 y ? 9, 则 x2+y2 的最大值是( ? x ? 0, ?
(A)4(B)9(C)10(D)12



? x ? y ? 3 ? 0, ? 2.【2016 高考浙江文数】若平面区域 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

最小值是( A.
3 5 5

) B. 2 C.
3 2 2

D. 5

?x ? y ?1 ? 0 ? 3.【2016 高考新课标 2 文数】若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为__________ ?x ? 3 ? 0 ?

?2 x ? y ? 1 ? 0, ? 4.【2016 高考新课标Ⅲ文数】若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? 3 y ? 5 的最大值为_____________. ? x ? 1, ?
5.【2016 高考新课标 1 文数】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产 品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.

3

? x ? 0, ? 6.【2016 高考上海文科】若 x, y 满足 ? y ? 0, 则 x ? 2 y 的最大值为_______. ? y ? x ? 1, ?

7. 【2016 高考天津文数】(本小题满分 13 分) 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原 料的吨数如下表所示:

现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种 肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元.分别用 x,y 表示生产甲、乙两种肥料 的车皮数. (Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.

4

【反馈练习】

?2 x ? y ? 0 ? 1. 【吉林省长春市普通高中 2017 届高三质量监测 (一) 数学 (理) 试题】 动点 P ( x, y ) 满足 ? y ? 0 , 则 z ? x ? 2y ?x ? y ? 3 ? 0 ?
的最小值为 .

? y ? 2x ? 2. 【山西大学附中 2017 届高三第二次模拟测试数学(理)试题】设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 3 y 的最 ? y ?1 ? 0 ?
大值是____________.

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 3. 【河南省新乡市 2017 届高三上学期第一次调研测试数学 (理) 试题】 已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 , 则z ? x? y ? x ?1 ?
的取值范围是( A. ? ?2, ?1? ) B. ? ?2, 0? C. ? 0, ? 5

? 6? ? ?

D. ? ?2, ? 5

? ?

6? ?

?x ? y ? 4 ? 4. 【河北省武邑中学 2017 届高三上学期第三次调研考试数学 (理) 试题】 设不等式组 ? y ? x ? 0 , 表示平面区域为 D , ?x ?1 ? 0 ?
若圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 2 ? r ? 0 ? 经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是(
2 2

) D. 0, 2 2 ? 2 5, ??

A. ? 2 2, 2 5 ?

?

?

B. 2 2,3 2 ?

?

?

C. 3 2, 2 5 ?

?

?

?

? ?

?

5. 【河北省衡水中学 2017 届高三摸底联考,8】 若 A 为不等式组 ? y ? 0 化到 1 时,动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( A. 1 B.

?x ? 0

? ?y ? x ? 2 ?

,表示的平面区域,则当 a 从 ?2 连续变

) D.

3 2

C.

3 4

7 4
?x ? 2 ? 0 ,那么 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 6 ? 0 ?

6. 【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中 2017 届高三 8 月联考,13】若 x, y 满足约束条件 ?

y 的 x

最大值是__________.

5

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 7. 【河南百校联考 2017 届高三 9 月质检,15】已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 4 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值 ? x? y?2?0 ?
为______________.

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 8. 【湖南永州市 2017 届高三第一次模拟,15】若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为 ?y ? 2 ?



?x ? 0 ? 9. 【河北省衡水中学 2017 届高三摸底联考,8】 若 A 为不等式组 ? y ? 0 ,表示的平面区域,则当 a 从 ?2 连续变 ?y ? x ? 2 ?
化到 1 时,动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( A. 1 B. ) D.

3 2

C.

3 4

7 4

6


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