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圆锥曲线的参数方程


二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程

x y 由例4我们得到了椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的 a b x ? a cos? 一个参数方程为 { (?为参数) y ? b sin ? 这是中心在原点 O,焦点在x轴上的椭圆的 参数方程。
思考: 类比圆的参数方程中参数的意义,椭圆的参数 方程中参数?的意义是什么?

2

2

如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径 作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作 AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.

y
A
B

?
o

M

x

设以ox为始边,OA为终边的角?,点M的坐标 是( x, y ),那么点A的横坐标为x, 点B的纵坐标为 y,由点A, B均在角?的终边上,由三角函数 的 定义有 x ? OA cos? ? a cos? y ? OB sin ? ? b sin ?

当半径OA绕点O旋转一周时,就得到了 点M 的轨迹,它的参数方程 是 x ? a cos? { (?为参数) y ? b sin ? 这是中心在原点 O,焦点在x轴上的椭圆。

在椭圆的参数方程中, 通常规定参数 ?的 范围是? ?[0,2? )
? x ? a cos ? , 焦点在X 轴 ? ? y ? b sin ?.

? x ? b cos ? , 焦点在Y 轴 ? ? y ? a sin ?.

知识归纳

x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b ? x ? a cos ? (?为参数) 椭圆的参数方程:? ?y ? b sin?
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2

y A
B O M N

φ
x

y

M θ

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOM=θ

O

A x

练习1:把下列普通方程化为参数方程.

x y ? ? 1 (1) 4 9 x ? 2 cos ? (1) y ? 3sin ?

2

2

?

(2)

x ? cos ? (2) y ? 4sin ?

?

y x ? ?1 16
2

2

把下列参数方程化为普通方程

? x ? 3cos ? (3) ? ? y ? 5sin ? 2 2 y x (3) 9 25

(4)

? x ? 8cos ? ? ? y ? 10sin ?

? ? 1 (4)

x 64

2

?

y 100

2

?1

? x ? 2cos? 练习2:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ?
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为

( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 (

3 2

)。

直线 l:x+2y-10=0的距离最小. 分析1

x2 y 2 ? ? 1上求一点M,使M到 例1、如图,在椭圆 9 4
平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.

?x ? 2 y ? m ? 0 ? 2 2 ?4 x ? 9 y ? 36
消元,利用? ? 0, 求出m, 及切点M( x0 , y0 )
O

y

x

d?

x0 ? 2 y0 ? m 5

P

直线 l:x+2y-10=0的距离最小. ? x ? 3cos ? 分析2 椭圆参数方程为: (?为参数) ? ? y ? 2sin ? 设M(3cos ? , 2sin ? ),

x2 y 2 ? ? 1上求一点M,使M到 例1、如图,在椭圆 9 4

3 4 |( 5 cos ? ? sin ?) -10| | 3cos ? ? 4sin ? -10| | 5cos (? ? ?0) -10| 5 5 ? 则d ? ? 5 5 5 3 4 其中 ? 满足 cos ? ? ,sin ? ? ?当? ? ?0 =0时,d取最小值 5, 0 0 0 5 5 9 8 此时3 cos ? ? 3 cos ?0 ? , 2sin ? ? 2sin ?0 ? 5 5 小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一 9 8 ? M( , )时,点M 与直线x ? 2 y ? 10 ? 0的距离取最小值 5。 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。 5 5

x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上运动 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值

最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 .

二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程

双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a

y
A

B'

在?OAA '中,x ?
| OA | b | OA ' |? ? ? cos ? cos ?

?
o B

?M
A' x

b ? sec ? ,

b

在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?.

? x ? a sec ? 所以M的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ?
x2 y2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b
2 2

y a A B' o B b

?

?M
A' x

说明:
⑴ 这里参数

? 3? 通常规定? ? [o,2? )且? ? ,? ? 。 2 2

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.

x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 ? 2 ? 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程

x2 y 2 如图,设M 为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0)任意一点,O为原点, 例 2、 a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点。

解: 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为(asec?,btan?),
双曲线的渐近线方程为:y ? ?

探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?

b y x. a b A 则直线MA的方程为:y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ). ① a b 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 O a a B xA = (sec? ? tan?). 2 a 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?). 2 b 设?AOx=? ,则tan? ? . a xA xB ? sin2? ? ?= 所以MAOB的面积为 S?MAOB =|OA||OB|sin2 cos? cos?

M

x

a2(sec2? -tan2? ) a2 a2 b ab = ? sin2 ? = ? tan ? ? ? ? . 4cos2? 2 2 a 2

由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值,与点M在双曲线上的位置无关。

x2 y2 双曲线的参数方程 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a2 b 2 x y 注意:双曲线: 2 ? 2 ? 1的参数方程实质是由三角恒等式 a b sec 2 ? ? tan 2 ? ? 1而代换得来的

y x =1(a>0,b>0) 的参数方程为: 2 2 a b

2

2

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

?为离心角

? y ? a sec ? (?为参数) ? ? x ? b tan ?

二、圆锥曲线的参数方程
3、抛物线的参数方程

设抛物线的普通方程为y 2 ? 2 px......(1) 抛物线上任意点M (x,y) ?MOX ? ?
y 由三角函数的定义可得 ? tan ? .............(2) x
2p ? x? ? ? tan 2 ? 得到 ? (? 为参数) 由(1),(2)解出x, y, ?y ? 2p ? tan ? ?

y
o
?

M(x,y)

x

这就是抛物线(1)(不包括顶点)的参数方程
1 如果令t ? , t ? (??, 0) ? (0, ??), tan ?
? x ? 2 pt 2 则有 ? (t为参数) ? y ? 2 pt

? x ? 2 pt 2 ?当t ? (??, ??)时,参数方程 ? (t为参数)就表示抛物线。 ? y ? 2 pt 参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

当t ? 0时,由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0)

抛物线y ? 2 px (p ? 0)的参数方程为:
2

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt

参数t的几何意义-----抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数。

思考:怎样根据抛物线的定义选取参数,建立抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0)的参数方程 ?
? x ? 2 p tan ? (?为参数) ? 2 ? y ? 2 p tan ?

如果令t ? tan ? , t ? (??, ??)
? x ? 2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? 2 pt

抛物线的参数方程

y ? 2 px (p ? 0)
2

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt ? x ? ?2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? ?2 pt

y 2 ? ?2 px (p ? 0)
参数t的几何意义:

抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数。

抛物线的参数方程

x ? 2 py( p ? 0)
2

? x ? 2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? 2 pt

x2 ? ?2 py( p ? 0)

? x ? ?2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? ?2 pt

参数t的几何意义: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。

例3、如图O是直角坐标原点,A, B是抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0) 上异于顶点的两动点,且OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于 点M,求点M的轨迹方程。

解:设点M ( x, y),
A(2 pt12 , 2 pt1 ),
2 B(2 pt2 , 2 pt2 )

y
A M x

(t1 ? t2 , 且t1 ? t2 ? 0)

? ???? ? OM ? ( x, y ), OA ? (2 pt12 , 2 pt1 ),
?

2 OB ? (2 pt2 , 2 pt2 ),
2 AB ? (2 p (t2 ? t12 ), 2 p (t2 ? t1 )) ?

o B

? OA ? OB,

?

?

?(2 pt1t2 ) ? (2 p) t1t2 ? 0,
2 2

例3、如图O是直角坐标原点,A, B是抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0) 上异于顶点的两动点,且OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于 点M,求点M的轨迹方程。
? OA ? OB,
? ?
? ?

?(2 pt1t2 )2 ? (2 p)2 t1t2 ? 0,

?t1t2 ? ?1......(1)

2 ? t12 ) ? 2 py(t2 ? t1 ) ? 0 ? OM ? AB, ?2 px(t2 y ? t ? t ? ? ( x ? 0)........(2) ? 1 2 x ? AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ),

MB ? (2 pt ? x, 2 pt2 ? y)
2 2

?

且A, M , B三点共线,

y 将(1), (2)代入(3), 得到:y (? ) ? 2 p ? x ? 0 x

2 ?( x ? 2 pt12 )(2 pt2 ? y) ? (2 pt2 ? x)( y ? 2 pt1 ) 即:y(t1 ? t2 ) ? 2 pt1t2 ? x ? 0........(3)

即x2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0)

这就是点M的轨迹方程

探究:在例3中,点A, B在什么位置时,?AOB的面积 最小?最小值是多少 ?
由例3可得: OA = (2 pt12 ) 2 ? (2 pt1 ) 2 ? 2 p t1 t12 ? 1
OB ? (2 pt ) ? (2 pt2 )
2 2 2 2

? 2 p t2

2 t2 ?1

? S ?AOB

1 2 2 2 ? 2 p t t ( t ? 1) ? ( t ? OA ? OB 1 2 1 2 ? 1) 2
? 2p
2

t ?t ? 2 ? 2p
2 1 2 2

2

2 ? 4 p (t1 ? t2 ) ? 4
2

当且仅当t1 ? ?t2,

即当点A, B关于x轴对称时,
2

?AOB的面积最小, 最小值为4 p .

练习:
2、设M 为抛物线y ? 2 x上的动点,给定点M 0 (?1, 0),
2

点P为线段M 0 M的中点,求点P的轨迹方程。
解:设P( x, y)

? M为抛物线y 2 ? 2x上的动点,
2

?可设M (2 pt , 2 pt ) 又定点M 0 (?1,0),点P为线段M 0 M的中点,
? 2 pt 2 ? 1 消参数t , x ? ? ? 2 (t为参数) 得点P的轨迹方程: ?? ? y ? 2 pt p 2 y ? px ? . ? ? 2 2


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