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2017年中考数学考前考点梳理精讲第四章几何初步知识与三角形第15课时等腰三角形课件_图文

第15课时 等腰三角形 考点一 等腰三角形 1.等腰三角形的有关概念及分类 有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等 边三角形,也叫正三角形. 2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰 三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称 为“三线合一”);(3)等腰三角形是轴对称图形,它有一条对称轴. 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 (简称为“等角对等边”). 考点二 等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角相等,且都等于60°;(2)等边三角形的三 条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 2.等边三角形的判定 (1)三条边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形 是等边三角形;(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 考点三 线段的垂直平分线 1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条 线段的垂直平分线,也叫做中垂线. 2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分 线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的 集合. 考点四 角平分线的性质及判定 1.性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,角的 平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合. 3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这 一点到三角形三边的距离相等. 1.如图,每个小正方形的边长为1,△ABC的三边a,b,c的大小关系是 ( ) A.a<c<b 答案C B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分 线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE等于( ) A.80° 答案C B.70° C.60° D.50° 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AD=5,AC=4,则D点到 AB的距离是 . 答案3 4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC 沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则BE的长为 . 答案1.5 命题点1 等腰三角形的性质与判定 【例1】 如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点 D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF. (1)求证:BF=2AE; (2)若 CD= 2,求 AD 的长. (1)证明∵AD⊥BC,∠BAD=45°, ∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD. ∵AD⊥BC,BE⊥AC, ∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°. ∴∠CAD=∠CBE. 又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF, ∴AC=BF. ∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC, 即AC=2AE,∴BF=2AE. (2) 解 ∵△ADC≌△BDF, ∴DF=CD= 2. 在 Rt△CDF 中,CF= 2 + 2 =2, ∵BE⊥AC,AE=EC, ∴AF=FC=2. ∴AD=AF+DF=2+ 2. 命题点2 等边三角形的性质与判定 【例2】 已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且 AE=CD,AD与BE相交于点F. (1)求证:△ABE≌△CAD; (2)求∠BFD的度数. 分析解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、 三个角都等于60°的性质.全等是解决这类问题最常见的方法. (1)证明∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA. 在△ABE和△CAD 中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD. (2)解∵△ABE≌△CAD, ∴∠ABE=∠CAD. ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD, ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°. 变式训练 如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线 上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE. 证明∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵点D是AC边上的中点, ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∵CE=CD, ∴∠CDE=∠CED. 又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°. ∴∠CBD=∠CED=30°. ∴BD=DE. 命题点3 线段的垂直平分线 【例3】 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内,O为原点, 点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)如图①,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求点D的坐 标; (2)若将纸片沿直线l对折,点B落在x轴上的点F处(如图②),l与BF 的交点为Q,若点Q的坐标是(3,2),求l的解析式.若点Q的坐标是(4,2), 你能确定l的解析式吗?若能,求出其解析式;若不能,请说明理由. 分析(1)由对称性知道,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求 得点D的坐标;(2)由垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由中位线 知识和点Q的坐标,可确定l上的另一点A. 解 (1)根据题意,知 CD=CB=OA=5. ∵∠COD=90°,∴OD= 2 - 2 = 52 -42 =3. ∴点 D 的坐标为(3,0). (2)过点 Q 作 QM⊥x 轴于点 M.当点 Q 的坐标为(3,2)时, 如题图,OM=3,MA=2,QM 为△FAB 的中位线, ∴FM=2,即 FA=4. 而 AB=4,FA=AB,而 l 为 BF 的中垂线, ∴点 A 在 l 上.∴l 的解析式为 y=-x+5. 当 Q 点坐标为(4,2)时,O

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