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广东省执信中学2012-2013学年高二上学期期末数学理试题(word版含答案)

2012-2013 学年度第一学期

高二级数学科(理)期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的 位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案;不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答, 答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相 应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.

第一部分选择题(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1、已知集合 A ? x x ? 2 x ? 0? , B ={x||x|<1} , 则 A ? B ?
2

A. x 0 ? x ? 1?

?

?

B. x ?1 ? x ? 0?

?

C. x ?1 ? x ? 1?

?

D. x ?1 ? x ? 2? A

?

2、如图 1,四面体 ABCD 中,点 E 是 CD 的中点, 记 AB ? a , AC ? b , AD ? c ,则 BE =

??? ?

?

??? ?

?

??? ? ?

??? ?

1 ? 1 b+ 2 2 1 ? ? 1 C. a - b + 2 2
A. a

?

-

? c

? c

? 1 ? 1 b+ 2 2 1 ? ? 1 D. - a + b + 2 2
B. - a +

? c
? c

B D C E 图1

3、直线 l : y ? k x ? 2 与双曲线 x2 ? y2 ? 1 仅有一个公共点,则实数 k 的值为 A.1 B.-1 C.1 或-1 D . 1 或-1 或 0

?

?

4、已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 3 a1 , A.1 B. -1
?

a +a 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 2 3 = a1 +a2 2 C.3 D. -3

5、 在△ ABC 中,?ABC ? 60 ,AB ? 2 ,BC ? 3 , 在线段 BC 上任取一点 D , 使△ ABD 为钝角三角形的概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

6、对于方程

x2 y2 + =1 ( m? R且m ? 1)的曲线 C,下列说法错误的是 .. 2 m-1
B. m=3 时,曲线 C 是圆 D. m>1 时,曲线 C 是椭圆

A. m>3 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆 C. m<1 时,曲线 C 是双曲线

第 1 页 共 13 页

? x ? y ? 2≥0, ? 7、在平面直角坐标系中,已知 ? x ? y ? 2≥0, 若目标函数 z =x +2y 的最大值是10,则实数 t ? x≤t ?
的值为 A.1 B.2 C.3 D.4

8、设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为 A. 2 B. 3
x- 2

C.

3 ?1 2

D .

5 ?1 2

骣 1 1 9、已知 m = a + (a > 2), n = ? ÷ ( x > 0) ,则 m, n 之间的大小关系是 ? ÷ ?2 ÷ 桫 a- 2 A.m < n B. m > n C. m = n D. m ? n
10、已知点 A ? 0, 2? , B ? 2,0? ,若点 C 在函数 y ? x 的图象上,则使得 ?ABC 的面积为 2
2

的点 C 的个数为 A.4

B.3

C.2

D.1

(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答卷的相应位置.
2 O 11、求值: 1 ? 2sin 22.5 ? ________.

第二部分非选择题

12、已知 p: a ? 1 ” q: “ , “直线 y ? 0 与圆 x2 ?( y ? a)2 ? 1 相切” .则 p 是 q 的_________条件. (填“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要” 、 、 )

13、某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验. 根据收集到的数据(见下表) ,由最小二乘法求得回归方程

现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为



?a 2 ? ab, a ? b ? 14、 对于实数 a 和 b ,定义运算“﹡”: a * b ? ? ,设 f ( x) ? (2 x ? 1)*( x ? 1) , 2 ?b ? ab, a ? b ?
且关于 x 的方程 f ( x) ? m 恰有一个实数根,则实数 m 的取值范围是______________.
第 2 页 共 13 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sinx ? cos(x ? (1)求 f (x ) 的最大值; (2)设△ ABC中,角 A 、 B 的对边分别为 a 、 b ,若 B ? 2 A 且 b ? 2a f ( A ? 求角 C 的大小.

?

6

), x ?R.

?
6

),

16、 (本小题满分 12 分) 第 8 届中学生模拟联合国大会将在本校举行,为了搞好接待工作,组委会招募了 12 名男志 愿者和 18 名女志愿者.将这 30 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm) : 男 女 15 7 7 8 9 9 9 9 8 16 0 0 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 5 6 7 4 2 1 18 0 1 0 19 若男生身高在 180cm 以上 (包括 180cm) 定义为 “高个子” 在 180cm 以下 , (不包括 180cm) 定义为“非高个子” 女生身高在 170cm 以上(包括 170cm)定义为“高个子” , ,在 170cm 以下(不包括 170cm)定义为“非高个子” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 6 人,则应分别抽取“高 个子”“非高个子”各几人? 、 (2)从(1)中抽出的 6 人中选 2 人担任领座员,那么至少有一人是“高个子”的概率是多 少?

17、 (本小题满分 14 分) 如 图 2 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 正 方 形 , PD ? 平 面 ABCD, PD ? AB ? 2 , E , F , G 分别为 PC 、 PD 、 BC 的中点. (1)求证: PA ? EF ; (2)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值.

P E
第 3 页 共 13 页

F D

C
图2
ABCD

G A

B

18、 (本小题满分 14 分) 执行下面框图(图 3)所描述的算法程序, 记输出的一列数依次为 a1 , a 2 ,?, a n , (注:框图中的赋值符号“ ? ”也可以写 成“ ? ”或“: ? ” ) (1)若输入 ?= 2 ,直接写出输出结果; (2)若输入 ?=2 ,证明数列 {

n ? N * , n ? 2013.

开始 输入 ? 的值

1 }是 an ? 1

i ? 1, a ? 0

等差数列,并求出数列 {an } 的通项公式.

a?

1 ? ?a

i ? 2013 且 a ? ? ?




结束

i ? i ?1

输出 a

图3

19、 (本题满分 14 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ( 2, 0) ,且离心率为 . 2 a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2) A, B 为椭圆 C 的左右顶点,点 P 是椭圆 C 上异于 A, B 的动点,直线 AP, BP 分别交
已知椭圆 C : 直线 l : x ? 2 2 于 E , F 两点. 证明:以线段 EF 为直径的圆恒过 x 轴上的定点.

20、 (本小题满分 14 分) 二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ? 1. (1)若对任意 x ? R 有 f ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围;

第 4 页 共 13 页

(2)讨论函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的单调性; (3)若对任意的 x1 , x 2 ? [0,1] 有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

期末考试参考答案 1-10:ABCCB DBDBA 11-14:

2 1 、充分非必要、68、 (-?,0) ? ( ,+?) 2 4

15、解: (1) f ( x) ? sinx ? cos(x ?

?
6

) ? sin x ?

3 1 cos x ? sin x 2 2

???2 分

? 3 ? 1 ? ? ? 3? sin x ? cos x ? ? 3 sin(x ? ) . (注:也可以化为 3 cos(x ? ) ) ?4 分 ? 2 ? 2 6 3 ? ?

?[sin (x+

?
6

)]max =1 ? f (x) 的最大值为 3 .

????????????6 分

(2)因为 b ? 2a f ( A ?

?

6 又 B ? 2 A ,所以 sin2 A ? 2 3 sin2 A ,即 sin Acos A ? 3 sin2 A, ??????8 分
而 A 是三角形的内角,所以 sinA ? 0 ,故 cos A ? 3 sin A , tan A ? 又 A ? (0,? ) ,所以 A ?

) ,由(1)和正弦定理,得 sinB ? 2 3 sin2 A.????7 分

?
6

, B ? 2A ?

?
3

,C ? ? ? A ? B ?

?
2

3 ,????10 分 3
??? ??12 分



16、解: (1)由茎叶图数据可知, “高个子”男生和女生分别有 6 人和 4 人,所以“高个子” 和“非高个子”分别是 10 人和 20 人, ???????3 分 所以“高个子”应抽取 10 ?

6 6 “非高个子” 应抽取 20 ? =2 人, =4 人;?????5 分 30 30
?????6 分

(2)记“至少有一人是‘高个子’ ”为事件 A, 设抽出的 6 人为 a,b,c,d,m,n(其中 m,n 为“高个子”. )

记“从 a,b,c,d,m,n 中选 2 位”为一个基本事件, ?????7 分 则共有 15 个基本事件:{a,b} ,{a,c} ,{a,d},{a,m},{a,n};{b,c,},{b,d},{b,m},{b,n};{c,d},{c,m},{c,n}; {d,m},{d,n};{m,n}. 其中事件 A 包括 9 个基本事件: {a,m},{a,n};{b,m},{b,n}; {c,m},{c,n}; {d,m},{d,n};{m,n}. ?????9 分 由古典概型的概率计算公式知, P( A)=

9 3 ? . 15 5

??????11 分

答:从抽出的 6 人中选 2 人担任领座员,至少有一人是“高个子”的概率是

17、证法 1: (1)∵ PD ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , ∴ CD ? PD 又 ABCD 为正方形,∴ CD ? AD .又 PD ? AD ? D ,????3 分 ∵ ?PCD 中,中位线 EF ? CD ,∴ PA ? EF ?????6 分

3 .???12 分 5

∴ CD ? 平面 PAD ∵ PA ? 平面 PAD ,∴ CD ? PA . ????????????5 分

P
第 5 页 共 13 页

E F C
H

G

B

(2)记 AD 中点为 H,连结 FH、HG,易知 GH//DC, GH ? AD , 又 ?PDC 中 EF//DC,∴EF//GH 所以 E、F、H、G 四点共面??7 分 ∴平面 EFG 与平面 ABCD 交于 GH,所求锐二面角为 F-GH-D. ???????????8 分 由(1) CD ? 平面 PAD ,EF//DC//GH∴ GH ? 平面 PAD 即 GH ? 平面 FHD, FH、DH ? 平面 FHD, 所以 GH ? FH, GH ? DH, ∴二面角 F-GH-D 的平面角是 ?FHD ????????11 分
o

FH 是等腰直角 ?PAD 的中位线, ?FHD = 45

??????????13 分

cos ?FHD=cos45o =

2 2 ∴所求锐二面角的余弦值为 .??????14 分 2 2

证法 2:DA、DC、DP 两两垂直,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz ?1 分 则 F (0, 0,1) , E (0,1,1) , P(0, 0, 2) , A(2, 0, 0) ,G(1,2,0), (1) PA ? (2, 0, ?2) , EF ? (0, ?1, 0) ???3 分

??? ?

??? ?

??????4 分

∵ PA? EF ? ? 2,0, ?2?? 0, ?1,0? ? 0 ∴ PA ? EF ??6 分 ? ∴ PA ? EF ???????????????7 分 (2)∵ PD ? 平面 ABCD , ∴ DP ? ? 0,0, 2? 是平面 ABCD 的一个法向量.???9 分

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

z P E F D C y G A B x

??? ?

??? ? ?n ? EF ? 0, ? 设平面 EFG 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,∵ ? ??? ? ?n ? FG ? 0. ?

? ? y ? 0, ?? 令 z ? 1,得 n ? ?1,0,1? 是平面 EFG 的一个法向量. ????11 分 ? x ? 2 y ? z ? 0. ??? ? ??? ? DP ? n 2 2 ? ? ? ∵ cos ? DP, n ?? ??? ??????????13 分 2 | DP | ? | n | 2 ? 2
∴所求锐二面角的余弦值为

2 . 2

???????????14 分

18、解: (1)输出结果是:0,

2 . 2

??????5 分

(2)由程序框图可知, a1 ? 0 , a n ?1 ?

1 , n ? N * , n ? 2012 .????6 分 ? ? an

第 6 页 共 13 页

所以,当 ?=2 时, a n ?1 ?

1 , 2 ? an

???7 分

an?1 ? 1 ?

a ?1 1 ,而 {an } 中的任意一项均不为 1, ?????8 分 ?1 ? n 2 ? an 2 ? an
? 2 ? an 1 1 1 , ? ? ?1(常数) n ? N * ,n ? 2012 . ? ?1 , an ?1 ? 1 an ? 1 an ?1 an ?1

(否则的话,由 an?1 ? 1可以得到 an ? 1,?,与 a1 ? 0 ? 1 矛盾) , 所以, 故?

1 an?1 ?1

? 1 ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为 ? 1 的等差数列,????????10 分 ? an ?1? 1 所以, ???12 分, ? ?n , a n ?1 1 所以数列 {an} 的通项公式为 a n ? 1 ? , n ? N * , n ? 2013 .??14 分 n c 2 19、解: (1)由题意可知, a ? 2 , ????1 分 而 ? ,?????2 分 a 2
2 2 2 且a ?b ?c .

????3 分

解得 b ? 1,?????4 分

x2 ? y 2 ? 1. 所以,椭圆的方程为 2

?????5 分 ?????6 分

(2)由题可得 A(? 2, 0), B( 2, 0) .设 P( x0 , y0 ) , 直线 AP 的方程为 y ? 令 x ? 2 2 ,则 y ? ?8 分 直线 BP 的方程为 y ? 令 x ? 2 2 ,则 y ?

y0 ( x ? 2) , x0 ? 2

?????7 分

? 3 2 y0 ? 3 2 y0 ,即 E ? 2 2, ?; ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ?

y0 ( x ? 2) , x0 ? 2

?????9 分

? 2 y0 ? 2 y0 ,即 F ? 2 2, ? ; ?????10 分 ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? ???? ???? 证法 1:设点 M (m,0) 在以线段 EF 为直径的圆上,则 ME ? MF ? 0 ,
即 ( m ? 2 2) ?
2 2 6 y0 ? 0, 2 x0 ? 2

?????11 分

? (m ? 2 2) 2 ?

2 6 y0 x2 2 2 2 2 , 而 0 ? y0 ? 1 , 即 2 y0 ? 2 ? x0 , ? (m ? 2 2) ? 3 , 2 2 ? x0 2

?m ? 2 2 ? 3 或 m ? 2 2 ? 3 . 故以线段 EF 为直径的圆必过 x 轴上的定点

?????13 分

(2 2 ? 3, 0) 、 (2 2 ? 3, 0) . ?????14 分 证法 2:以线段 EF 为直径的圆为 ( x ? xE ) ? (x ? xF ) ? (y ? yE ) ? (y ? yF ) ? 0
第 7 页 共 13 页

即 ( x ? 2 2) ? (y ?
2

3 2 y0 2 y0 ) ? (y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2
2 2 6 y0 ? 0, 2 x0 ? 2

?????11 分

令 y ? 0 ,得 ( x ? 2 2) ? 而

?????12 分

2 x0 2 2 2 ? y0 ? 1 ,即 2 y0 ? 2 ? x0 ,? ( x ? 2 2) 2 ? 3 ,? x ? 2 2 ? 3 或 x ? 2 2 ? 3 2

?????13 分 故以线段 EF 为直径的圆必过 x 轴上的定点

(2 2 ? 3, 0) 、 (2 2 ? 3, 0) . x y ) ? ? 1,令 x ? 2 2 ,得 E (2 2,3 证法 3: P (0,1) , l AP : 令 则 ? 2 1
∴圆过 M (2 2 ? 3, 0), N (2 2 ? 3, 0) 由前,对任意点 P( x0 , y0 ) ,可得 E ? 2 2, ∴ k ME ? k MF ?

?????14 分 , 同理得 F (2 2, -1) .

2 2 ∴以 EF 为直径的圆为 ( x ? 2 2) ? ( y ? 1) ? 4 ,令 y ? 0 解得 x ? 2 2 ? 3

?????11 分

? ? ?

? 3 2 y0 ? 2 y0 ? ? , F ? 2 2, ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? ? ?

2 6 y0 yE y F ? = ? ?1 ∴ A 在以 EF 为直径的圆上. 2 - 3 - 3 3(x0 ? 2) 同理, 可知 B 也在 EF 为直径的圆上. ∴故以线段 EF 为直径的圆必过 x 轴上的定点 (2 2 ? 3, 0) 、 (2 2 ? 3, 0) .

?????13 分 ?????14 分 ????1 分 ????3 分

20、 解: (1) f ( x) ? 1 ? x2 +2ax+2a ? 0对任意 x ? R 恒成立

??=4a 2 -8a ? 0 ????2 分

解得 0 ? a ? 2 ? a 的范围是 ? 0, 2 ?

(2) f ( x) ? (x ? a)2 -a2 ? 2a ?1,其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为 x=-a , ?????4 分 讨论:①当 -a ? 0 即 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 [0,1] 上单调递增; ②当 0<-a ? 1即 ?1 ? a<0 时, f ( x ) 在区间 [0,a] 上单调递减,在区间 [a,1] 上单调递增; ③当 -a ? 1 即 a ? ?1 时, f ( x ) 在区间 [0,1] 上单调递增. (3)由题知, f ( x)max ? f ( x)min ? 1 ????????8 分 ????????9 分 由(2) ,

f (0) ? 2a ? 1, f (1) ? 4a ? 2 , f (?a) ? ?a2 ? 2a ?1

? ?1 ? a ? 0 a?0 ? ? a ? ?1 ? 或 ? f (1)-f (-a ) ? 1 或 ? ? ? f (1)-f (0) ? 1 ? ? f (0)-f (1) ? 1 f (0)-f (-a ) ? 1 ?
解得 ?1 ? a ? 0
第 8 页 共 13 页

????????12 分

??

?????14 分

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