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无锡一中2012-2013学年高二(下)期中数学试卷(文科)

2012-2013 学年江苏省无锡一中高二 (下)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把结果直接填在题中的横线上) 2 2 1. 分)命题“?x>0,x ﹣3x+2<0”的否定是 ?x>0,x ﹣3x+2≥0 . (5 考点: 命题的否定;全称命题. 专题: 应用题. 3 2 分析: 命题“对?x∈R,x ﹣x +1<0”是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词和不等号 的变化. 3 2 解答: 解:命题“对?x∈R,x ﹣x +1<0”是全称命题,否定时将量词?x>0 改为?x>0,<改 为≥ 故答案为:?x∈R,x ﹣x +1≥0 点评: 对命题“?x∈A,P(X)”的否定是:“?x∈A,?P(X)”; 对命题“?x∈A,P(X)”的否定是:“?x∈A,?P(X)”, 即对特称命题的否定是一个全称命题,对一个全称命题的否定是全称命题 2. 分)已知复数 z 满足 z?(1+i)=1﹣i(i 为虚数单位) (5 ,则复数 z 的虚部为 ﹣1 . 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的等式两边同时乘以 解答: 解:由 z?(1+i)=1﹣i,得 .
3 2

,然后利用复数的除法运算求解.

所以复数 z 的虚部等于﹣1. 故答案为﹣1. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3. 分)“x =x”是“x=1”的 必要不充分 条件. (5 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 探究型. 分析: 利用充分条件和必要条件的定义判断. 3 3 解答: 解:由 x =x,得 x ﹣x=0, 2 即 x(x ﹣1)=0, 所以解得 x=0 或 x=1 或 x=﹣1. 3 所以“x =x”是“x=1”的必要不充分条件. 故答案为:必要不充分. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,比较基础.
1
3

4. 分)已知 f( x﹣1)=2x+3,f(m)=6,则 m= ﹣ (5



考点: 函数的值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 先用换元法,求得函数 f(x)的解析式,再由 f(m)=6 求解. 解答: 解:令 t= x﹣1, ∴x=2t+1 f(t)=4t+5 又∵f(m)=6 ∴4m+5=6 ∴m= 故答案为: 点评: 本题主要考查用换元法求函数解析式已知函数值求参数的值. 5. 分)函数 (5 的定义域为 (1,3] .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由根式内部的代数式大于等于 0,然后求解对数不等式即可得到答案. 解答: 解:由 1﹣2log4(x﹣1)≥0,得 0<x﹣1≤2,解得 1<x≤3. 所以原函数的定义域为(1,3]. 故答案为(1,3]. 点评: 本题考查了定义域及其求法,考查了对数不等式的解法,关键是要保证对数式本身有 意义,是基础题. 6. 分)已知三个数 a=6 ,b=0.7 ,c=log0.76,则 a,b,c 从小到大的顺序为 c<<b< (5 a . 考点: 有理数指数幂的化简求值;不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分析: 利用指数函数的运算性质比较 a 和 b 的大小,由对数式的运算性质可知 c<0,由此答 案可求. 0.7 0 解答: 解:因为 a=6 >6 =1, 6 0 b=0.7 <0.7 =1,且 b>0, c=log0.76<0, 所以 c<b<a. 故答案为 c<b<a. 点评: 本题考查了不等关系与不等式, 考查了指数函数的单调性, 训练了对数式的符号判断,
2
0.7 6

是基础题. 7. 分)函数 (5 的值域为 [1,+∞) .

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 2 令 =t,则 t≥0,可得 x=t +1,代入已知式子可得关于 t 的二次函数,由二次函 数区间的最值可解. 解答: 解:由题意令 =t,则 t≥0, 可得 x=t +1,代入已知式子可得 y=2t +t+1=
2 2

, ,

函数为开口向上的抛物线的部分,对称轴为 t=

故可得函数 y 在 t∈[0,+∞)单调递增, 故当 t=0 时,函数取最小值 1, 故原函数的值域为:[1,+∞) 故答案为:[1,+∞) 点评: 本题考查函数值域的求解,换元化为二次函数区间的最值是解决问题的关键,属基础 题. 8. 分)已知定义在 R 上的奇函数 y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,则 (5 不等式 f(2x﹣1)>0 的解集为 .

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性、单调性可作出函数的草图及函数所的零点,根据图象可对不等式 等价转化为具体不等式,解出即可. 解答: 解:因为 f(x)在(0,+∞)上单调递增且为奇函数, 所以 f(x)在(﹣∞,0)上也单调递增, f(﹣1)=﹣f(1)=0,作出草图如下所示: 由图象知,f(2x﹣1)>0 等价于﹣1<2x﹣1<0 或 2x﹣1>1, 解得 0<x< 或 x>1, 所以不等式的解集为(0, )∪(1,+∞) , 故答案为: (0, )∪(1,+∞) .

3

点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合及其应用,考查不等式的求解,属中档题. 9. 分)已知复数 z 满足|z+2﹣2i|=1,则|z﹣2﹣2i|的最大值是 5 . (5 考点: 复数求模. 专题: 计算题. 分析: 由复数模的几何意义可知复数 z 在以(﹣2,2)为圆心,以 1 为半径的圆周上,所以 |z﹣2﹣2i|的最大值是(﹣2,2)到(2,2)的距离加上半径 1. 解答: 解:由|z+2﹣2i|=1,可知 复数 z 在以(﹣2,2)为圆心,以 1 为半径的圆周上, 所以|z﹣2﹣2i|的最大值是(﹣2,2)到(2,2)的距离加上半径 1, 等于 2﹣(﹣2)+1=5. 故答案为 5. 点评: 本题考查了复数模的几何意义,考查了复数模的求法,体现了数形结合的解题思想, 是基础题. 10. 分)对于函数 f(x) (5 ,在使 f(x)≥M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最大 值称为函数 f(x)的“下确界”,则函数 的下确界为 0.5 .

考点: 函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题. 专题: 分类讨论. 分析: 利用判别式法求函数 的下确界. 解答: 解:设函数 y=
2

,则(y﹣1)x +2yx+y﹣1=0.

2

当 y﹣1≠0 时,△ =4y ﹣4(y﹣1) (y﹣1)≥0,解得

且 y≠1.

当 y﹣1=0 时,x=0 成立,∴ 故答案为:0.5.

.∴函数

的下确界为 0.5.

4

点评: 函数

的下确界就是这个函数的最大值.

11. 分)若函数 f(x)=x ﹣2|x|﹣2a﹣1(x∈R)有四个不同的零点,则实数 a 的取值范 (5 围是 .

2

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将方程的零点问题转化成函数的交点问题,作出函数的图象得到 a 的范围. 2 解答: 解:令 f(x)=x ﹣2|x|﹣2a﹣1=0, 得 2a=x ﹣2|x|﹣1. 2 作出 y=x ﹣2|x|﹣1 与 y=2a 的图象,如图. 2 要使函数 f(x)=x ﹣2|x|﹣2a﹣1 有四个零点, 2 则 y=x ﹣2|x|﹣1 与 y=2a 的图象有四个不同的交点,有﹣2<2a<﹣1, 所以 故答案为: .
2

点评: 本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点,属中档题. 12. 分)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1、x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 (5 f(x)为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: 2 ①若函数 f(x)是 f(x)=x (x∈R) ,则 f(x)一定是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1、x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ③若定义在 R 上的函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数; ④若函数 f(x)是周期函数,则 f(x)一定不是单函数; ⑤若函数 f(x)是奇函数,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题的序号是 ②④ .

5

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用单函数的定义分别对五个命题进行判断,即可得出正确结论. 2 解答: 解:①若函数 f(x)是 f(x)=x ,则由 f(x1)=f(x2)得 ,得到 x1=±x2, 所以①不是单函数,所以①错误. ②若 f(x)为单函数,则 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,即 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) , 所以②正确. ③当函数单调时,在单调区间上必有 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,但在其他定义域 上,不一定是单函数,所以③错误. ④若函数 f(x)是周期函数,则满足 f(x1)=f(x2) ,则有 x1=kT+x2,所以④正确. ⑤若函数 f(x)是奇函数,比如 f(x)=sinx,是奇函数,则满足 f(x1)=f(x2) ,则 x1,x2,不一定相等.所以⑤错误. 故答案为:②④. 点评: 本题主要考查函数的性质的推导和判断,考查学生分析问题的能力,综合性较强. 13. 分) (5 (理科)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) = ,则 f(2013)的值为 0 .

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得,f(2013)=f(2012)﹣f(2011)=f(2011)﹣f(2010)﹣f(2011)= ﹣f(2010) ,逐步代入可得 f(2013)=f(2007) ,结合此规律可把所求的式子转化为 f(0) ,即可求解 解答: 解:由题意可得,f(2013)=f(2012)﹣f(2011)=f(2011)﹣f(2010)﹣f(2011) =﹣f(2010) 而 f(2010)=f(2009)﹣f(2008)=f(2008)﹣f(2007)﹣f(2008)=﹣f(2007) ∴f(2013)=f(2007)=f(2001)=…=f(3)=f(2)﹣f(1)=f(1)﹣f(0)﹣f(1) =﹣f(0)=0 故答案为:0 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,解题的关键是发现其周期性的规律,进而 转化求解

14. 分) (5 (2013?黄浦区二模)已知

,若存在区间



使得{y|y=f(x) ,x?[a,b]}=[ma,mb],则实数 m 的取值范围是 (0,4] . 考点: 函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先分析出函数 在区间[a,b]上为增函数,然后由题意得到

6

,说明方程

有两个大于 实数根,分离参数 m,然后利用二次

函数求 m 的取值范围. 解答: 解:因为函数 在 上为增函数, 因为区间

上为减函数,所以函数





由{y|y=f(x) ,x∈[a,b]}=[ma,mb],



,即



说明方程 由 零 得:

有两个大于 实数根. .

,则 t∈(0,3) .
2 2

则 m=﹣t +4t=﹣(t﹣2) +4. 由 t∈(0,3) ,所以 m∈(0,4]. 所以使得{y|y=f(x) ,x∈[a,b]}=[ma,mb]的实数 m 的取值范围是(0,4]. 故答案为(0,4]. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了单调函数定义域及值域的关系,训练了二 次函数值域的求法,考查了数学转化思想,是中档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 15. (14 分)已知集合 A={x|x ﹣7x﹣18≥0},集合 B={x|2x+1>0},集合 C={x|m+2<x<2m ﹣3}. (Ⅰ)设全集 U=R,求?UA∪B; (Ⅱ)若 A∩C=C,求实数 m 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (I)由题设知,应先化简两个集合,再根据补集的定义与并集的定义求出?UA∪B; (II) 题目中条件得出“C?A”, 说明集合 C 是集合 A 的子集, 由此分 C=?和 C≠?讨论, 列端点的不等关系解得实数 m 的取值范围. 解答: (I)由 x2﹣7x﹣18≥0 得 x≤﹣2,或 x≥9,即 A=(﹣∞,﹣2]∪[9,+∞) 解: , 由 2x+1>0 解得 x≥﹣ ,即 B=[﹣ ,+∞) , ∴?UA=(﹣2,9) ;
7

?UA∪B=(﹣2,9) ; (II)由 A∩C=C 得:C?A,则 当 C=?时,m+2≥2m﹣3,?m≤5, 当 C≠?时,m+2≥2m﹣3,?m≤5, 或 ,

解得 m≥7, 所以 m∈{m|m≤5 或 m≥7}; 点评: 本题考查补集与交、并集的求法,属于集合运算中的常规,掌握运算的定义是正确解 答的关键.

16. (14 分)设命题 p:函数 f(x)=lg
x x

的定义域是 R;命题 q:不等式

3 ﹣9 <a 对一切正实数 x 均成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果“p 或 q”为真命题,命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题. 分析: (1)由题意,若 p 是真命题,则

对任意实数都成立,由此能够求

出 p 是真命题时,实数 a 的取值范围. x x (2)若命题 q 为真命题时,则 3 ﹣9 <a 对一切正实数 x 均成立.由 ∈(﹣∞,0) ,

知 q 是真命题时, 再由 p 或 q 为真命题, a≥0. 命题 p 且 q 为假命题, 知 由此能求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意,若 p 是真命题,则





对任意实数都成立,

若 a=0,显然不成立; 若 a≠0,解得 a>2 故如果 p 是真命题时,实数 a 的取值范围是(2,+∞) x x (2)若命题 q 为真命题时,则 3 ﹣9 <a 对一切正实数 x 均成 立. ∵x>0 x ∴3 >1 x x ∴3 ﹣9 ∈(﹣∞,0) 所以如果 q 是真命题时,a≥0. 又 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题

8

所以命题 p 与 q 一真一假∴



解得 0≤a≤2 综上所述, 实数 a 的取值范围

是[0,2] 点评: 本题考查命题的真假判断和应用,解题时要注意公式的灵活运用.

17. (14 分)已知定义域为[﹣2,2]的函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)解关于 m 的不等式 f(m)+f(m﹣1)>f(0) .

是奇函数.

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由奇函数可得,f(﹣x)+f(x)=0,据此可得关于 a,b 的方程组,解出即得 a,b,注意取舍. (Ⅱ)对 f(x)进行变形后可判断其单调性,根据单调性及奇偶性可去掉不等式中的 符号“f”,化为具体不等式,注意考虑定义域. x 2 x 解答: (Ⅰ)由 f(x)+f(﹣x)=0 得: 解: (2b﹣a)?(2 ) +(2ab﹣4)?2 +(2b﹣a)=0, 所以 ,

解得:





又 f(0)=0,即 因此 .

,得 b=1,且 a≠﹣2,

(Ⅱ)∵



∴函数 f(x)在[﹣2,2]上单调递减, 由 f(m)+f(m﹣1)>f(0)得:f(m)>f(1﹣m) ,

所以

,解得:



所以原不等式的解集为



点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合及其应用,考查不等式的解法,属中档题.

9

18. (16 分)为了提高产品的年产量,某企业拟在 2010 年进行技术改革.经调查测算,产 品当年的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元(m≥0)满足 x=3﹣ (k 为常数) .如果

不搞技术改革,则该产品当年的产量只能是 1 万件.已知 2010 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元.由于市场行情较好,厂家生产的产品均 能销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5 倍(生产成本包括固 定投入和再投入两部分资金) . (1)将 2010 年该产品的利润 y 万元(利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用)表示为 技术改革费用 m 万元的函数; (2)该企业 2010 年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 考点: 根据实际问题选择函数类型;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)首先根据题意令 m=0 代入 x=3﹣ 求出常量 k,这样就得出了 x 与 m 的关系 式,然后根据 2010 年固定收入加再投入资金求出总成本为 8+16x,再除以 2010 的件 数就可以得出 2010 年每件的成本, 而每件的销售价格是成本的 1.5 倍,从而得出了每 件产品的销售价格为 售额为 x? ( (元) ,然后用每件的销售单价×销售数量得到总销 ) 最后利用利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用得出 .

利润 y 的关系式. (2)根据 a+b 当且仅当 a=b 时取等号的方法求出 y 的最大值时 m 的取值即 可. 解答: 解: (1)由题意可知,当 m=0 时,x=1(万件)∴ 每件产品的销售价格为 ∴2010 年的利润 = (2)∵m≥0,∴ ∴y≤29﹣8=21. 当 =m+1,即 m=3,ymax=21. , (元) ,

∴该企业 2010 年的技术改革费用投入 3 万元时,厂家的利润最大. 点评: 本题主要考查学生根据实际问题列出函数解析式的能力,以及求函数最值的问题.

19. (16 分)已知椭圆具有性质:若 A,B 是椭圆 C:

=1(a>b>0 且 a,b 为常数)

上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆上的任意一点,若直线 PA 和 PB 的斜率都存在,并分

10

别记为 kPA,PB, k 那么 kPA 与 kPB 之积是与点 P 位置无关的定值 (a>0,b>0 且 a,b 为常数)写出类似的性质,并加以证明.

. 试对双曲线

=1

考点: 椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆到双曲线进行类比,不难写出关于双曲线的结论:kPA?kPB=

,其中点 A、B

是双曲线上关于原点对称 的两点,P 是双曲线上的任意一点.然后设出点 P、A、B 的坐标,代入双曲线方程并 作差,变形整理即可得到 解答: 解:双曲线类似的性质为: 若 A,B 是双曲线 且 a,b 为常数)上关于原点对称的两 是与点 P 位置无关的定值.

点,点 P 是双曲线上的任意一点,若直线 PA 和 PB 的斜率都存在,并分别记为 kPA, kPB,那么 kPA 与 kPB 之积是与点 P 位置无关的定值 .

证明:设 P(x0,y0) ,A(x1,y1) ,则 B(﹣x1,﹣y1) , 且 两式相减得: ①, ②, ,





,是与点 P 位置无关的定值.

点评: 本题给出椭圆上的点满足的性质,求一个关于双曲线的类似性质并加以证明.着重考 查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=2 ,x∈R. (Ⅰ)解方程:f(2x)﹣f(x+1)=8; x (Ⅱ)设 a∈R,求函数 g(x)=f(x)+a?4 在区间[0,1]上的最大值 M(a)的表达式; (Ⅲ)若 f(x1)+f(x2)=f(x1)f(x2) ,f(x1)+f(x2)+f(x3)=f(x1)f(x2)f(x3) , 求 x3 的最大值.
x

11

考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. x 2 x x x 分析: (Ⅰ)所给的方程即 (2 ) ﹣2?2 ﹣8=0,可得 2 =4 或 2 =﹣2(舍去) ,从而求得 x 的值. (Ⅱ)由于 g(x)=2 +a?4 ,x∈[0,1],令 t=2 ,则 t∈[1,2],分①当 a=0 和②当 a≠0 两种情况, 分别利用二次函数的性质,求得 M(a)的解析式,综合可得结论. 解答: (Ⅰ)所给的方程即 (2x)2﹣2?2x﹣8=0,可得 2x=4 或 2x=﹣2(舍去) 解: , 所以 x=2. (Ⅱ)由于 g(x)=2 +a?4 ,x∈[0,1],令 t=2 ,则 t∈[1,2], ①当 a=0 时,M(a)=2; ②当 a≠0 时,令 若 a>0,则 M(a)=h(2)=4a+2, 若 a<0,当 当 当 ,即 ,即 ,即 时,M(a)=h(1)=a+1, ,
x x x x x x

时,M(a)=h(2)=4a+2, 时, ,

综上,

. (Ⅲ)由题意知:

,化简可得



所以



其中 由 知

,所以 t≥4, 的最大值是 ,又 y=2 单调递增,
x

所以



点评: 本题主要考查指数函数的性质综合应用,体现了转化以及分类讨论的数学思想,属于 中档题.

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河南省郑州一中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文科)试卷_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年下期中考 18 届 高二数学(文)试题第Ⅰ卷(共 60 分) ...