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北京大学中学生数学奖挑战赛解答及评分标准


北京大学中学生数学奖 个人能力挑战赛——解答
每题 30 分,满分 120 分 评分以 5 分一档
1. 已知实数 a1 , a2 ,
, a6 满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 2014 ,试求

1?i ? j ? 6

?

? ? ai ? a j ? ? 的最小可

能值. (其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) 简答:最小值为 10060.
1?i ? j ? 6

?

? ? ai ? a j ? ? ? 2014 ? 5 ?

1? i ? j ? 6

? ?a

i

? aj?

而由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 为整数,故 ?a1 ? a2 ? ? ?a3 ? a4 ? ? ?a5 ? a6 ? ? 2 . 类似可得 ?a2 ? a3 ? ? ?a4 ? a5 ? ? ?a6 ? a1? ? 2 , ?a1 ? a4 ? ? ?a2 ? a6 ? ? ?a3 ? a5 ? ? 2 ,

?a2 ? a5 ? ? ?a1 ? a3 ? ? ?a4 ? a6 ? ? 2 , ?a3 ? a6 ? ? ?a2 ? a4 ? ? ?a1 ? a5 ? ? 2 .

1?i ? j ? 6

? ?a

i

? a j ? ? 10 ,

1?i ? j ? 6

?

? ? ai ? a j ? ? 最小值为 10060.

取 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?

3 6 , a6 ? 2011 即可. 7 7

评分标准:结论 5 分,构造 10 分,证明 15 分.

2.

给定正整数集合 A ? ?1, 2,

,100? .设函数 f : A ? A 满足:①对任意 1 ? i ? 99 ,

f ? i ? ? f ? i ? 1? ? 1 ;②对任意 1 ? i ? 100 , f ? f ? i ? ? ? 100 .

求 ? f ? i ? 的最小可能值.
i ?1

100

简答:最小值为 8350. 在②中,令 i ? 1 ,可得 f ? f ?1? ? ? 100 ;再令 i ? f ?1? ,可得 f f ? f ?1? ? ? 100 ,故
f ?100 ? ? 100 .

?

?

设 k 为使 f ? k ? ? 100 的最大正整数,则有 f ? k ? 1? ? f ? k ? 2 ? ?

? f ?100 ? ? 100 .

进而由①,可得 f ? k ? ? 99 , f ? k ? 1? ? 98 ,…, f ?1? ? 100 ? k . 若存在 i,使得 f ? i ? ? k ,则 f ? f ? i ? ? ? f ? k ? ? 100 ,与②矛盾.故函数 f 的值域不包含 k.但由①,f 的值域为连续正整数,同时包含 100.故 f ? i ? ? k ? 1 ( i ? 1, 2, 若 k ? 50 ,则有 ? f ? i ? ? 100 ? ?100 ? k ? ? ? 99 ? 98 ?
i ?1 100

,100 )

? ? k ? 1? ? ? ? k ? 1? ? ? 2k ? 99 ? ? ?100 ? k ? ?

若 k ? 49 ,则有 ? f ? i ? ? 100 ? ?100 ? k ? ? ? 99 ? 98 ?
i ?1

100

容易算出当 k ? 66 时取到最小值 8350,此时
f ?1? ? ? f ? 34 ? ? 67, f ? 35 ? ? 68, f ? 36 ? ? 69, , f ? 66 ? ? 99, f ? 67 ? ? ? f ?100 ? ? 100 .

评分标准:结论 5 分,构造 5 分,证明 20 分.

3.

如图,△ABC 的内切圆分别切三边 BC、CA、AB 于 L、M、N.P 为内切圆内一点,AP、 BP、CP 分别交内切圆于 X、Y、Z.过 X、Y、Z 作内切圆的切线两两交于 D、E、F. (1)求证:直线 DL、EM、FN 交于一点. (2)求证:直线 XL、YM、ZN 交于一点. F X N P Y B L Z C M A E

D 简答: (1)在△AXM 和△AXN 中 分别利用正弦定理,可得 类似可得
sin ?BAP XN sin ?ANX XN sin ?XMN XN 2 ? ? ? ? ? . sin ?CAP XM sin ?AMX XM sin ?XNM XM 2

sin ?ABP YN 2 sin ?ACP ZM 2 ? 2 , ? . sin ?CBP YL sin ?BCP ZL2

对△ABC 用角元塞瓦定理可得

XM YN ZL ? ? ? 1. XN YL ZM

再类似对△DEF 分析,利用角元塞瓦定理逆定理即可得直线 DL、EM、FN 交于一点. (2)连结 XY、YZ、ZX,注意 由第一问证明可得 ZN 交于一点.
sin ?ZXL ZL sin ?XYM XM sin ?YZN YN , , , ? ? ? sin ?YXL YL sin ?ZYM ZM sin ?XZN ZN

ZL XM YN 对△XYZ 用角元塞瓦定理逆定理即得直线 XL、 YM、 ? ? ? 1, YL ZM ZN

附注:设(1)中的交点为 Q, (2)中的交点为 T,本题图中过 T 点的直线共有十条.除 (2)中的三条直线外,AD、BE、CF、PQ 以及两三角形公共部分(圆外切六边形)的 三条主对角线也都经过 T. 评分标准:两问各 15 分.

4.

在正方形的边界和内部给出若干个点, 以这些点和原正方形的顶点为顶点将正方形划分 为若干个小三角形(不允许出现一个小三角形的顶点在另一个小三角形的边上) .在所 有这些三角形的内角中,最大内角的最小可能值为多少? 简答:72° 设正方形内部有 m 个点,边界有 n 个点, 则总共被分为
m ? 360? ? n ? 180? ? 360? ? 2m ? n ? 2 个三角形,共有 6m ? 3n ? 6 个内角. 180?

若最大内角小于 72°,则正方形每个顶点至少为 2 个内角的顶点,边界上每个点至少 为 3 个内角的顶点,内部每个点至少为 6 个内角的顶点,至少共有 6m ? 3n ? 8 个内角, 矛盾. 构造最大内角为 72°的例子,如图所示:

45.0?

67.5? 67.5? 49.5? 63.0? 58.5? 54.0?

72.0? 72.0? 72.0?

45.0?

评分标准:结论 5 分,构造 15 分,证明 10 分.


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