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(浙江专用版)2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数章末复习讲义 新人教A版必修2

章 三角函数

学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念. 2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式. 3.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象. 4.理解三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的性质. 5.了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义,掌握函数y=Asin(ωx+φ) 图象的变换.

内容索引

知识梳理 题型探究 达标检测

知识梳理

1.任意角三角函数的定义

在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点

P(x,y),那么: (1)y叫做α的 正弦

,s记in作α

s,in即α=y ;

(2)x叫做α的余弦 ,记作 cos α ,即 cos α=x ; (3)yx叫做 α 的 正切 ,记作 tan α ,即__ta_n_α__=__yx(_x_≠__0_)__.

2.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系: sin2α+cos2α=1

.

(2)商数关系:tan

α=csoins

α α

????α≠kπ+2π,k∈Z????.

3.诱导公式 六组诱导公式可以统一概括为“k·π2 ±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数 时,函数名不改变;当k为奇数时,函数名改变,然后前面加一个把α
视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.

4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质

函数

y=sin x

y=cos x

图象

定义域 [-1,1] R

值域

_______

[-1,1]

{x|x∈R且x≠ kπ+π2,k∈Z}
RR

______

对称性

π
对称轴:x2=kπ+ (k∈Z);
对称中心:(kπ, 0)(奇k∈函数Z)

????对kπ+称π2轴,0:???? x=kπ(k∈????k2Zπ,);0????对称 对称中心:
(k∈

(k∈Z)

偶函数

奇函数

奇偶性


_______



π

_______

周期性 最小正周期:___ 最小正周期:___ 最

在 ????-π2+2kπ,π2+2kπ????
单调性 ????π2(k+∈2kZπ,)32上π+单2kπ调???? 递增; 在

在[-π+2kπ,2kπ] (k∈Z)上单????k调π-递π2,增kπ;+π2在????
[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上

最值

(k∈π2+Z2)k上π 单调递减

单调递减

-π2

在x=________(k∈Z)

在x=2kπ(k∈Z)时,

时,ymax=1;在x= +2kπ(k∈Z)时,ymin=

ymax=1;在x=π+2kπ (k∈Z)时,ymin=-1

题型探究

类型一 三角函数的化简与求值 例 1 (2018·牌头中学月考)已知 f(α)=sin????-tαa+n?-2π????·αc-osπ????3?2π·s-inα?α????·-tan3?πα?+5π?. (1)化简f(α);
cos α?-sin α?tan α 解 f(α)= ?-tan α??-sin α? =-cos α.
解答

(2)若 α 是第三象限角,且 cos????α-32π????=15,求 f(α)的值; 解 ∵cos????α-32π????=-sin α=15,

∴sin α=-15.

又∵α是第三象限角,

∴cos α=- 1-sin2α=- ∴f(α)=25 6.

1-????-15????2=-25 6.

解答

(3)若 α=-313π,求 f(α)的值. 解 ∵-313π=-6×2π+53π, ∴f ????-313π????=-cos????-313π???? =-cos????-6×2π+53π???? =-cos 53π=-cos π3=-12.
解答

反思与感悟 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值.在应用 中,要注意掌握解题的技巧.比如:已知sin α±cos α的值,可求cos αsin α,注意应用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.

跟踪训练 1 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α=15. (1)求tan α的值;
解答

(2)把cos2α-1 sin2α用 tan α 表示出来,并求其值. 解 cos2α-1 sin2α=ccooss22αα+ -ssiinn22αα=11+ -ttaann22αα, 又 tan α=-43, 所以cos2α-1 sin2α=11+ -????????- -4343????????22=-275.
解答

类型二 三角函数的图象与性质 例 2 (2017·金华十校期末)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)????其中ω>0,A>0,|φ|<π2???? 的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
解答

(2)求函数 y=|f(x)|在????-π4,π6????上的最大值和最小值.
解答

反思与感悟 研究y=Asin(ωx+φ)的单调性、最值问题,把ωx+φ看作一 个整体来解决.

跟踪训练 2 如图是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)在区间????-π6,56π???? 上的图象.为了得到这个函数的图象,只要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有 的点

√A.向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变
B.向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 C.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 D.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变
解析 答案

类型三 三角函数的最值或值域 命题角度1 可化为y=Asin?ωx+φ?+k型 例 3 求函数 y=-2sin????x+π6????+3,x∈[0,π]的最大值和最小值.
解答

反思与感悟 利用y=Asin(ωx+φ)+k求值域时要注意角的取值范围对函 数式取值的影响.

跟踪训练 3 函数 f(x)=3sin????2x-π6????,x∈????0,π2????的值域为

A.????-32,32 ????

√B.????-32,3????

C.???-3 ?

2

3,3

2

3??
? ?

D.???-3 ?

2

3,3 ??? ?

解析 答案

命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型

例 4 已知|x|≤π4,求函数 f(x)=cos2x+sin x 的最小值.

解 y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1.



t=sin

x,∵|x|≤π4,∴-

22≤sin

x≤

2 2.

则 y=-t2+t+1=-????t-12????2+54????- 22≤t≤ 22????,

∴当 t=- 22,即 x=-π4时,f(x)有最小值,且最小值为-????- 22-12????2+54 1- 2
=2.

解答

反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围,否则极易出错.

跟踪训练 4 (2017·全国Ⅱ)函数 f(x)=sin2x+ 3cos x-34????x∈????0,π2????????的最

大值是__1__.

解析 f(x)=1-cos2x+ 3cos x-34

?
=-??cos ?

x-

23????2+1.

∵x∈????0,π2????,∴cos x∈[0,1],

∴当 cos x= 23时,f(x)取得最大值,最大值为 1.

解析 答案

类型四 数形结合思想在三角函数中的应用
例 5 如果关于 x 的方程 sin2x-(2+a)sin x+2a=0 在 x∈????-π6,56π????上有两个实 数根,求实数 a 的取值范围.
解答

反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终,对于与方程解有关 的问题以及在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质和由性质研究图 象时,常利用数形结合思想.

跟踪训练 5 设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0). 若 f(x)在区间????π6,π2????上具有单调性,且 f ????π2????=f ????23π????=-f ????π6????,则 f(x)的最小 正周期为__π__.
解析 答案

达标检测

1.已知 sin????α-π4????=13,则 cos????π4+α????等于

22 A. 3

B.-2

2 3

1 C.3

√D.-13

解析 cos????π4+α????=sin????π2-????π4+α????????=sin????π4-α????=-sin????α-π4????=-13.

12345

解析 答案

2.已知

sin?π-α?cos?2π-α? f(α)= cos?-π-α?tan α ,则

f

????-313π????的值为

1 A.2

B.-13

√C.-12

1 D.3

解析

∵f(α)=csoisn?πα+cosα??-tanα?α=-scinosααc·ocssoinαs

α =-cos α

α,

∴f

????-313π????=-cos????-313π????=-cos

31π 3

=-cos????10π+3π????=-cos π3=-12.

12345

解析 答案

3.函数 y=sin(2x+φ)????0<φ<π2????图象的一条对称轴在区间????π6,π3????内,则满足此 条件的一个 φ 值为

√A.1π2

π B.6

π



C.3

D. 6

12345

解析 答案

4.(2017·宁波期末)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)????ω>0,0<φ<π2????一部分图象如图
所示,则 ω=__2__,函数 f(x)的图象可以由 g(x)=2sin ωx 的图象向左平移至 π
少__6__个单位长度得到.

12345

解析 答案

5.已知函数 f(x)=2sin????2x-π6????+a,a 为常数. (1)求函数f(x)的最小正周期; 解 f(x)=2sin????2x-π6????+a, 所以 f(x)的最小正周期 T=22π=π.

12345

解答

(2)求函数f(x)的单调递增区间; 解 由 2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),
得 kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z), 所以 f(x)的单调递增区间为????kπ-π6,kπ+π3????(k∈Z).

12345

解答

(3)若 x∈????0,π2????时,f(x)的最小值为-2,求 a 的值. 解 当 x∈????0,π2????时,2x-π6∈????-π6,56π????, 所以当x=0时,f(x)取得最小值, 即 2sin????-π6????+a=-2,故 a=-1.
12345

解答


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