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数列复习提纲新


数列复习提纲
一:等差数列、等比数列
等差数列 定 义 和 等 价 形 式 等比数列

an ? nn?1 ? d (n ? 2) , an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) , an ? An ? B ,

Sn ? an2 ? bn
an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d Sn ? (a1 ? an )n n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2
A? a?b 2

通 项 与 求 和 公 式 等 差 (比)中 项 性质 设 等 差 (比)数 列

m ? n ? p ? q ? am ? an ? ap ? aq ,
Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n仍成等差数列
若三数成等差数列,则可设为a-d、a、a+ d 若为四数则可设为a-

3 1 1 3 d 、a- d 、a+ d 、a+ d 2 2 2 2

小结论:若 an ,bn 是等差数列,Sn ,Tn 分别为 an ,bn 的前 n 项和,则 [例题] 1.在等比数列 {a n } 中,已知Sn =48,S2n =60,则S3n= 2. 两个等差数列,它们的前n项和之比为
+

am S2 m?1 ? bm T2 m?1

63

5n ? 3 ,则这两个数列的第9项之比为 2n ? 1

8 3

3.等比数列{an}中,an∈R ,a4·a5=32,则 log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a8=( B ). A、10 B、20 C、36 D、128 4. 等差数列{an}中,a1>0,S4=S9,则 Sn 取最大值时,n=( C ) A、8 B、5 C、6 或 7 D、7 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 ?1? n 5.数列 1 ,2 ,3 ,4 ,…的前 n 项和是 2 4 8 16 2 2 ? 2n ? 1 ? 6. 数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn=_________________ ? 2 ? 2 7. 数 列 {an} 中 , a1=1 , 对 所 有 的 n ≥ 2 , 都 有 a1 · a2 · a3 · … · an=n , 则

8.已知数列 ?log2 (an ? 1)? (n ? N ? ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明

?1, n ? 1 ? a n =____ ? n 2 ____. ? ( n ? 1) 2 , n ? 2 ?

1 1 1 ? ? ? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

试题解析: (1)设等差数列的公差为 d ,由 a1 ? 3, a3 ? 9 得

2(log2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8 即 d ? 1 ;

3分

所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n 即 an ? 2n ? 1 ; (2)证明:

6分

1 1 1 ? n?1 ? n , n a n?1 ? a n 2 ? 2 2

8分

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2? 3 a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 2 2 2

1 1 1 ? n? 1 1 ? n ? 2 2 2 ?1? n ?1 . 1 2 2 1? 2

12 分

9.在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+…+|an|. * * (1)d=-1 或 d=4. an=-n+11,n∈N 或 an=4n+6,n∈N

? 1 2 21 - n + n,n ? 11, ? ? 2 2 (2) ? ? 1 n 2- 21 n+110,n ? 12. ? ?2 2
【解析】(1)由题意得 5a3·a1=(2a2+2) , 2 即 d -3d-4=0. 故 d=-1 或 d=4. * * 所以 an=-n+11,n∈N 或 an=4n+6,n∈N (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11. 当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
2

Sn=-

1 2 21 n+ n. 2 2 1 2 21 n- n+110. 2 2

当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =-Sn+2S11=

? 1 2 21 - n + n,n ? 11, ? ? 2 2 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= ? 1 21 ? n 2- n+110,n ? 12. ? ?2 2

(Ⅰ) bn ? 2 ?

7 7 1 n 1 (Ⅱ) Tn ? ? ? n ? n ?1 n 2 2 3 3 3

【解析】 ( Ⅰ ) 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , 公 差 d ?

1 1 (a5 ? a3 ) ? (14 ? 8) ? 3 , 所 以 2 2

a1 ? a3 ? 2d ? 2 ,
故 a n ? 3n ? 1 2分

由已知得当 n ? 2, n ? N 时, 3Sn ? Sn ?1 ? 2 ,所以有 3Sn?1 ? Sn ? 2 两式相减得: 3? Sn?1 ? Sn ? ? Sn ? Sn?1 ,即 3bn?1 ? bn ,所以 分 又 S2 ?

bn ?1 1 ? ? n ? 2, n ? N ? bn 3

5

1 2 1 2 2 ? b2 1 ? S1 ? 2? ,? ? b2 ? ? ? ? 2 ? ,? b2 ? ,从而 ? , 3 3 3? 3 9 b1 3 ?
6分

2 1 1 为首项, 为公比的等比数列,于是 bn ? 2 ? n 3 3 3 1 (Ⅱ) c n ? a n ? bn ? 2(3n ? 1) ? n 3 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? ? (3n ? 1) ? n ], 7分 3 3 3 3
所以 ?bn ? 是以 b1 ?

1 1 1 1 ? ? 1 Tn ? 2?2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n ?1 ? 3 3 3 3 ? ? 3
两式相减得 Tn ? 2[3 ?

9分

2 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n?1 ] 3 3 3 3 3 3 3 7 7 1 n 所以 Tn ? ? ? n ? n ?1 12 分 2 2 3 3

11 分

数列作业 1.(2014·海口模拟)已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=8π ,则 cos(a3+a7)的值为( A. B.C. D.-

D

)

D
3.已知 f(x)= A.1

1 x ? 1 ? ? 2 ? ? 2013 ? +log2 ,则 f ? +f ? +…+f ? ? ? ? 的值为(A ) 2013 1? x ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ?
C.2 013 D.2 014 )

B.2

4.在等比数列 ?an ? 中,已知前 n 项和 Sn ? 5n?1 ? a ,则 a 的值为( C A. ?1 B.1 C. ?5 D.5

S8 a8
6.等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,若 S 4? 4 , S7 ? 28 ,则 a10 的最大值为 16 .

61

(1) an ?

1 ; (2) n

【解析】 (1)由题设知 {

1 1 1 } 是 等 差 数 列 , 公 差 为 d ? ? ? 2 ?1 ? 1 , 所 以 an a2 a1
7分

1 1 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n,? an ? an n
(2) bn ? an an?1 ? ? 所

1 1 1 ? ? , n(n ? 1) n n ? 1


Sn ? b1 ? b ? b ?
14 分

1 ? bn ? ( ? 1

?

?

?

?

?

?

n

?

n?

? ?

n?

?

n n?

2

9.已知数列{an}满足 an+1=

(n∈N ),且 a1= .

*

(1)求证:数列

是等差数列,并求 an.

(2)令 bn=

(n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

*

1)an=

(2)Tn= -

.

【解析】(1)因为 an+1=

,

所以 an+1-1=

-1=

,



=

=

+

=- +

,

所以

-

=- ,

所以数列

是公差为- 的等差数列,

而 a1= ,所以

=

=- ,

所以

=- - (n-1)=-

,

所以 an-1=-

,an=1-

=

.

(2)由(1)知 an=

,

所以 bn=

=

= -

,

故 Tn=b1+b2+…+bn = - + - +… + -

=1+ -

-

= -

.

(1) 4 2 (2) n (3)见解析 【解析】(1) 依题意,2S1=a2- (2) 当 时, 2Sn=nan+1-
3 3

-1- n -n -
2 2

,又 n, (n-1),

,所以



∴2Sn-1=(n-1)an-

(n-1) -(n-1) -
2

两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- 整理得 又 所以 - =1, 故数列{

(3n -3n+1)-(2n-1)- ,即 - =1,

}是首项为 .

=1,公差为 的等差数列,

=1+(n-1)×1=n,所以

(3) 当

时,

=1<





时,

+

=1+

=

<





时,

=

<

=



,此时

+

+…+

=1+

+

+…+

<1+

+(



)+(



)+…+(



)

=1+

+



=



<

综上,对一切正整数 ,有

+

+…+

<




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