当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)



学(文史类)

一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.“1<x<2”是“x<2”成立的______ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件。为了解它们的产品 质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽 取了 3 件,则 n=___ D ____ A.9 B.10 C.12 D.13 4.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于____ A.4 B.3 C.2 D.1 5.在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2sinB= 3 b,则角 A 等于______ A.

?
3

B.

?
4

C.

?
6

D.

?
12
2

6.函数 f(x)=㏑ x 的图像与函数 g(x)=x -4x+4 的图像的交点个数为______ A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2 的矩形,则该正方 体的正视图的面积等于______ A.

3 2

B.1

C.

2 ?1 2

D. 2

8.已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ____ A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2

9.已知事件 “在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P, 使△APB 的最大边是 AB” 发生的概率为 . , 则

1 2

AD =____ AB

A.

1 2

B.

1 4

C.

3 2

D.

7 4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 10.已知集合 U ? {2,3, 6,8}, A ? {2,3}, B ? {2, 6,8} ,则 (C ? A) ? B ? _____

11.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l1 : ?

? x ? 2 s ? 1, ? x ? at , (s 为参数)和直线 l2 : ? (t 为参数)平 ?y ? s ? y ? 2t ? 1

行,则常数 a 的值为_____ 12.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为____9___

? x ? 2 y ? 8, ? 13.若变量 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4, 则 x+y 的最大值为______ ?0 ? y ? 3, ?
x2 y 2 14.设 F1,F2 是双曲线 C, 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点。若在 C 上存在一点 P。使 a b
PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为____ 3 ? 1 _______. 15.对于 E={a1,2,?.a100}的子集 X={a1,2,?,an},定义 X 的 a a “特征数列”为 x1,x2?,x100,其中 x1=x10=?xn=1. 其余项均为 0,例如子集{a2,a3}的“特征数列”为 0,1,0,0,?,0 (1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______; (2) 若 E 的子集 P 的“特征数列”P1,P2,?,P100 满足 P1+Pi+1=1, 1≤i≤99; E 的子集 Q 的“特征数列” q1,q2,q100 满足 q1=1,q1+qj+1+qj+2=1, 1≤j≤98,则 P∩Q 的元素个数为_________. 三、解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

2? ) 的值; 3 1 (2) 求使 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合 4
(1) 求 f (

17.(本小题满分 12 分) 如图 2.在直菱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC= (I) (II) ,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在菱 BB1 上运动。

证明:AD⊥C1E; 当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时,求三菱子 C1-A2B1E 的体积。

18.(本小题满分 12 分) 某人在如图 3 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点 (指纵、 横直线的交叉点以及三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量 Y (单位:kg)与它的“相 近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。 (Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率. 19.(本小题满分 13 分) 设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ? a1 ? S1 ? S n , n ? N
?

(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和。 20.(本小题满分 13 分) 已知 F1 , F2 分别是椭圆 E : 一条直径的两个端点。 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b 。当 ab 最大时,求直线 l 的方程。

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点 F1 , F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的 5

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=

1? x x e . 1? x2

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当 f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.

参考答案 一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.C 9.D 10. {2, 8} 6, 11.4 12.4 13.6 14.

3 ?1
(2)17

15. (1) 2

16.解: (1) f ( x) ? cos x ? (cos x ? cos

?

? 1 3 1 1 ? sin x ? sin ) ? (sin 2 x ? ? cos 2 x ? ) ? 3 3 2 2 2 4

?

1 ? 1 2? 1 3? 1 1 2? 1 sin( 2 x ? ) ? ? f ( ) ? sin ? ? ? .所以f ( ) ?? ? 。 2 6 4 3 2 2 4 4 3 4

(2)由(1)知,

1 ? 1 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 0 ? (2 x ? ) ? (2k? ? ? ,2k? ) 2 6 4 4 6 6 7? ? 7? ? ? x ? (k? ? , k? ? ), k ? Z .所以不等式的解集是: ? ? (k , k? ? ), k ? Z . 12 12 12 12 f ( x) ?
17.解: (Ⅰ)

因为E为动点,所以需证AD ? 面CBB1C1 .

? ABC ? A1 B1C1是直棱柱 ? BB1 ? 面ABC , 且AD ? 面ABC ? BB1 ? AD
又? RT?ABC是等腰直角且D为BC的中点, BC ? AD . ?

由上两点,且BC ? BB1 ? B ? AD ? 面CBB1C1且C1 E ? 面CBB1C1 ? AD ? C1 E. (证毕)
(Ⅱ)? CA // C1 A1 ,? ?A1C1 E ? 60? ? 在RT?A1C1 E中,AE ?

6.
.

? 在RT?A1 B1 E中,EB1 ? 2. ? ABC ? A1 B1C1是直棱柱 ? EB1是三棱锥E ? A1 B1C1的高

VC1 ? A1B1E ? V E ? A1B1C1 ?

1 1 2 2 ? S ? A1B1C ? EB1 ? ? 1 ? 2 ? ? 所以三棱锥C1 ? A1 B1 E的体积为 . 3 3 3 3

18.解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有 15 个格点, 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个,坐标分别为(4,0),(0,4)。 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0, 2),(0,3,)。 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1)。如下表所 示: Y 频数 平均年收获量 u ? 51 2 48 4 45 6 42 3

51 ? 2 ? 48 ? 4 ? 45 ? 6 ? 42 ? 3 ? 46 . 15 6 ? 0.4 . 15

(Ⅱ)在 15 株中,年收获量至少为 48kg 的作物共有 2+4=6 个. 所以,15 株中任选一个,它的年收获量至少为 48k 的概率 P= 19.解: (Ⅰ)

? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时,a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1. 2
2a n ? a1 2a n ?1 ? a1 ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 S1 S1

当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ?

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * .
(Ⅱ) 设Tn

? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n

? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1
上式左右错位相减:

(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? a1
? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * 。

1? qn ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q

20.解: (Ⅰ) 先求圆 C 关于直线 x + y – 2 = 0 对称的圆 D,由题知圆 D 的直径为

F1 F2 , 所以圆D的圆心D(0,0),半径r ? c ? a 2 - b 2 ? 2,圆心D(0,0)与圆心C关于 直线
x ? y ? 2 ? 0 对称 ? C (2,2) ? 圆C的方程为 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2 (2,0), ,据题可设直线 l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线 l 可被圆和椭圆截得 2 条弦, 符合题意. 圆 C: ( x ? 2)
2

? ( y ? 2) 2 ? 4 到直线 l 的距离 d =

| 2m ? 2 - 2 | 1? m2

?

| 2m | 1? m2



4m 2 42 . ? 在圆中,由勾股定理得:b ? 4(4 ? )? 1? m2 1? m2
2

设直线与椭圆相交于点E ( x1 , y1 ), F ( x 2 , y 2 ), 联立直线和椭圆方程,整理得:
(m 2 ? 5)y 2 ? 4my ? 1 ? 0 ? x1 ? x 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 4 ? m
由椭圆的焦半径公式得: a

? 4m 20 ?4? 2 2 m ?5 m ?5

?2 5?

2 5

( x1 ? x 2 ) ?

10 ? 2( x1 ? x 2 ) 5

m2 ? 1 ?2 5? 2 m ?5

? ab ? 2 5 ?

m2 ? 1 4 m2 ?1 . ? ?8 5? 2 m2 ? 5 1 ? m2 m ?5

令f ( x) ?

x ?1 , x ? 0 ? y ? f ( x)在[0,3]上单调递增,在[3,??)上单调递减. x?5

令f ( x) ? f .(3) ? 当m 2 ? 3时,ab取最大值.这时直线方程为x ? ? 3 y ? 2.
所以当 ab取最大值,直线方程为x ? ? 3 y ? 2 21.解: (Ⅰ) f ' ( x) ?

(?1 ? 1 ? x)e x ( ? x 2 ) ? (1 ? x)e x ? 2 x ?1 ? 3 ? x 2 ? 2x ? xe x ? . ( ? x2 )2 1 ( ? x2 )2 1

? ? ? 2 2 ? 4 ? 2 ? 0 ? 当x ? - ?,]时,f ' ( x) ? 0, y ? f ( x)单调递增; ( 0

当x ? [0, ?)时,f ' ( x) ? 0, y ? f ( x)单调递减 . ?
所以,

y ? f ( x)在( - ?,]上单调递增;在x ? [0, ?)上单调递减 。 0 ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当 x>0 时 f(x) < f(-x)即可。

1 ? x x 1 ? x ?x e?x f ( x) ? f (? x) ? e ? e ? [(1 ? x)e 2 x ? 1 ? x] 。 2 2 2 1? x 1? x 1? x

令g ( x) ? (1 ? x)e 2 x ? 1 ? x, x ? 0 ? g ' ( x) ? (1 ? 2 x)e 2 x ? 1 。

令h( x) ? (1 ? 2 x)e 2 x ? 1 ? h' ( x) ? (1 ? 2 x)e 2 x ? ?4 xe 2 x ? 0,
? y ? h( x)在(0, ?)上单调递减 ? h( x) ? h(0) ? 0 ? ? y ? g ( x)在(0, ?)上单调递减 ? g ( x) ? g (0) ? 0 ?
e?x ?y? [(1 ? x)e 2 x ? 1 ? x]在(0, ?)上单调递减,但x ? 0时y ? 0. ? 2 1? x
? f ( x) ? f (? x) ? 0 ? f ( x) ? f (? x)

所以,当f ( x1 ) ? f ( x 2 )且x1 ? x 2时,x1 ? x 2 ? 0.


相关文章:
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 ....doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (文科) word解析版_英语_高中教育_教育专区。绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数...
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(湖南卷带....doc
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(湖南卷带解析) - 2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(湖南卷带解析) 一、选择题 1.复数 z=i (1+i)...
来源2013年普通高等学校招生全国统一考试-文科数学试卷....doc
来源2013年普通高等学校招生全国统一考试-文科数学试卷(湖南卷) - 【题型】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学.doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学 - 2013 年普通高
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学文科.doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学文科 - 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数 学(文史类) 本试卷包括选择题、填空题和...
2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖南卷).doc
2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖南卷) - 2009 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖南卷) 一、填空题 1.某班共 30 人,其中 15 人喜爱...
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史....doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)试卷含答案 - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数 学(文史类) 本试卷包括选择题、填空题...
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷....doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,解析版) - 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文史类) 本试卷包括选择题、...
2013年高考文科数学湖南卷试题.doc
2013年高考文科数学湖南卷试题 - 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (湖南卷) 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每...
2013年普通高等学校招生全国统一考试湖南文数word.doc
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文科)本试卷包括选择题
2013年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷(文科).doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。2013年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷(文科)唐金 制作 ...
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷....doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,有答案) - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学 (文史类) 本试卷包括选择题、填空题和解答...
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国新课....doc
绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 文科数学注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前考生将自己的...
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南文).doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南文) - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文史类) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 ...
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标....doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标1卷,含答案) - 绝密★启封并使用完毕前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1. 本...
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷文科数学试题).doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷文科数学试题) - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在...
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理科....doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理科有答案 - 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类) 本试卷包括选择题、...
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科综合....doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科综合能力模拟卷及答案 - 2
2013年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版_图文.doc
2013年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版 - 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (湖南卷) 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,...
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷....doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,解析版) - 绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类) 本试卷包括选择...