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人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.2.3 独立重复试验与二项分布_图文

第二章 随机变量及其分布 2.2.3 独立重复试验与二项分布 问题引入 分析下面的试验,它们有什么共同特点? 1.投掷一个骰子投掷5次; 2.某人射击1次,击中目标的概率是0.8,他射击10次; 3.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先 赢3局就算胜出并停止比赛); 4.一个盒子中装有5个球(3个红球和2个黑球),有放回地依次从中抽取5个球; 5.生产一种零件,出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件. 共同特点是: 多次重复地做同一个试验. 基本概念 一般地,在相同条件下,重复做的n次试验称为n次独立重复试验. P( A 1A 2 An ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 独立重复试验的特点: (1)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; (2)任何一次试验中,A事件发生的概率相同,即相互独立,互不影响试验 的结果. 判断下列试验是不是独立重复试验 (1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; 不是 (2)某射击手每次击中目标的概率是0.9,他进行了4次射击,只命中一次; 是 (3)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个白球; 不是 (4)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回的抽取5个球,恰好抽出4 个白球. 注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验 是 问题探究 投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p, 则针尖向下的概率为q=1-p. 问题1:连续掷一枚图钉3次,仅出现1次针尖向上的概率是多少? 答:共有以下三种情况 (1)上 下 下 (2)下 上 下 (3)下 下 上 问题探究 问题2:连续掷一枚图钉3次,出现2次针尖向上的概率是多少? 问题3:连续掷一枚图钉3次,出现3次针尖向上的概率是多少? 问题4:连续掷一枚图钉n次,出现k次针尖向上的概率是多少? 答: 基本概念 二项分布: 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次 试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好 发生k次的概率为: P( X ? k ) ? C p (1 ? p) k n k n ?k , k ? 0,1, 2,..., n. 此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率. 公式理解 (1)公式适用的条件 (2)公式的结构特征 事件A 发生的概率 事件 A发生的概率 k n k n? k Pn (k ) ? C ? p ? (1 ? p) (其中k = 0,1,2,· · · ,n ) 实验总次数 事件 A 发生的次数 问题:对比公式与二项式定理的公式,两者有什么联系? 应用举例 例1.某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在10次射击中. (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字) 解:设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8) (1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为: P( X ? 8) ? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 8 10 8 10?8 ? 0.30 (2)在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为: P( X ? 8) ? P( X ? 8) ? P( X ? 9) ? P( X ? 10) ? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 8 10 8 10 ?8 ? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 9 10 9 10 ?9 ?C 10 10 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 10 10 ?10 ? 0.68 例 2. 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制 (即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛). (1)试求甲打完5局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率. 解:由题意 ? 2? ξ~B?3,5?,则 ? ? ?5??5? ?5? 0?2?0?3?3 P(ξ=0)=C3? ? ? ? = ?5? ?5? 27 , 125 1?2??3?2 P(ξ=1)=C3? ?? ? = 3?2?3 P(ξ=3)=C3? ? = 54 36 2?2?2?3? , P ( ξ = 2) = C , 3? ? ? ?= 125 ?5? ?5? 125 所以随机变量 ξ 的分布列为: 1 2 3 8 . 125 ξ P 0 27 125 54 125 36 125 8 125 课堂练习 1.有10门炮同时向目标各发一枚炮弹,如果每门炮的命中率都是0.1,则目标 被击中的概率约是( D ) A.0.55 B.0.45 C.0.75 D.0.65 课堂练习 2.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,若比赛时均能 正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,打完4局甲才能取胜的概率为( A ) 课堂练习 3.甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为1/2,乙每次击中 1 2 1 3 (1)甲恰好击中目标两次的概率; (1) P 1 ?C ( ) ( ) ? 2 2 8 (2)乙至少击中目标2次的概率; (2) P ? C2 ( 2 ) 2 1 ? C3 ( 2 )3 ? 20 2 3 3 3 3 3 27 2 3 目标的概率为2/3,求: (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率. 2 21 0 1 3 1 1 1 3 2 3 1 1 3 (3) P3 ? C ( ) C3 ( ) ? C3 ( ) C3 ( ) ? ? ? 3 3 2 3 2 18 9 6 2 3 谢谢大家!

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