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【成才之路】高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 分数指数幂课件 新人教版必修1

一、阅读教材P50~52回答: 1.由 a10=a2=a 5 , a12=a4=a 3 思考: (1)结果的指数与被开方数的指数、根指数有什么关系? 由此可得:当根式的被开方数的指数被根指数整除时, 根式可以写成 a 的形式. 5 10 3 12 (2)当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根 式是否也可以写成分数指数幂的形式? 答案: 可以 2.我们规定: (3)0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 0 ,0 的 负 分 数 指 数 幂 无意义 .(其中a>0,m,n∈N*,且n>1) (4) 规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从 整数 推广到 分数 . (5)整数指数幂的运算性质,对于有理数指数幂也同样 适用的有① b>0,m∈Q) am·an=am+n(a>0,m、n∈Q) ; ② (am)n=amn(a>0,m、n∈Q) . m=am·bm(a>0 ( ab ) ;③ , (6)依据上述定义可计算下列问题: 二、阅读教材P52~53回答: 1.5 就是介于一串有理指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142… 和另一串有理指数幂 51.5,51.42,51.415,51.4143…之间的一个确定 的实数,因此,一般地,当a>0 , α是一个无理数时, aα 是 一个确定的正实数.并且有理指数幂的运算性质,同样也 适用于无理指数幂,即a>0,b>0,α、β是无理数时, aαaβ= aα+β (aα)β= aαβ (ab)α= aαbα . 1 α0 = . 1 2.α为无理数时,1α= , 本节重点:分数指数幂的概念和运算性质. 本节难点:对分数指数幂和实数指数幂概念的理解. 1 .根式中,根指数与被开方数的指数不可随便约 分.只有 a≥0 时,才有 n 为奇数时, mp a ≠ np mp an. a = np m an,当 a<0,p 为偶数, m 2.分数指数幂是根式的另一种表示,根式的运算可利 用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运 算.对于计算化简的结果,不强求统一用何种形式来表 示.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有含 分母又含有负指数. [例1] x取何值时,下列各式有意义? [分析] 根据根式与分数指数幂的意义解题. [解析] (1)1-x≥0,∴x≤1. (2)x-1≠0,∴x∈R且x≠1. x取何值时,下列各式有意义? [例2] 化简 [分析] 利用分数指数幂的运算性质来化简. 总结评述:根式与指数运算混合时,将根式化为分 数指数幂表示运算较为方便.原式有根式时,最后结果一 般应化为根式. 计算下列各式: [点评] 一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正 指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数进行运算. 化简: [分析] 1 1 注意分析各幂中指数间的相互关系, 如- =- 2 4 1 ×2,-1=- ×4 等,从而能利用乘法公式进行运算. 4 [解析] 原式 总结评述:对于这类问题,要仔细观察分析指数的 关系与变化,灵活地运用乘法公式进行因式分解和变形. (2)用计算器计算 3π-33.14的值(精确到0.0001) (2)利用计算器可得3π≈31.5443,33.14≈31.48913 则3π-33.14=0.0552. [例 5] 设 a、b、c 均为不等于 1 的正数,且 ax=by= 1 1 1 c ,x+y+ z =0,求 abc 的值. z [例 6] 化简 a a+b -b a-b a-b 2b2 - 2 2,下面给出 a+b a -b 的解答过程是否正确?若正确,从中选择一种最简单的解 法.若不正确,说明错误的原因,并给出正确解答. 解法 1:a =a a+b -b a-b a-b 2b2 - 2 a+b a -b2 (a+b)2 2 2 -b a -b (a-b)2 2b2 2 2- a -b a2-b2 a(a+b) b(a-b) 2b2 = 2 2- 2 2- a -b a -b a2-b2 a2+ab-ba+b2-2b2 = a2-b2 a2-b2 2 2 = 2 = a - b . 2 a -b 解法 2:a =a a +b -b a -b a-b 2b2 - 2 a+b a -b2 (a+b)2 -b a2-b2 (a-b)2 2b2 - 2 a2-b2 a -b2 a|a+b| b|a-b| 2b2 = 2 2- 2 2- a -b a -b a2-b2 ①当 a+b>0,a-b>0 时,原式= a2-b2; ②当 a+b>0,a-b<0 时, a(a+b) b(a-b) 2b2 原式= 2 2+ 2 2- a -b a -b a2-b2 a2+2ab-3b2 = a2-b2 (a-b)(a+3b) 2 = · a -b2 2 2 -(a -b ) (a-b)(a+3b) 2 = a -b2 -(a-b)(a+b) a+3b 2 =- a -b2; a+b ③当 a+b<0,a-b>0 时, -a(a+b) b(a-b) 2b2 原式= 2 2 - 2 2- a -b a -b a 2 -b 2 a+ b 2 =- a -b2; a- b ④当 a+b<0,a-b<0 时, -a(a+b) b(a-b) 2b2 原式= 2 2 + 2 2- a -b a -b a 2 -b 2 -a2-ab+ba-b2-2b2 = a2-b2 a2+3b2 2 = 2 a -b2 2 b -a [辨析] 上面给出的两种化简方案都不正确,方案 1 中 忽略了算术根必须取非负值;方案 2 中只是在形式上注意了 a2=|a|,而不加分析地分四种情形进行讨论,忽略了题中隐 a+b 含的条件:即所给题目本身应是有意义的,即

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