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2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2012 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.从 n 名男生和 2 名女生中,任选 2 人参加英语口语比赛,若 2 人中至少有 1 名男生的概 率为

14 ,则 n 的值为 15
B. 4
2 C2 14 ? ?n?4. 2 Cn?2 15

( C. 5 D. 6

▲ )

A. 3 【答案】B 【解析】 1 ?

2.将向量 a ? (3, 4) 按向量 b ? (1, 2) 平移得到向量 c ,则 | c |? A. 2 2 【答案】C 【解析】由向量平移的不变性可知 c ? (3, 4) ,? | c |? 5 . 3.对任意 ? ? ? 0, B. 2 13 C. 5 D. 5

(

▲ )

? ?

??

? ,下列不等式正确的是 2?
B. tan ? tan ? ? ? tan ? D. cos ? tan ? ? ? cos?

(

▲ )

A. tan ? cos? ? ? tan ? C. cos? ? tan ? cos? ? 【答案】C 【解析】取 ? =

1 ? ? 知 A 错误; 3 3 2 3 取 tan ? ? 2 ,由 tan 2 ? 0 ? 2 知 B 错误;

?

,由 cos

?

?

取? =

?
4

,由 tan

?
4

?1?

?
4

知 D 错误;

由 tan ? ? ? ? 0 ? ? ?

? ?

??

? 知 C 正确. 2?
▲ )

4.在 ?ABC 中, A(1, 2), B(3, 4), C(2, k ) ,若 ? B 为锐角,则实数 k 的取值范围是( A. k ? 5 【答案】D 【解析】 B. k ? 5 C. 3 ? k ? 5 D . k ? 3或3 ? k ? 5

?B 为锐角,? AB ? BC ? 0 且 A、B、C 三点不共线,解得 k ? 3或3 ? k ? 5 .

5. 已知函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 2 ,f ( x ? 1) ? 的值为 A. 3

1 ? f ( x) ( x ? N *) , )( 2 ( )?f 3 ) ( ?f 则 f1 1 ? f ( x)
D . ?6

2 ( 0 ?1 2 )   ? f 
( ▲ )

B. 2

C. 1
第1页 共9页

【答案】C

【解析】

1? 1? f ( x ? 2) ? 1? 1? 1? 1?

f ( x) 1 f ( x) ?? ,? f ( x ? 4) ? f ( x), ? f ( x) 的周期 T ? 4 f ( x) f ( x) f ( x)
1 1 , f (4) ? , 2 3

由已知条件,可求得 f (2) ? ?3 , f (3) ? ?

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 1 ,故 f (1) ? f (2) ? f (3) ?     ? f (2012) ? 1.
【另解】由 f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) ( x ? N *) ,联想到两角和的正切公式, 1 ? f ( x)
?? ? ?? ? ? ? ? , f (3) ? tan ? ? ? ? , ?4 ? ?2 ?

设 f (1) ? 2 ? tan ? ,则有 f (2) ? tan ?

? 3? ? f (4) ? tan ? ? ? ? , f (5) ? tan ?? ? ? ? ? a1 ,… ? 4 ?
则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 1 ,故 f (1) ? f (2) ? f (3) ?     ? f (2012) ? 1. 6.已知 a ? R ,则函数 f ( x) ? 4 x ? a ? 2 x?1 ?1( x ? 0) 的最小值是 A . 2a ? 2 【答案】D 【解析】 f ( x) ? 4 ? a ? 2
x x ?1

(

▲ )

B. 1 ? a

2

?2a ? 2  (a ? ?1) C. ? 2 ?1 ? a   (a ? ?1)
? 1 ? (2x ? a)2 ? a2 ? 1 ,

?1 ? a 2   (a ? ?1) D. ? ?2a ? 2  (a ? ?1)

x ? 0 ,? 2 x ? 1 ,

? 当 a ? ?1 时, f ( x)min ? 1 ? a2 ,
当 a ? ?1 时, f ( x)min ? 2a ? 2 . 7.已知 A 为 ?ABC 的最小内角,若向量 a ? (cos A,1), b ? ? 2sin( A ? 值范围是 A. ? ?

? ?

?

? ),1? ,则 a ? b 的取 6 ?
( ▲ )

? 1 5? , ? 2 2? ?

B. ? ?

? 1 5? , ? 2 2? ?

C. ? 2, ? 2

? 5? ? ?

D. ? 2, ? 2

? ?

5? ?

【答案】C

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【解析】 a ? b ? 2sin( A ?

?
6

) cos A ? 1 ? 3 sin A cos A ? cos 2 A ? 1

?

3 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? , 2 2 6 2

? ? ? 5? 5 A ? (0, ]? 2 A ? ? ( , ]? a ? b ? [2, ] . 3 6 6 6 2
8.已知 函数 f ( x) ? x3 ? x , g ( x) ? sin x ? (2 ? cos2 x) ,则 f ( x)、g ( x) 的图像的交点个 数为 A. 1 个 【答案】A B. 2 个 C. 3 个 D.无数个 ( ▲ )

【解析】 f ( x) ? g ( x) ? x3 ? x ? sin x(2 ? cos2 x) ? sin3 x ? sin x

? ( x ? sin x)( x2 ? x sin x ? sin 2 x ? 1) ? 0
x 3x 2 ? ( x ? sin x)[(sin x ? ) 2 ? ? 1] ? 0 ? sin x ? x 2 4
? x ? 0 ,? y ? 0 ,从而 f ( x)、g ( x) 的图像只有一个交点.
【另解】 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ? sin x(2 ? cos x) ? sin x ? sin x ,
3 2 3 3 构造函数 f ( x) ? x ? x ,则 f ( x ) 在 R 上单调递增,从而 sin x ? x ,

? x ? 0 ,? y ? 0 ,从而 f ( x)、g ( x) 的图像只有一个交点.

9.定义

?x
k ?1

n

k

? x1 ? x2 ? x3 ?   ???   ? xn ,则

? (1 ? cos 2k ?)
k ?1

89

? sin 2k ?
k ?1

89

的值为

(

▲ )

A . ?1 【答案】B
89

B. 1

C . ?89

D . 89

? (1 ? cos 2k ?)
【解析】
k ?1

? sin 2k ?
k ?1

89

??

1 ? cos 2k ? 89 ? ? tan k ? ? 1 . sin 2k ? k ?1 k ?1
89

10.若函数 f ( x ) 在定义域内满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,有以下命题: ①函数 f ( x ) 可以为一次函数;
第3页 共9页

②函数 f ( x ) 的最小正周期一定为 6; ③若函数 f ( x ) 为奇函数且 f (1) ? 0 ,则在区间 [?5,5] 上至少有 11 个零点; ④若 ?、? ? R 且 ? ? 0 , 则当且仅当 ? ? 2k? ? 足已知条件. 其中错误 的是 .. A .①② 【答案】D B.③④ C .①②③ D .①②④

?
3

(k ? Z ) 时, 函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 满
( ▲ )

【解析】由 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,可得 f ( x ? 3) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,

? f ( x ? 6) ? f ( x) ,? f ( x) 的周期 T ? 6 .
而一次函数没有周期,从而①错误; 若 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 的周期为任意非零实数,从而②错误; 对于③, f (0) ? 0, f (1) ? 0 ? f (2) ? 0 ? f (3) ? 0 ? f (4) ? 0 ? f (5) ? 0 , 又 f ( x ) 为奇函数,所以 f ( x ) 在区间 [?5,5] 上至少有 11 个解,从而③正确; 对于④,当 ? ? 2k? ?

?
3

(k ? Z ) 时,函数也符合已知条件,从而④错误.
开 始

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分。 11.如图执行右面的程序框图,那么输出的 s 值为 ▲ . 【答案】

99 100 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100 1 1 1 1 1 99 ? 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? . 2 2 3 99 100 100

s ? 0, k ? 1

【解析】 s ?



k ? 99?

s?s? 1 k (k ? 1)
输出s

12.函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 的值域 是 ▲ .

【答案】 [?1,1] 【解析】由函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 得:

k ? k ?1

结 束

(11 题图)

当x的终边落在第一象限时,有f (x)=sin2x∈(0,1]; 当x的终边落在第二象限时,有f (x)=0; 当x的终边落在第三象限时,有f (x)= ? sin2x∈[ ? 1,0); 当x的终边落在第四象限时,有f (x)=0; 当x的终边落在两个坐标轴上时,有f (x)=0. 综上所述, f (x)的值域是 [?1,1] .
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3 2 1

8 8 3 0 7 6 8 0
(13 题图)

13.美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的 NBA 篮球明星, 下图是他在职业生涯前 8 场首发得分的茎叶统计图, 这些数据的平均值和方差分别为 ▲ . 【答案】25,

223 4 38 ? 28 ? 23 ? 20 ? 27 ? 26 ? 28 ? 10 ? 25 , 8

【解析】平均值 x ? 方差 s ?
2

1 ? (38 ? 25) 2 ? (28 ? 25) 2 ? (23 ? 25) 2 ? (20 ? 25) 2 ? (27 ? 25) 2 ? 8
?(26 ? 25) 2 ? (28 ? 25)2 ? (10 ? 25)2 ? ?? 223 . 4

4 14.方程 sin x ?

4 ? 5 的解集为 sin 4 x

▲ .

【答案】 ? x | x ? k? ?

? ?

?

? ,k ?Z? 2 ?

4 2 【解析】令 t ? sin x ?[0,1] ,则 t ? 5t ? 4 ? 0 ? (t ?1)(t ? 4) ? 0 ,? t ? 1 ,

? x ? k? ? ?sin 4 x ? 1 ,
【另解】

?

4 ? ? 5 ,取等条件是 sin 2 x ? 1 ,? x ? k? ? (k ? Z ) , 4 sin x 2 ? ? ? ? 原方程的解集为 ? x | x ? k? ? , k ? Z ? . 2 ? ? ? 1 ? 15.设集合 A ? ? x ? 2 x ? 4? 和B ? x log 2 ? x 2 ? ? x ?? ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x ? 4 ? 的最大整数,则 A B ? ▲ . sin 4 x ?

? ? ? (k ? Z ) , ? 原方程的解集为 ? x | x ? k? ? , k ? Z ? . 2 2 ? ?

?

?

【答案】 ? 2 【解析】∵

?

?

1 ? 2 x ? 4 ,??2 ? x ? 2 ,?? x? 的值可取 ?2, ?1, 0,1 . 4 2 2 当[x]= ?2 ,则 x ? 2 ,∴x= ? 2 ; 当[x]= ? 1 ,则 x ? 3 ,无解; 2 当[x]=0,则 x ? 4 ,无解. 当[x]=1,则 x 2 ? 5 ,无解;
综上 A

B? ? 2 .
▲ .

?

?

16.函数 f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 ?1 ? x 4 ? 2 x 2 的最小值为 【答案】1

【解析】先求定义域 (??,- 2] [ 2, ??) {0} ,易得 f (? x) ? f ( x) ,故 f ( x ) 为偶函数, 从而只需考虑 f ( x ) 在 [ 2, ??) {0}上的最小值, 注意到两个根号内的函数在 [ 2, ??) 上都递增,故 f ( x ) 在 [ 2, ??) 上递增,

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故 ymin ? min{ f (0), f ( 2)} ? 1.当 x ? 0 时取到最小值. 17.对于一切实数 x ,不等式 2 ? cos ? ? 2 x ? cos ? ? x ? 2 恒成立,则 ? 的取值范围是
x 2 2 x

▲ .

【答案】 2k? ?

2? 4? ? ? ? 2 k? ? ,k ?Z 3 3

【解析】 2x ? cos ? ? 2 x 2 ? cos ? ? x 2 ? 2 x 恒成立 ? 2x (cos? ? 1) ? x2 (2cos ? ? 1) 恒成立, 当 cos ? ? ?1 时,显然符合题意; 当 cos ? ? ?1 时,若 x ? 0 ,显然成立; 当 cos ? ? ?1 时,若 x ? 0 ,则原命题 ?

2 x 2cos ? ? 1 ? 恒成立, x2 cos ? ? 1



2x 2x 2 cos ? ? 1 1 ? 0 ,??1 ? cos ? ? ? , ? 0 ,? ? 0 ,且当 时, x ??? 2 2 cos ? ? 1 2 x x
1 2? 4? ? ? ? 2 k? ? ,k ?Z . ,解得 2k? ? 2 3 3

从而 ?1 ? cos ? ? ?

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18. (本题满分 16 分) 已知关于 x 的方程 2 x ? bx ?
2

1 ? 3? ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? ,? ? ( , ) . 4 4 4

(Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求

sin ? 1 ? cos ? ? 的值. 1 ? cos ? sin ?
sin ? , cos ? 为方程 2 x 2 ? bx ?

解: (Ⅰ)

1 ? 0 的两根, 4

? ?? ? b 2 ? 2 ? 0   (1) ? b ? 则有: ?sin ? ? cos ? ?   (2) , 2 ? 1 ? sin ? ? cos ? ?   (3) ? 8 ?
由(2) 、 (3)有:

---------------------4 分

b2 1 ? 1? , 4 4

解得: b ? ? 5 ,此时 ? ? 5 ? 2 ? 0 ,

2 sin(? ? ) ? 0 ,? b ? 5 ;---------------------8 分 4 sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? (Ⅱ) ---------------------12 分 1 ? cos ? sin ? 1 ? sin ? ? cos ?

又 sin ? ? cos ? ?

?

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且 sin ? ? cos ? ?

? 3 2 sin(? ? ) ? 0 , ? sin ? ? cos ? ? , 4 2

?

sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? 2 5 ? 4 ? ? 2? ? ? 8 ? 4 5 ? 4 3 ? 2 15 .-1 ? cos ? sin ? 1 ? sin ? ? cos? 2? 3
------------------16 分

19.(本题满分 17 分)设实数 a ?

1 1 ? x2 1 ? x2 ,函数 f ( x) ? . ? a 9 1 ? x2 1 ? x2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形. 解:易知 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x ) 为偶函数.

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 ? ? 5

1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ,令 t ? ? ? ?1 , 2 2 2 1? x 1? x 1? x 1 ? x2
则关于 x 的函数 t 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0,1) 上单调递减,---------------------3 分 又定义域为 (?1,1) ,? t ? (0,1] ,而 y ? t ? 在 (0,1] 上单调递减, 由复合函数的单调性可知, f ( x ) 在 (?1, 0) 上单调递减,在 (0,1) 上单调递增; ---------------------7 分 (Ⅱ)令 t ?

1 t

? 2 5 2 5? a 1 1 ? x2 1 , , x ? ?? ? ,? t ? [ ,1] ,? y ? t ? ( ? t ? 1) 2 t 3 5 ? 3 1? x ? 5
1 3

从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 [ ,1] 上,恒有 2 ymin ? ymax .----------10 分

1 1 a 1 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 9 3 t 3 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? a ? 1 , 3 1 1 由 2 ymin ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ,从而 ? a ? ;.----------12 分 9 3 1 a 1 (2)当 ? a ? 1 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3
(1)当
第7页 共9页

1 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? 3a ? , 3 3
由 2 ymin ? ymax 得

1 7?4 3 7?4 3 ,从而 ? a ? 1 ;.----------14 分 ?a? 3 9 9

a 1 在 [ ,1] 上单调递减, t 3 1 5 5 ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 1 ? a ? ;.----------16 分 3 3 3 1 5 综上, ? a ? ..----------17 分 9 3
(3)当 a ? 1 时, y ? t ? 20. (本题满分 18 分)函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且满足: ①对于任意的 x, y ? R , f ( x ? y ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f (1 ? x) f (1 ? y) ; ② f ( x ) 在区间 [0,1] 上单调递增. 求(Ⅰ) f (0) ; (Ⅱ)不等式 2 f ( x ? 1) ? 1 ? 0 的解集. 解: (Ⅰ)令 x ? 0, y ? 1 ,则 f (0) ? 2 f (0) f (1) ,所以 f (0) ? 0 或 f (1) ? 令 x ? 0, y ? 0 ,则 f (1) ? [ f (0)]2 ? [ f (1)]2 , 令x? y? 若 f (1) ?

1 ,----------2 分 2

1 1 2 ,则 f (1) ? 2[ f ( )] ,-------------------------------------------------------4 分 2 2

1 1 1 1 ,则 f (0) ? ? , f ( ) ? ? , 2 2 2 2

1 因为 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,所以 f (0) ? f ( ) ? f (1) ,矛盾! 2
因此 f (0) ? 0 ,-----------------------------------------------------------------------------------6 分 (Ⅱ) f (1) ? [ f (1)]2 , f (1) ? 1 . 令 y ? 0 ,则 f ( x ? 1) ? f ( x) f (0) ? f (1 ? x) f (1) ? f (1 ? x) , 所以 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称. ---------------------------------------------8 分 再证 f ( x ) 的图像关于原点对称.

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3 1 1 3 1 1 , y ? ,所以 f (0) ? f ( ) f ( ) ? f ( ) f (? ) , 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 因为 f ( ) ? f (0) ? 0 ,所以 f (? ) ? ? f ( ) ? ? f ( ) , 2 2 2 2
令x? 令 y ? 2 ,有 f ( x ? 1) ? f ( x) f (2) ? f (1 ? x) f (?1) , 对上式令 x ?

1 1 1 ,则 f (? ) ? f ( ) f (?1) ,所以 f (?1) ? ?1 . ----------------------10 分 2 2 2

又因为 f (2) ? f (0) ? 0 ,所以对任意的 x ? R ,恒有 f ( x ? 1) ? ? f (1 ? x) , 所以 f ( x ) 的图像关于原点对称. ----------------------12 分

所以对于任意 x ? R , f ( x) ? f (2 ? x) ? ? f ( x ? 2) ? ? f (4 ? x) ? f ( x ? 4) , 从而 f ( x ) 的最小正周期为 4 .----------------------14 分

这样可以大致描述 f ( x ) 的图像(如右) 令x? ,y?

1 3

2 2 1 2 , f ( ) ? 2 f ( ) f ( ) ,学优高考网 3 3 3 3

因为 f ( ) ? f (0) ? 0 ,所以 f ( ) ?

2 3

1 3

1 5 1 ,所以 f ( ) ? .----------------------16 分 2 3 2
1 . 学优高考网 2

由 2 f ( x ? 1) ? 1 ? 0 ,可得 f ( x ? 1) ? 根据图像,可知 ? 4k ? x ? 1 ? 所以不等式的解集是 {x | 4k ?

1 3

5 ? 4k , k ? Z , 3

2 2 ? x ? 4k ? , k ? Z} .----------------------18 分 3 3

第9页 共9页