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C^n中单位球上ρ次抛物星形映射的一些估计








刊 

2 0 1 3 , 3 4 A( 2 ) : 1 4 7   1 6 0  

C  中 单 位 球 上 P次 抛 物 星 形 映 射 的 一 些 估 计 木  
张 晓 飞  冯 淑 霞 
提要 主要研究了 c   中单位球 B   上 P( P∈ [ 0 , 1 ) ) 次抛物星形映射 的一些几何性质 , 给出了该映射 
类 的增长定理和掩盖定理,及其齐次展开式中二次项 的一些估计.   关键词 P次抛物星形映射,增长定理 ,掩盖定理 ,齐次展开式 

MR ( 2 0 0 0 )主题分类 3 2 A3 0 , 3 0 C 4 5  
中图法分类 O1 7 4 . 5 6   文 献 标 志 码 A 

文章编号 1 0 0 0 — 8 3 1 4 ( 2 0 1 3 ) 0 2 — 0 1 4 7 - 1 4  

1 引  言 
众 所周 知,星形 映射族 是 多复变 数几 何 函数论 的重 要研 究 内容之 一 , 已经取 得 了许 

多优美的结果.例如,文 [ 1 ] 中给出的星形映射的增长定理和掩盖定理.  

定理 1 . 1 [   ] 设, 是单位球 B   ={  =( Z l , Z 2 , …,  )   ∈ C   : l I z l l   =∑ l Z i l   <1 ) 上 
的正 规化 双全 纯星 形映 射 ,则 

) 1 1 ≤   从上 述不 等式 的左端 可得 

.  

f ( B ” ) ]  B   ,  
这就 是所谓 的星形 映射 一 掩 盖定理 .  

另外,文 【 2 — 4 ] 分别给出了单位球 B  上的  型螺形映射 , a次殆星形映射, o L 次  星形 映射 和 O L 次 强 星形 映射 的增长 和掩 盖定理 .  

( 1   +   1 ) 。   ≤I I f (   ) 1 1 ≤   ( 1
一  

,   1 ) 。 ’  

从 而 

f ( B  

设 f是 B  上正规化双全纯  次殆星形映射 ( O l ∈[ 0 , 1 ) ) , 则 

[ 1 +( 1 —2   )   ]  

≤   ㈤  川   【 1 一( 1 一   2  ̄   ) 1   1 …  

, ’  

本文 2 0 1 1 年 6月 2 5日 收到, 2 0 1 2年 1 0月 2 4日 收到修改稿.   中国科学技术大学数学 科学学院 ,合肥 2 3 0 0 2 6 . E — ma i l : z h x f e i Qma i l . u s t c . e d u . c n   河南大学现代数学研究所 ,数学与信息科学学院 ,河南 开封 4 7 5 0 0 4 . E . ma i l :  ̄n g s h x @h e n u . e d u . c n   本文受到国家 自然科学基金 ( No . 1 1 0 0 1 0 7 4 , N o . 1 1 0 6 1 0 1 5 , N o . 1 1 1 0 1 1 2 4 ) 和 河南省高等学校青年骨干教  师资助计划的资助 .   ‘  







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3 4卷 A 辑 

从而 

f ( B n ) D[ 2 ( 1 一  ) 】 一  

B n .  

设 . 厂 是 B  上正 规化 双全 纯 O L 次星 形映 射 (  ∈( 0 , 1 ) ) , 则 

≤I I f (   ) 1 1 ≤  
从而 

,  

f ( s ” 1   D   4 - ( 1 - a ) B   .  
设 ,是 B  上 正规 化双全 纯  次 强星形 映射 ( O t ∈( 0 , 1 】 ) , 则 

l e x p  。 [ ( 雨 1 - t )  ]   ≤ I f (   l e x p / o “     ‘ l +   t  ̄ _ 1   ] d t  
从而 f ( B” ) D   r (   ) B   , 其 中 

r (   ) = e x p  ̄ o   [ (   1 - t / )  ̄ 一   d t  
在单 复变 数 函数论 中有 下面著 名 的 d e   B r a n g e s 定理 .  

定理 1 . 3 若f ( z ) =  +∑ a n Z  是单位 圆盘 U= z∈c:   <1 ) 上的双全纯函 
数 ,则  l a   l ≤n , 凡=2 , 3 , ? 一.  

文 [ 5 ] 得 到在高维 空间 c  中类似 的结 果不 再成 立 .同时 ,他 建议 在 c  中研 究正规  化双全 纯 映射 的子类 ,例 如 凸映射 、星形映射及 其它 们 的子类 .   1 9 9 8年 ,文 【 6 ] 分 别给 

出了 O z (  ∈( 0 , 1 ) ) 次星形映射, O L ( O Z ∈( 0 , 1 】 ) 次强星形映射和 凸映射的系数估计.  
在本文 中,我 们首先 给 出 C  中单 位球 B  上 p次 抛物 星形 映射 的增 长定理 和掩 盖  定理 ,并 且也 给 出了该 映射类 齐次 展开 式 中二 次项 的一 些估计 .   R o n n i n g [   ] 在研 究单位 圆盘 U 上的 一致 凸函数 时首 先 引入 了 下面 的抛物 星形 函数 .   设 g∈s ( u) 是 单位 圆盘  上的正 规化 全纯 函数 ,如 果 

I   一   l < R e   ,  
则 称 g是  上 的抛 物 星形 函数 .显然 ,抛物 星形 函数 是星形 函数 的一 个子类 .同时 ,他 

还 证 明了 g是  上 的一致 凸 函数 当且 仅 当 z g   是  上的抛 物星形 函 数.   后 来, Ro n n i n g [   ] 又对 抛物 星形 函数 的定 义做 了如 下修改 :  

设g ∈s ( u ) 是单位圆盘  上正规化全纯函数,如果 

1   一   1 <  
则称 g是  上的抛 物 星形 函数 .   面 的定义 :  

,  

2 0 0 5 年, A l i [ 。 ] 在抛物星形函数的上述定义中引入了一个参数 P( P∈[ 0 , 1 ) ) , 给出下 

2期 

张 晓飞  冯淑霞 

C 中单位球 上 P次抛物星形映射的一些估计 

1 4 9  

设 g∈s ( u) 是 单位 圆盘  上 的正 规化 全纯 函数 ,如 果 

  一 l   l < ( i - 2 p ) +  

,  

则 称 g是  上的 P次抛 物星 形 函数 .当 P= 0时 ,这 恰好就 是抛 物星 形 函数的 定义 .   2 0 1 1 年 ,冯 淑霞 、张晓 飞和 陈慧 勇 [ 1 0 ] 给 出了单位 圆盘  上 的抛物 星形 函数和 P次  抛 物 星形 函数 的新的 定义形 式 ,同时又 将这些 定 义推广 到 了高维 空 间 C  中.  

定义 1 . 1 [ 1 o ]设 f∈s ( u ) 是  上正规化全纯函数, P ∈[ 0 , 1 ) , 如果 

f   一   f < ( 1 - 2 p ) + R e   ,  ∈  
则 称 ,是 己 , 上的 P次抛物 星形 函数 .   从上 面的定 义 易知 ,  
中,其 中 

在单位 圆盘 U 上 的像 完全落 在右半 平面 的抛 物形 区域 Q P  

Q p ={ 叫=仳 +i v : V   <4 ( 1 一p ) (  —p ) ) = w: I   一1 I <1 —2 p +R e w } .  
当 P=0时,定义 1 . 1 就 成 为抛物 星形 函数 的定 义.  

用L ( C   , C   ) 表示从 c  到 c   中的连续线性算子全体组成的空间,   是L ( C   , C n )   中的恒等算子.若 A∈L ( C   , C   ) , 则定义  的范数为  l I A I l =s u p { l l A w l l :   l l =1 ) .  
设 ,: B  一 C   是全 纯 映 射 ,   , 在 点  处 的 一 阶 F r  ̄ c h e t导数 用 Df ( z )表 示 ,其 中 

Df ( z ) ∈L ( C ” , C   ) 满足 
l i m 


一 o.  

用D   f ( z ) : I I   B ” 一c  表示 ,在  点处的 k阶 F r 6 c h e t 导数,并且在  点的邻域 内成 
j =l  

立 

, ( 叫 ) = ∑击 D   , (   ) ( ( 叫 一 z )   ) = ∑   D   , (   ) ( 叫 一 z , …, 叫 一   ) .  
向= U   k= 0  

定义 1 . 2[ 1 o ]设 ,: B”—   C  是 正规 化局部 双全 纯 映射 , P∈『 0 , 1 ) , 如果 

l ( 1 ( D , (  

) ,  ) 一 1 l < ( 1 - 2 p ) + R e { ( (  

, ( z ) ,  ) ) .  

则称 . 厂是 B  上的 P次抛物 星形 映射 .  

当P =0时,定义 1 . 2 就是单位球 B  上 的正规化抛物星形映射的定义  定义 1 . 3[ 1 0 ]设 f: B  —  C  是正规化局部双全纯映射,如果 

I ( (  

) ,  ) 一   f <   十 R e { ( (  

) ,  ) )  

则称 . 厂 是 B  上 的抛 物星形 映射 .  

1 5 0  

数 学



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3 4卷 A 辑 

设 Q是 C  中的 区域 ,记 日( 【 2 ) 为 Q上 的全纯 映射 的全体 .  

定义 1 . 4[ 1 1 ]设 f , g∈H(  ) . 如果 存在  上 的全纯 函数 , 满足 

( 0 ) =0 ,  l   (   ) l <1 ,   使得 f ( z ) =9 (   ( z ) ) , 则称 ,从属于 g , 记为 f ( z ) - 4   g (   ) .   注 1 . 1 显然,若 f ( z ) . < g , 则f ( U ) c   g ( u ) 且f ( o ) =9 ( 0 ) . 如果 g 是单叶的,则 
f ( z )   g ( z ) 甘 f ( u) c   g ( u ) 且 f ( O ) =_ 9 ( 0 ) .  

定义 1 . 5 [ 1 1 ]   称. 厂 : B  ×【 0 , ( 2 0 ) —  c  是一个从属链,如果 f ( z , t ) 满足下面的条 
件:  

( i ) , ( - , t ) ∈H( B   ) , 并且 f ( O , t ) =0 , Df ( O , t ) =e  ;   ( i i ) 对 任意 的 Z∈B  ,0≤s≤t <。 。 , f ( z , 8 )   f ( z , t ) .   若对 任意 的 t ≥0 , t 厂 ( - , t ) 都是 B  上的 单 叶函数 ,则 称从属 链 f ( z , t ) 是 L o e wn e r 链.  

2 一 些 引 理 
引理 2 . 1[ 1 2 ]设 _ 厂 : B  — C  是 正规化 局部 双全纯 映射 ,则 f是 B  上 的星形 映射 
当且仅 当 

9 ( z , t ) =e t , ( z ) ,  

∈B   , t ≥0  

引理 2 . 2[ 1 O ]若 , j( 1≤ J ≤ n )是 单位 圆盘 U 上正 规化 的 P次 抛物 星 形 函数 ,  

P∈[ 0 , 1 ) , 则 

F ( z ) =( f i ( Z 1 ) , f 2 ( 名 z ) , ? 一, , n (  ) )  
是 单位球 B  上正规 化 的 P次抛 物星 形映射 .  

号 I 理 2 . 3 设 P∈H( B  ) , p ( O ) =0 , Dp ( O ) =J ,P∈【 0 , 1 ) . 寞 日 呆 

I ( p ㈦ ,   ) - 1 < ( 1 - 2 p ) + R e  
则对 任意 的 z∈B   , 有 

) )   j z ∈  { O )  

[   +  
≤R e  (   ) ,   )  

(   。 g  
(   。 g  

)   ]  
)   ] _  

m 
其 中.幂 函数 取分 支使得 、  

=i   对数 函数 满 足 

l o g   Z=l o g   I   I +i   a r g  , 0≤a r g   z<2 7 r  

2 期  

张晓 飞  冯 淑 霞   c   中 单 位 球 上P 次 抛 物 星 形 映  的 一 些 堡  

!  

证 取定  ∈B   \ { 0 ) , 考察函数 f: U— c , 冥中  ) :  
因为 

(  ) ,  )  
= 0 ?  

;  

【 1 ,  

P∈H( B   ) ,v ( o ) =0 ,D p ( O ) =  ,  
所 以 f∈日(  ) , 并且 , ( 0 ) =1 .  

又 因 为| 厂 ( ∈ ) = ( p ( ∈  ) , 蒋) , ∈ ∈   \ { 0 ) , 所 以 , 由 题 设 条 件 知  
J , (   ) 一I   J <( 1 —2 p ) +R e , (   ) ,   ∈  \ { 0 } ,  
从 而上 式对 于任意 的 ∈∈U 成立 .因此 ,在 单位 圆盘 U上 ,有 , ( ∈ ) _ <  ( ∈ ) , 其 中 

+  
由从属原理可知,对任意的 ∈ ∈U , 都有 

( 1 o g   1 +   v /  ̄ , 。 ,  ∈  

+  
令∈ =I I z l l , 即得 

(  

2 <  ̄ R e f ㈥   [   十  

(  

)   ?  

(  l   q -   i   V  ̄ [ l /   ]   )   ] .  

≤Re ( p (   ) , z /  

m 丁 4 ( 1 - p ) ( 1 o g  

引理 2 . 4 设 P∈ H( B   ) , p ( o ) =0 , D p ( O ) =  , P∈[ 0 , 1 ) . 如果 

1 ( p ㈤ ,  ) - 1 < ( 1 - 2 卅R e  
则对 任意 的  ∈C  和  ≥2 , 有 

)  z ∈  \ { 0 ) ,  

l 去 ( D (   ) p ( 0 ) (   , . . . , z ) , z ) I ≤   皇   : ; = _   l   I   + 1 .  
证 易知,当 z =0 时,上面的不等式显然成立,故只需考虑  ∈c   \ { 0 ) ,   ≥2的  , 并且 ,. < h . 又因为 h 是 
情 形 即可 .  

假设 . 厂 和  如引理 2 . 3中所定义,那么  ( 0 ) =   上的凸函数,由文 【 1 3 ] 的结果可得 

I  
) =   +   ( D ( 2  

, ( 0  

, V  
) +  ( D ( 3   ) ,  )  

( 2 .   )  

另一方面,如果 ∈∈U并且 Z∈ c   \ { 0 ) , 那么 

+ . . r +   D   p ( 0 ) (  一 ,   ) ,  

) + . . ‘ ,  

1 5 2  







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3 4卷 A 辑 

从 而, V k≥ 2 , 有 

f ( k - 1 ) ( 0 )  ( D ‘   p ( 0 ) ( z , ‘ - ’ ,   ) ,  z) ?  
由( 2 . 1 ) 易 知 

l 两 1 ( D (   ) p ( 0 ) (   , . . . ,   ) , z ) l ≤   皇   二   I 1   l l   + 1 .  
由z ∈   \ { 0 ) 的任意性可知,上述不等式对于任意的 z ∈C  和  ≥2 都成立.  
下面 举例说 明当  =2时,上 面的 不等式是 精 确的 .考察 全纯 映射 F : B  一 C   , 其 
中 

F (   ) = ( f l ( z   ) , f 2 ( z 。 ) , …, , n ( z   ) )   ,   +   v / -  ̄ f j ( z j ) =   ( 1 +   ( 1 o g   1 - l ]   ) ,  




, 2 _ …  

显然 ,  

F ( z ) ∈H( B ” ) ,F ( 0 ) =0 ,D F ( O ) =  .   通过简单计算可知 

1 ( F (  
另一方 面, 由于 

) 一   1 < ( 1 - 2 p ) + R e { ( F (   ) ) 1   V z   e   B  ̄ \ { 0 ) .  
脚   (   ㈣  
,   :

故 

l ( D ( z ) F ( 0 ) (   ,   ) ,   ) I :  

∑ n   I 乃 l z  

(  , . 一,  )   ∈c   .  

令z =( r , 0 , …, 0 )   , 其中 r ≥0 , 那么 I I z l l =r , 并且 

I ( D ( 。 ) F ( 0 ) ( 名 ,   ) ,   ) I :曼 兰  二  r 3 =曼  : ; = 。   ! I I z l l 。 .  
3 主 要 结 果 
定理 3 . 1 设 ,是 B ”上正规化的局部双全纯 P次抛物星形映射, P∈[ 0 , 1 ) , 则 
V z∈B   , 有 

l l e x I 】   ≤I I f ( z ) l   l

I I z l l [  
[  

1  

一d x    
一  



≤  l l e  

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张晓飞  冯淑霞 

c  中单位球上 P次抛物星形映射的一些估 计 

1 5 3  

从 不 等式 的左端 可 以导 出  f ( B  )   r ( p ) B   ,  
其 中 
x p  

1 [  

网 1  

一d

? 




证 由 P次抛物星形映射的几何性质知,若 ,是 B  上的 P次抛物星形映射,则 ,   定是 B  上的星形映射 .由引理 2 . 1 , f ( z , t ) =e t f ( z ) ( Z∈B   , t ≥0 ) 是一个 L o e w n e r  

链 ,所 以 

f ( z , 8 ) _ <f ( z ,   ) , 0≤s≤t ,   即存在 S c h w a r z映射 u (   , s , £ ) , 使得 

f ( z , s ) =f ( v ( z , 8 , £ ) , t ) ,0 ≤8 ≤t .  
从 而 

v ( z , s , t ) =f - 1 ( e   , (   ) ) ,0 ≤s ≤t ,  


Dr (   ) [ D  
Df ( z , t ) h ( z , t ) ,  

)  



其 中 

h ( z , t ) =p ( z ) =[ D, ( z ) ] 一   , (   ) ,  
因为 

∈B   .  

兰   =[   D , ( u ( z , s ,   ) ) 】 一   ( 一 e s 一   , (   ) ) =一 p (   (   , s , £ ) ) ,  


2 R e (  , s   ,
=  

) ,  
)  
( 3 ?  

所 以 

R e (  , s .  
一  



R e ( u (   , s ,   ) , p ( u (   , s ,   ) ) ) ≤0 ?  

对 于 取定 的 Z∈B  \ { 0 ) , s≥0 , 令  v ( t ) =v ( z , s ,   ) , t ≥8 ,  
则 

v ( s ) =v ( z , 8 , 8 ) =  .   由( 3 . 1 ) 可知, I I v ( t ) l l 是关于 t ∈[ s , + ∞) 的从 f I z l l =I I v ( s ) l 到0 的单调减少函数,从而 
I I v ( t ) l I ≤I I v ( s )   l J =l I z l I .  







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利 用引理 2 . 3的结论 ,通过变 量代 换可 得 
对 

[  
两 

1  
f l 。 g  

边 
关 
于 
= 一  

[  

1 +  

积 
所 以 

  一

≥ /d 7 - =t —S  

, .  

+ 

“ [   +   (   。 g   )   一 1 ] j   X   ≥ £  
1  


从 而 
l l z l l  

I 唧  

+ 

d x 


s   l 1 .  

( 3 . 2 )  

同理 可得 

1 +  

f l 。 g  

1  

. . d ≤e  



, s ,  

( 3 . 3 )  

因为 ,是 正规 化 的局部双 全纯 映射 , v ( z , S , t ) 是 S c h w a r z映射 ,并且  f ( v ( z , S , £ ) ) =e S - t , (   ) , 0≤S ≤t ,   ∈B   所 以  1 i r n   v ( z , s , t ) =0 ,l i m  e t v ( z , s , t ) =e s , (   ) .  


t  

∞  

在 ( 3 . 2 ) 和 ( 3 . 3 ) 两端 同时令 t 一 +。 。 , 即得 
f   l   】

e x p/   l  
0   L  

1  

+   (   。 g   )  
f l O g   ∈ B  

≤l I f ( z ) l   l

≤I i z l   l e x p/ t ,     l 1 +  
0   L  

厂 l   l l   l r  

注3 . 1 为了说明这个结果是精确的,我们考察函数 F: B  — 一C n , 其中   Y ( z ) =( f l ( Z 1 ) , , 2 (   2 ) , … , , n (  ) )   ,  

(   ) : Z j   e x p  z j 『   1 +  
J0  

f l 。 g   l   - i v Y   ] 、 。  1 ] 坚,J : 1   2一 , n ,  
J   X 

则 F∈H( B   ) , F ( O ) =0  

1 5 6  







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定理 3 . 2 若, 是B ”上正规化的局部双全纯 P 次抛物星形映射,  P ∈[ 0 , 1 ) , 则 

I < D ( 2 ) , ( 0 ) ( z ,   ) ,   ) l ≤曼 兰  二  I l z l l 。
,  

并且 这个 结果 是精确 的 .  

证 令 P: B  一 C   , 满足 p ( z ) =[ D . 厂 ( z ) ] 一   . 厂 ( z ) ,   ∈B n , 则  P∈H( B   ) ,p ( o ) =0 ,D p ( O ) =I .  
因为 t 厂是 B  上正规 化 的 P次抛 物星形 映射 ,故 

I ( p ㈤ ,  ) 一   I < ( 1 - 2 p ) + R e { ( p (  
由引理 2 . 4知,对任 意的 z∈B   , 有 

) ) j   z ∈  { 0 } .  
l   l I l 。 .   ( 3 4 )  


l ( D ( 2 ) p ( 0 ) (   ,   ) , z ) I ≤  

由于 ,和 P都是正规化的,故它们有下面的齐次展式:  

, ( 名 ) =  + 去 D ( 。   , ( 0 ) (   ,   ) +…, z ∈ B   ,  
p (   ) =  + D   2 ) p ( 0 ) (   ,   ) +… ,   ∈B n .  
通 过 比较 f ( z ) 和 Df ( z ) p ( z ) 的二次 项 易知  D(   ) , ( 0 ) (   ,  ) =一 D(   ) p ( 0 ) (   ,  ) ,   再由 ( 3 . 4 ) 和 ( 3 . 5 ) , 即得  ∈Bn .   ( 35 )  


J ( D ( 2   , ( 0 ) (   , z ) ,  ) l ≤  

l I z l l 。 .  
. 

下面说 明这个 估计式是 精确 的. 为此, 我们考 察注 3 . 1中的双全纯 映射 F : B n   c n 通过 简单计 算知 

D   F ( 0 ) (   , ? ) =( a j , k ) l  ̄ j ,   ≤   ,  
其 中 


3 J ,  7 :   ,  ’ ≮   r 2   J ’  J  

,  

L 0 ,  

J≠ k ,  

从 而 

I < D 

) (   ) , 圳 :  

:  
j =l  

z  ,  

:(  

.   ) , ∈  

令  =( r , 0 , … , 0 )   , 其中 r ∈[ 0 , 1 ) , 则  I =r , 并且 

I < D 2 F ( 0 ) (   ,   ) ,   ) l =兰 兰   ≤ 二  r 3 =   兰  二   堕 I I   I 1 s .  
推论 3 . 2 若 _ ,是 B 上正 规化 的局 部双全 纯抛 物星形 映射 ,则 

l ( D(  , ( 0 ) ( z ,   ) ,   ) l ≤  
并目 . 这 个结 果是精 确 的.  

。 ,  

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1 5 7  

特别 地 ,当 n=2时 ,利 用定理 3 . 2我们 可以得 到单 位球 B  上正规 化 的 P次抛 物 星 
形 映射 的一个 偏差 结果 .  
,●●J‘l【  
、J  

定理 3 . 3 若 f=( f l , , 2 )   : B 。 一C   是B  上正规化的局部双全纯 P( P∈[ 0 , 1 ) ) 次    抛 物星形 映射 ,其^ 中 
,』  , 

、,

、 ●,  

l   I
l  

:  
2  

V  = (   1 , Z 2 )   ∈B   ,  
=  
2  
/, , ● 、

+ 
d  

+ 
d  

则有 

㈣  ㈤ 
2 l  

\ 

2 l  

d   d  

I ≤   + 
d  
; 1  

+ 
d  
1  

}I d  f ≤  

;  

㈤ 


2 l 2 1 

I d 5   + ( 鲁 ) 。 I     l d   i l ≤  
11  

(   +  
(   +  
/ , ●\  

+ 

d   d  

L 

f 移卜 (   ㈣叩 d +  ㈤ d  +    
2   2  
/ ,● 、

2  

2  

V b l , b 2 ∈  \ { 0 ) , 叩 1 , 叼 2 ∈C\ { 0 ) 满足 l 叩 1 I   +1 . 2  =1 1 成立.  




+ 



+  因为 . 厂 是+  B  上 正规 化 的双全 纯  P次抛 物星形 映射 , 由定理 3 . 2易知  础 
2  

2  

3 2 ( 1 一P )   ( D(   ) . 厂 ( 0 ) (   ,   ) ,   ) I ≤   7 r 2  一 m 讥一   通 过简 单计算 可得 
2   2  
2   2 

\、一、 、

一  

\ ●’ 、 、  

一  

、, /

 

Vz ∈ B 

\、-、 、

\●/

 

3— 2 

3— 2 

0 2 f l  

0 。 f l  
O Z l O Z 2  

0   f l  
Oz 2 0z 2  

D( 。 ) , ( 0 ) (   , z )  

a   - 厂 2  
Oz l Oz 2  

{ 2  
Oz 2 0z 2  
Vz ∈   。

)  



,  

从 而 

I  d 5   + I z l l 。   。 d ; 1 i +  ; d 5   +   d  +  I z 2 I 。 d   i +   1 。 I   。 d  
≤   I  3 I  
( 3 . 6 )   ( i ) 令 z= ( r , 0 )   , 其 中 r∈( 0 , 1 ) , 则由 ( 3 . 6 ) 可知  r 3   l ≤   1 6 ( 1 一  )  
7 r 2  

即 嘲 ≤  

另一方 面 ,若 令 z =( 0 , r )   , 其 中 r∈( 0 , 1 ) , 则  l d  l ≤  

( i i ) 对任意的 b l , b 2 ∈  \ { 0 ) , r h , r / 2 ∈C\ { 0 ) 满足 l 叩 1 l 。 +l r / 2  =1 I , 令 荨∈C满足 
0<   <1 . 再令 
Zl   :: :  :: : :一   . : 

{  

、 / / 6 1 。   + 6 2  
则 f   1   J   +l z 2 1 。 =  。 <1 , 从而  =( z 1 , 2 2 )   ∈B  

、 / / 6 1 。 I 叩 1 I   + b 2 2  

1 5 8  







刊 

3 4卷 A 辑 

由 ( 3 . 6 )日 J 知 

+6   6 2 叩 2 1 - , 2    ̄ ¨ ( 2 2 )+ 6


f   1 叩 1   1 叩 1 d   3 + b ; b 2 I 叩 1 I 。 叩 2 d ;   2 + b 1 6 2 - , l 『 1   / 2 “ ( o 1 , 2   1   叩 1 l 叩 2   I d i   + 6 i 1 叩 2 I 。 叩 2   d 0 ( 2 - 2 ) 1   I


≤  

( b l 2  

+b 2 2 1 叩 2   .  

在上述不等式的两端同时乘以 I 卵   I , 则有 

1 6   1 叩   1   d 5   + b   b 2 I 叼   1   叩 2 可   d   i + b   b   7  叩 ; d   2   + 6 { 6 2 I 叩 1 l   叩 1 . d  + b l b 2 1 f l 1 I 。 l 叩 2 I 。 d   i + 碹 l 叼 2 l 。 叩 2 而 d  l  
≤   ( b 1 2 1 f r J   I 。 +b 2 2   。 )   1 .   ( 3 . 7 )   设0 1 是_ r J 1的辐 角 ,在 ( 3 . 7 ) 两端 关于 0 1 从 0到 2 丌积分 ,可得 
) I 6   1 r _ J 1 l   ' 4   ( 1  ̄ - b 1 6 l l _ r J 1 l   l 卵 2 l 。 d   ; l ≤  


,  

( 6 1   l 叩 1 l 。 + 6 2 。 I 叼 2 l   ) ≥ l 叼 l l ,  

从而 

l d   + ( 鲁 )   l   I   d   { ≤  
同理 可得 ( i i ) N N ̄ t ' - 个不 等式 .  
V z∈B  , 有 

(   + ( 鲁 )   l   I 。 )   。  

定理 3 . 4 设 ,是 B ”上正规化的局部双全纯 P次抛物星形映射, P∈[ 0 , 1 ) , 则 

l l (  

( 1 +  

(  

)   ) e X p  ‘ [ 1 一  

1  

J i d x   _

并 目这 个 结 果 是 精 确 的 .  
证 一方 面 ,由引理 2 . 3 司知 

R e ( ( D , (   ㈦  
另一方 面 

  l [ 1 +  

( 1 o g   1   i   X /  ̄、 I/   ] ;  

R e ( ( J [ ) , ( z ) ) 一   , _ (   ) , z ) ≤I l z l I . 1 l (  , ( z ) ) 一   f ( z ) l 1 .  
因此 

l l ( 洲  
根据定理 3 . 1 中的结果,即得 

_ I z   (   )  

(   “   。 [ 1 一  

)   ] .   i   I    ̄ d x  

l 1 (  

[   十  

注 3 . 2 为了说 明这个 结果 是精 确 的,可 以重新考 虑 注 3 . 1中构 造 的函数 F(   ) , 用类  似 的方 法容 易证 明 匕 面 不等 式的等 号是 可 以取 到 的.  

2期 

张晓飞  冯淑霞 

C   中单位球上 P次抛物 星形映射 的一些估计 

1 5 9  

推论 3 . 3 设 f是 B  上正 规化 的局 部双 全纯 抛物 星形 映射 ,则 V z∈B   , 有 

_ l l ≥ ( 1 +  
并 且这 个结 果是精 确 的 .  

) 2 ) e X p / o “   [ 1 一  
参  考  文  献 

] 警  

[ 1 】 B a r n a r d   R   W, F i t G e r a l d   C   H , G o n g   S . T h e   g r o w t h   a n d   1   t h e o r e m s   f o r   s t a r l i k e   ma p p i n g s   i n   C  [ J 】 . P a c   Ma t h , 1 9 9 1 , 1 5 0 : 1 3 — 2 2 .   【 2 ] F e n g   S   X , L u   K   P . T h e   g r o w t h   t h e o r e m   f o r   a l m o s t   s t a r l i k e   m a p p i n g s   o f   o r d e r   o n   b o u n d e d   s t a r l i k e   c i r c u l a r   d o m a i n s [ J 】 . C h i n   Q u a r t   J   Ma t h , 2 0 0 0 , 1 5 ( 2 ) : 5 0 — 5 6 .   [ 3 ] K o h r   G , L i c z b e r s k i   P . U n i v a l e n t   m a p p i n g s   o f   s e v e r a l   c o mp l e x   v a r i a b l e s 【 M] . R o ma n i a :  
Cl u j   Un i v e r s i t y   Pr e s s . 1 9 9 8 .  

[ 4 ] G u r g a n u s   K   R .  一 l i k e   h o l o m o r h i c   f u n c t i o n   i n   C  a n d   B a n a c h   s p a c e s【 J ] . T r a n s   A me r  
Ma t h   So c .1 9 7 5、 2 0 5: 3 8 9 — 4 0 6.  

Ca r t a n   H. S u r   l a   p o s s i b i l i t 6   d ’ 6 t e n d r e   a u x   f o n c t i o n s   d e   p l u s i e u r s   v a r i a b l e s   c o mp l e x e s  

l a   t h e o r i e   d e s   f o n c t i o n s   u n i v a l e n t s [ M] / / L e c o n s   s u r   l e s   F o n c t i o n s   U n i v a l e n t s   O U   Mu t i v a -  
l e n t s , P . Mo n t e l ( e d ) , P a r i s : G a u t h i e r — V i l l a r s , 1 9 3 3 : 1 2 9 — 1 5 5 .  
Ko hr   G.On   s o me   be s t   b o und s   f o r   c o e f ic f i e nt s   o f   s e v e r a l   s ub c l a s s e s   o f   bi ho l o mo r p hi c  

ma p p i n g s   i n   C  [ J ] . C o m p l e x   V a r i a b l e s , 1 9 9 8 , 3 6 : 2 6 1 — 2 8 4 .  
RO n ni n g   F.Uni f o r ml y   c o n v e x   f u nc t i o ns   a nd   a   c o r r e s p o nd i ng   c l a s s   o f   s t a r l i k e   f un c t i o ns  

[ J 】 . P r o c   A m e r   Ma t h   S o c , 1 9 9 3 , 1   1 8 : 1 8 9 ~ 1 9 6 .   R C n n i n g   F . O n   s t a r l i k e   f u n c t i o n s   a s s o c i a t e d   w i t h   p a r a b o l i c   r e g i o n s [ J 】 . A n n   U n i v   Ma r i a e  
Cu r i e   Sk l o d o ws k a ,1 9 91 , 4 5: 1 1 7 —1 2 2.  

[ 9 】   A l i   R   M. S t a r l i k e n e s s   a s s o c i a t e d   w i t h   p a r a b o l i c   r e g i o n s [ J ] . / n t  Ma t h   S c i , 2 0 0 5 , 4 4 : 5 6 1 —  
57 0.  

冯淑 霞 , 张 晓飞, 陈慧 勇. 多复变 数 的抛 物星形 映射 [ J ] . 数 学学报 , 2 0 1 1 , 5 4 ( 3 ) : 4 6 7   4 8 2 .   [ 1 0 】   [ 1 1 ]   G r a h a m   I , K o h r   G . G e o m e t r i c   f u n c t i o n   t h e o r y   i n   o n e   a n d   h i g h   d i m e n s i o n s【 M] . N e w  
Yo r k:M a r c e l   De k k e r   I n c ,2 0 0 3.  

Pf a l t z g r a f   J   A, S u f r i d g e   T  J . Cl o s e — t o — s t a r l i k e   h o l o mo r p i c   f u n c t i o n s   o f   s e v e r a l   v a r i a b l e s   【 1 2 ]  

[ J ] . P a c   J   Ma t h , 1 9 7 5 , 5 7 ( 1 ) : 2 7 1 — 2 7 9 .   【 l 3 ]   R o g o s i n s k i   W. O n   t h e   c o e ic f i e n t s   o f   s u b o r d i n a t e   f u n c t i o n s [ J ] . P r o c   L o n d o n   Ma t h   S o c ,  
1 9 4 3, 4 8: 4 8 — 8 2 .  







刊 

3 4卷 A 辑 

S o me   Es t i ma t i o ns   f o r   Pa r a bo l i c   S t a r l i k e   M a ppi ng s   o f   Or de r   P   on   t he   U ni t   Ba l l   i n   C礼  
ZHANG  Xi a o f e i :   FENG  S h ux i a 0   1   S c ho o l   o f   Ma t he ma t i c a l  S c i e n c e s ,Uni v e r s i t y  o f   S c i e nc e  a n d  Te c hn o l o g y   o f   Chi n a, He f e i   2 30 0 2 6 ,Ch i n a.E— ma i l :z h xf e i @ma i l . u s t c . e du. c n  2 I n s t i t u t e   o f   Co n t e mpo r a r y   Ma t h e ma t i c s ,S c h oo l   o f   Ma t he ma t i c s   a n d   I n or f ma -   t i o n   S c i e n c e , He na n   Un i v e r s i t y , Ka i f e ng   4 7 5 0 0 4, He na n, Chi na .  
E— ma i l :f e ng s h x@ h e n u. e d u. c n  

A bs t r a c t  I n   t h i s   pa pe r , s e v e r a l   g e o me t r i c   p r o pe r t i e s   o f   pa r a b ol i c   s t a r l i k e   ma pp i ng s   o f   o r de r  

P( P∈[ 0 , 1 ) ) a r e   s t u d i e d .Mo r e   p r e c i s e l y , t h e   a u t h o r s   p r o v e   t h e   g r o w t h   a n d   t h e   c o v e r i n g  
t he o r e ms   f o r   pa r a b o l i c   s t a r l i k e   ma pp i ng s   o f   o r d e r   P   o n  t he   un i t   ba l l   B  i n   C .a nd   g i v e  
s o me   e s t i ma t i o n s   f o r   t h e   s e c o nd   i t e m  o f   t h e   ma pp i n g s ’h o mo g e n e o u s   e x pa n s i o n.  

Ke y wo r d s  Pa r a b o l i c   s t a r l i k e   ma p p i n g   o f   o r d e r   P , Gr o wt h   t h e o r e m, Co v e r i n g  
t h e o r e m ,Ho mo g e n e o u s   e x pa n s i o n  

2 0 0 0   M R  S u b j e c t   Cl a s s i i f c a t i o n   3 2 A 3 0 , 3 0 C 4 5  
Th e   En g l i s h   t r a ns l a t i o n   of   t h i s   pa pe r   wi l l   be   pu bl i s h e d   i n  

Chi ne s e   Jo ur na l   of   Cont e m por a r y  M a t he ma t i c s , Vo1 . 34  N o. 2, 2 01 3  

b y   AL L ERTON  PRE S S , I NC. , US A 


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