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www.1113439.com:2018版高中数学立体几何初步1.2.3第2课时直线与平面垂直学案苏教版

1.2.3 第 2 课时 直线与平面垂直 1.能正确判断直线与平面垂直的位置关系.(重点) 2.了解点到平面的距离和直线与平面间的距离.(难点) 3.理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理.(重点、难点) 4.了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念.(重点) [基础·初探] 教材整理 1 直线与平面垂直的定义 阅读教材 P35~P36 思考以上的部分,完成以下问题. 如果一条直线 a 与一个平面 α 内的任意一条直线都垂直, 则称直线 a 与平面 α 互相垂 直,符号表示:a⊥α .直线 a 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 a 的垂面,垂线和平面 的交点称为垂足. 图形表示: 图 1-2-54 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直,则 l⊥α .(×) (2)若直线 l 垂直于平面 α ,则 l 与平面 α 内的直线可能相交,可能异面,也可能平 行.(×) (3)若 a∥b,a? α ,l⊥α ,则 l⊥b.(√) (4)若 l⊥平面 ABCD,则 l⊥BC.(√) 教材整理 2 直线与平面垂直的判定 1 阅读教材 P36~P37 第 5 行,完成下列问题. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线垂直,那么这条直线 垂直于这个平面 ? ? m∩n=A a⊥α ? m? α ? n? α ? a⊥m a⊥n 1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况: ①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边. 能判定直线与此平面垂直的有________. 【解析】 由线面垂直的判定定理可知①③能判定,而②中线面可能平行、相交、还可 能线在平面内,④中由于正六边形的两边不一定相交,所以也无法判定线面垂直. 【答案】 ①③ 2.下列条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的有________. ①l 与平面 α 内的两条直线垂直; ②l 与平面 α 内的无数条直线垂直; ③l 与平面 α 内的某一条直线垂直; ④l 与平面 α 内的任意一条直线垂直. 【解析】 由直线与平面垂直的定义及判定定理知④正确. 【答案】 ④ 教材整理 3 直线与平面垂直的性质 阅读教材 P37 第 8 行~第 13 行,完成下列问题. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两条直线垂直于同一个平 面,那么这两条直线平行 a⊥α ? ? ? b⊥α ? ?? a∥b 已知 α 是平面, a, b 是直线, 且 a∥b, a⊥平面 α , 则 b 与平面 α 的位置关系是________. 【解析】 由线面垂直的性质可知,若 a∥b,a⊥α ,则 b⊥α . 【答案】 垂直 2 教材整理 4 距离及直线与平面所成的角 阅读教材 P36 第 13,14 行及 P38 第 4,5 行和 P39 例 3 以上部分内容,完成下列问题. 1.距离 (1)点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离. (2)直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行, 这条直线上任意一点到这个平面的距离, 叫做这条直线和这 个平面的距离. 2.直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角, 叫做这条直线与这个平面所成的 角.特别地:如果直线和平面垂直,那么就说这条直线与平面所成的角是直角;如果直线与 平面平行或在平面内,则它们所成的角是 0°的角. 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=1,则点 C 到平面 B1BDD1 的距离为________, AB 到平面 A1B1CD 的距离为________. 【导学号:41292031】 【解析】 连结 AC, 则 AC⊥BD, 又 BB1⊥AC, 故 AC⊥平面 B1BDD1, 所以点 C 到平面 B1BDD1 1 2 2 的距离为 AC= ,AB 到平面 A1B1CD 距离等于 A 到该平面的距离,等于 . 2 2 2 【答案】 2 2 2 2 2.如图 1-2-55 所示,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=AB,则直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于________. 图 1-2-55 【解析】 ∵PA⊥平面 ABC, ∴∠PBA 即为直线 PB 与平面 ABC 所成的角, 在 Rt△PAB 中,PA=AB,∴∠PBA=45°. 3 【答案】 45° [小组合作型] 线面垂直判定定理的应用 如图 1-2-56 所示,已知 PA 垂直于⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是 ⊙O 上任意一点,过点 A 作 AE⊥PC 于点 E,求证:AE⊥平面 PBC. 图 1-2-56 【精彩点拨】 只要证 AE 垂直于平面 PBC 内两相交直线即可,已知 AE⊥PC,再证 AE ⊥BC,即转为证 BC 垂直于平面 PAC 即可. 【自主解答】 ∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AC.而 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. 又∵AE? 平面 PAC,∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE,且 PC∩BC=C,∴AE⊥平面 PBC. 1. 用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时, 需在平面内找两条相交直线, 证明一条直线同时垂直于这两条相交直线,这是证明线面垂直的一个常用方法. 2.线线垂直与线面垂直的转化关系 线线垂直 线面垂直 [再练一题] 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,O 是底面 ABCD 的中心, 求证:EF⊥平面 BB1O. 4 图 1-2-57 【证明】 ∵E,F 分别是棱 AB,BC 的中点, ∴EF 是△ABC 的中位线,∴EF∥AC, ∵ABCD 为正方形,∴AC⊥BO,EF⊥BO, 又∵BB

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