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2012-2013年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题11 函数(三角函数等)模型及其应用

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第 11 讲:函数(三角函数、数列函数)模型及其应用
【考纲要求】 1、了解三角函数是描述周期变化现在的重要函数模型 ,会用三角函数解决一些简单实际问题 。 2、能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问 题。 【基础知识】

三、三角函数的应用一般是先根据题意建立三角函数模型 y = A sin(wx + φ ) + h ,再根据题
意结合三角函数的图像和性质分析解答。一般根据函数的最值确定 A 和 h ,根据函数的最小
正周期确定 w ,根据函数的最值点确定 φ 。
四、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答,如果不是等差 等比数列的,要转化成等差等比数列的问题来解决。注意数列的项数。 五.解决实际问题的解题过程 (1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的主 、被
动关系,并用 x 、 y 分别表示问题中的变量; (2)建立函数模型:将变量 y 表示为 x 的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型一般都
是函数的解析式;

六.解应用题的一般程序 (1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础; (2)建:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.熟悉基本数学 模型,正确进行建“模”是关键的一关; (3)解:求解数学模型,得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注

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意巧思妙作,优化过程; (4)答:将数学结论还原给实际问题的结果.

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例 1 已知某海滨浴场的海浪高度 y(单位:米)与时间 t(0≤t≤24)(单位:时)的函数

关系记作 y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:

t(时) 0

3

6

9

12

15

18

21

24

y(米) 1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

经长期观测,函数 y=f(t)可近似地看成是函数 y=Acosωt+b.

(1)根据以上数据,求出函数 y=Acosωt+b 的最小正周期 T 及函数表达 式(其中 A>0,

ω>0);

(2)根据规定,当海浪高度不低于 0.75 米时,才对冲浪爱好者开放,请根据以上结论,判

断一天内从上午 7 时至晚上 19 时之间,该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放?

解:(1)由表格给出的数据知:T=12-0=12;T= 2π = 2π = π w 12 6

A=(1.5-0.5) ÷ 2= 1 ; b=(1.5+0.5) ÷ 2=1 2

∴函数 y=Acosωt+b 的最小正周期及函数表达式分别是:T=12,y= 1 cos π t+1 26
(2)y≥0.75

∴ 1 cos π t+1≥ 3

26

4

∴cos π t≥- 1 (6 分)∴2kπ- 2 π ≤ 1 t≤2kπ+ 2 π k∈Z

62

32

3

即 12k-4≤t≤12k+4k∈Z

由 7≤t≤19,得 8≤t≤16.

答:该浴场有 8 小时可向冲浪爱好者开放.

【变式演练 1】海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮 , 晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天从 0 时至 24 时的时间 x(单位:时)与水深 y(单位:米)的关 系表:

(1)请选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系;

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(2)一条货轮的吃水深度(船体最低点与水面的距离)为 12 米,安全条例规定船体最低 点与洋底间隙至少要有 1.5 米,请问该船何时能进出港口?在港口最多能停留多长时间?
例 2 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A , B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB = 20km , CB = 10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边 界),且 A , B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO , BO , OP , 设排污管道的总长为 ykm .
(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:
①设 ∠BAO = θ (rad ) ,将 y 表示成θ 的函数关系式;
②设 OP = xkm ,将 y 表示成 x 的函数关系式.
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长 度最短.

所求函数关系式为 y = x + 2 x2 ? 20x + 200 (0 < x < 10) .

(Ⅱ)选择函数模型①,



y′

=

?10

cosθ

cosθ

? (20
cos2

?10sinθ θ

) ( ? sin θ

)

=

10 ( 2 sin θ
cos2 θ

?1)

.

令 y ' = 0 得 sinθ = 1 ,因为 0 < θ < π ,所以θ = π ,

2

4

6

当θ



? ??

0,

π 6

? ??

时,

y

'

<

0



y

是θ

的减函数;当 θ



? ??

π 6

,

π 4

? ??

时,

y

'

>

0



y

是θ

的增函数,

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所以当 θ

=π 6

时,

ymin

= 10 +10

3 .这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

10 3 km 处. 3

例 3 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,

并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么

每年新增汽车数量不应超过多少辆?

解:设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆, b3 万

辆,……,每年新增汽车 x 万辆,则

b1 = 30 , bn+1 = 0.94bn + x 所以,当 n ≥ 2时,

bn = 0.94bn?1 + x ,

( ) 两式相减得: bn+1 ? bn = 0.94 bn ? bn?1

(1)显然,若 b2 ? b1 = 0 ,则 bn+1 ? bn = bn ? bn?1 = ? = 0 ,即 bn = ? = b1 = 30 ,

此时 x = 30 ? 30 × 0.94 = 1.8.

(2)若 b2 ? b1 ≠ { 0 ,则数列 bn+1 ? bn }为以 b2 ? b1 = x ? 0.06b1 = x ?1.8 为首项,

以 0.94 为公比的等比数列,所以, bn+1 ? bn = 0.94n ? (x ? 1.8).

(i)若 b2 ? b1 < 0 ,则对于任意正整数 n ,均有 bn+1 ? bn < 0 ,所以, bn+1 < bn < ? < b1 = 30 ,

此时, x < 30 ? 30 × 0.94 = 1.8.

(ii)当 x > 1.8万 时, b2 ? b1 > 0 ,则对于任意正整数 n ,均有 bn+1 ? bn > 0 ,

所以, bn+1 > bn > ? > b1 = 30 , 由 bn+1 ? bn = 0.94n ? (x ? 1.8) ,得

( ) bn

=

(bn

) ( ? bn?1 + bn?1

? bn?2 ) + ? + (b2

? b1 ) + b1

=

(b2

? b1 ) 1 ? 0.94n?1
1 ? 0.94

+ 30

( ) (x ?1.8)1? 0.94n?1
=

+ 30 ,

0.06

要使对于任意正整数 n ,均有 bn ≤ 60 恒成立,



( ) (x ?1.8)1 ? 0.94n?1 + 30 ≤ 60

0.06

对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式



得x

1.8 ≤ 1 ? 0.94n

+ 1.8 ,

上式恒成立的条件为: x ≤

? 1.8

? ?

1

?

0.94

n

+ 1.8??

,由于关于 n 的函数

? 在n∈N上的最小值

f (n) =

1.8 1 ? 0.94 n

+ 1.8

单调递减,

所以, x ≤ 3.6 .

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例 4 广州市某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入 98 万元引进世界先进设备奔 腾 6 号,并马上投入生产,第一年需要的各种费用是 12 万元,从第二年开始,所需费用会比 上一年增加 4 万元,而每年因引进该设备可获得的年利润为 50 万元。 (1)引进该设备多少年后,开始盈利? (2)引进该设备若干年后,有两种处理方案: 第一种:年平均盈利达到最大值时,以 26 万元的价格卖出; 第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出。问哪种方案较为合算?并说明理由。

解:(1) 50n ? 98 ? (12 +16 + ...) ≥ 0∴ n2 ? 20n + 49 ≤ 0∴10 ? 51 ≤ n ≤ 10 + 51∴ n ≥ 3

所以 3 年后开始盈利。

(2)方案一:

50n

?

98

?

(12

+ 16

+

...)

=

40

?

2(n

+

49 )

≤ 12

当且仅当 n=7 时取等,所以

n

n

方案一最后的利润为 7×12 + 26 = 110 ,方案二: y = ?2n2 + 40n ? 98∴n = 10 时利润最大,

所以方案二的利润为 102+8=110,所以方案一合算

【变式演练 3】假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房. 预计在今后的若干年后,该市每年新建住房面积平均比上年增长 8%.另外,每年新建住房中, 中底价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底 (1)该市历年所建中低 价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年 建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? 【高考精选传真】 2012 高考没有此类考题。 【反馈训练】
1.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ),角速度为
1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为( )

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4.某产品成本不断下降,若每隔三年价格要降低 25%,现在价格是 640 元,则 12 年后的价格

是( )

( A )270 元

( B )210 元

( C )202.5 元

( D )125 元

5、某工厂去年的产值是 a ,计划在今后五年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起到

第五年末,这个工厂的总产值是( )

( A )1.14 a

( B )1.15 a ( C )10(1.15-1) a

( D )11(1.15-1) a

6、计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”,如 (1101)2 表示二

进制数,将它转换成十进制形式是 1× 23 +1× 22 + 0 × 21 +1× 20 = 13,那么将二进制数

(1??11?1???1)2 转换成十进制形式是( ).
16个1

A. 217 ? 2

B. 216 ? 2

C. 216 ?1

D. 215 ?1

7、北京市为成功举办 2008 年奥运会,决定从 2003 年到 2007 年 5 年间更新市内现有的全部

出租车,若每年更新的车辆比前一年递增 10%,则 2003 年底更新的车辆数约为现有总车辆数

的( )(参考数据:1.14 = 1.46,1.15 = 1.61)

A.10%

B.16.4%

C.16.8%

D.20%

8、根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn (万件),

近似地满足

Sn

=

n 90

(21n

?

n2

? 5)(n

= 1, 2,iii,12)

,按此预测,在本年度内,需求量超过

1.5

万件的月份是( )

A.5 月,6 月

B.6 月,7 月

C.7 月,8 月

D.8 月,9 月

9.把一段半径为 R 的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯才能使横截面的面积最大?

10.在某个旅游业为主的地区,每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化 .
现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数 f (n) 可近似地用函2R数 2Rsinθ
θ 2Rcosθ

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11.如图,某一天从 6―14 时的温度变化曲线满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b。 (1)求这一天 6-14 时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式。

12.一半径为 4 米的水轮如图,水轮圆心 O 距离水面 2 米,已知水轮每分钟转动 4 圈,如果当水轮上点 P 从 水中浮现时(图中点 P0)开始计时. (1) (1)将点 P 距离水面的高度 h(米)表示为 时间 t(秒)的函数; (2) (2)点 P 第一次到达最高点要多长时间?

(3)在点 P 每转动一圈过程中,有多少时间点 P 距水面的高度不小于 2+2 3 米

y

P

13. 如图所示,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, ?ABC 外的地方O种草,

?

x

?ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余地方种花. 若 BC = a , ∠ABC = θ ,-设2 ?APB0 C

的面积为 S1 ,正方形 PQRS 的面积为 S2 . (1) 用a、θ 表示S1和S2;

A

P

S

(2)当a固定,θ变化时,求 S1 取得最小值时θ的值. S2

θ
B

Q

RC

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15.某企业 2006 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若 不能进行技术改造,预测从 2007 年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次 性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为
第一年)的利润为 500(1+ 1 )万元(n 为正整数)。(Ⅰ)设从今年起的前 n 年,若该企业不 2n
进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术 改造资金),求 An、Bn 的表达式;(Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行 技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润? 16、已知某林场的树木的体积每年比上一年增加一倍,同时年底又要砍伐掉 500 方,该林场 1997 年底树木有 1000 方,问哪一年底,该林场的树木开始超过 1024500 方?
17、甲、乙两人同一天分别携带 1 万元到银行储蓄.甲存五年期定期储蓄,年利率为 2.88%; 乙存一年期定期储蓄,年利率为 2.25%,并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规 定每次计息时,储户须交纳利息的 20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行取出存 款,则甲、乙所得本息之和的差为多少元?
18、(1)某种储蓄的月利率是 0.36%,今存入本金 100 元,求本金与利息的和(即本息和)y(元) 与所存月数 x 之间的函数关系式,并计算 5 个月后的本息和(不计复利). (2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x,写出 本利和 y 随存期 x 变化的函数式.如果存入本金 1 000 元,每期利率 2.25%,试计算 5 期后的 本利和是多少?

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【变式演练详细解析】

【变式演练 1 详细解析】

(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,考虑用函数 y=h+Asin(ωx+φ)刻画水深与时间之间

的对应关系.

从数据可以得出:A=3,h=12,T=12,φ=0.

由 T= 2π =12,得ω= π .

w

6

所以这个港口的水深与时间的关系可用 y=12+3sin π x,x∈[0,24]近似描述. 6
(2)货船需要的安全水深为 12+1.5=13.5,所以当 y≥13.5 时就可以进港.

令 12+3sin π x≥13.5,∴sin π x≥ 1 .

6

62

∴2kπ+ π ≤ π ?x≤2kπ+ 5π ,k∈Z,

66

6

即 12k+1≤x≤12k+5,k∈Z.

∵x∈[0,24],∴1≤x≤5 或 13≤x≤17.

因此,货船在 1 点至 5 点可以进出港;或 13 点至 17 点可以进出港.

每次可以在港口最多能停留 4 小时。

【变式演练 2 详细解析】

如下图,扇形 AOB 的内接矩形是 MNPQ,连 OP,则 OP=R,设∠AOP=θ,则∠QOP=45°-θ,

NP=Rsinθ,在△PQO 中, PQ = R , sin(45° ? θ) sin135°

∴PQ= 2 Rsin(45°-θ)

S 矩形 MNPQ=QP·NP= 2 R2sinθsin(45°-θ)

= 2 R2·[cos(2θ-45°)- 2 ]≤ 2 ? 1 R2,

2

2

2

Q

B P

O

M NA

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当且仅当 cos(2θ-45°)=1,即θ=22 5°时,S 矩形 MNPQ 的值最大且最大值为 2 ? 1 R2 2
工人师傅是这样选点的,记扇形为 AOB,以扇形一半径 OA 为一边,在扇形上作角 AOP 且使∠ AOP=22 5°,P 为边与扇形弧的交点,自 P 作 PN⊥OA 于 N,PQ∥OA 交 OB 于 Q,并作 OM⊥OA
于 M,则矩形 MNPQ 为面积最大的矩形,面积最大值为 2 ? 1 R2 2
【变式演练 3 详细解析】
(1)设中低价房面积形成数列 {an },由题意可知 {an }是等差数列,

其中 a1=250,d=50,则

Sn

=

250n +

n(n ? 1) × 50
2

=

25n 2

+ 225n,

令 25n2 + 225n ≥ 4750, 即 n2 + 9n ?190 ≥ 0,而n是正整数,∴ n ≥ 10.

∴到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400·(1.08)n-1 由题意可知 an > 0.85bn
有 250+(n-1)50>400 · (1.08)n-1 · 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6, ∴到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 【反馈训练详细解析】

1.C【解析】:显然,当 t = 0 时,由已知得 d = 2 ,故排除 A、D,又因为质点是按逆时针方 向转动,随时间 t 的变化质点 P 到 x 轴的距离 d 先减小,再排除 B,即得 C. 另解:根据已知条件得 A = 2,ω = 1,? = ? π ,再结合已知得质点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间
4
t 的函数为 d = 2 sin(t ? π ) ,画图得 C. 4

3. A【解析】每年的取款组成了一个以 a 为首项,以 (1+ x) 为公比的等比数列,所以 b4 = a(1 + x)3 ,所以选 A.

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4. C【解析】由题得 12 年后的价格是 640×( 3)4 = 202.5 ,所以选择 C. 4

由此可得, T = 2π = 12 ? ω = π ;

ω

6

由规律②可知, f (n)max = f (8) = 100A +100k , f (n)min = f (2) = ?100 A +100k

f (8) ? f (2) = 200 A = 400 ? A = 2 ;

又当 n = 2 时, f (2) = 200 ? cos(π ? 2 + 2) +100k = 100 , 6
所以, k ≈ 2.99 ,由条件 k 是正整数,故取 k = 3.

综上可得,

f

(n)

=

200

cos

? ??

π 6

n

+

2

? ??

+ 300

符合条件.

(2)

解法一:由条件,

200

cos

? ??

π 6

n

+

2

? ??

+

300

>

400

,可得

cos

? ??

π 6

n

+

2

? ??

>

1 2

?

2kπ

π ?
3

<

π 6

n+2

<

2kπ

π +
3

,k∈Z

?

6 π

? ? ?

2kπ

?

π 3

?

2

? ? ?

<

n

<

6 π

? ? ?

2kπ

+

π 3

?

2

? ?

?



k



Z

? 12k ? 2 ? 12 < n < 12k + 2 ? 12 , k ∈ Z .

π

π

因为 n ∈[1,12] , n ∈ N* ,所以当 k = 1时, 6.18 < n < 10.18 ,

故 n = 7,8, 9,10 ,即一年中的 7,8,9,10 四个月是该地区的旅游“旺季”.

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解法二:列表,用计算器可算得

月份 n



6

7

8

9

10

11



人数 f (n) …

383

463

499

482

416

319



故一年中的 7,8,9,10 四个月是该地区的旅游“旺季”.

11. 【解析】:(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20?C。

(2)A= 1 (30-10)=10 2

b= 1 (30+10)=20 2

因为 1 · 2π =14-6,所以,ω= π ,



8

将 x=6,y=10 代入上式,解得 ? = 3π 。 4

综上,所求解析式为:y=10sin( π x+ 3π )+20,x∈[6,14]。 84
12.【解析】解:(1)依题意可以知道 h 的最大值为 6,最小值为-2.





?A+ B = 6 ??? A + B =

?2

, 求得

?A ??B

= =

4 2

∴T = 60 = 15, w = 2π ,

4

15

t = 0时,h = 0. ∴sinφ = ? 1 ∴φ = ? π

2

6

∴函数的表达式为h = 4sin( 2π t ? π ) + 2 15 6

a2 sin2 2θ ∴ S2 = 4 + 4sin 2θ + sin2 2θ .
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(2)当 a 固定,θ

变化时,

S1

=

1 (

4

+ sin 2θ + 4).

S2 4 sin 2θ

设 sin 2θ = t, 则y = S1 = 1 (t + 4 + 4). S2 4 t

∵0 < θ < π , ∴0 < t ≤1, 2

则f (t) = t + 4 (0 < t ≤1), t



f

′(t )

=1?

4 t2

< 0,

∴ f (t)在(0, 1]上是减函数.

故当t = 1时, S1 取得最小值,此时θ = π .

S2

4

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(2)依题意,周期 T≤ ,即 ≤ ,(ω>0)

∴ω≥200π>628,又ω∈N*,故最小正整数ω=629.

15.【解析】(Ⅰ)依题设,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;

Bn=500[(1+ 1 2

)+(1+ 1 22

)+…+(1+ 1 2n

)]-600=500n- 500 -100. 2n

(Ⅱ)Bn-An=(500n-

500 2n

-100)

-(490n-10n2)

=10n2+10n- 500 -100=10[n(n+1) - 50 -10].

2n

2n

因为函数 y=x(x+1) - 50 -10 在(0,+∞)上为增函数, 2n

当 1≤n≤3 时,n(n+1) - 50 -10≤12- 50 -10<0;

2n

8

当 n≥4 时,n(n+1) - 50 -10≥20- 50 -10>0.

2n

16

∴仅当 n≥4 时,Bn>An.

答:至少经过 4 年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 .

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16.【解析】设第 n 年底的树木体积为 an ,则由题得 an+1 = 2an ? 500 构造数列可得 an = 1000(2)n?1 + 500 > 1024500∴ n ≥ 12 2009 年底

……
x 期后的本利和为 y= a(1 + r) x .

将 a=1 000,r=2.25%,x=5 代入上式得 y=1 000×(1+2.25%) 5 =1 000×1.022 55.

由计算器算得 y=1 117.68(元).

答:复利函数式为 y=a(1+r) x ,5 期后的本利和为 1117.68 元.

19.【解析】解:(Ⅰ)依题设,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;

Bn=500[(1+ 1 2

)+(1+ 1 22

)+…+(1+ 1 2n

)]-600=500n- 500 -100. 2n

(Ⅱ)Bn-An=(500n-

500 2n

-100)

-(490n-10n2)

=10n2+10n- 500 -100=10[n(n+1) - 50 -10].

2n

2n

因为函数 y=x(x+1) - 50 -10 在(0,+∞)上为增函数, 2n

当 1≤n≤3 时,n(n+1) - 50 -10≤12- 50 -10<0;

2n

8

当 n≥4 时,n(n+1) - 50 -10≥20- 50 -10>0.

2n

16

∴仅当 n≥4 时,Bn>An.

答:至少经过 4 年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 .

20.【解析】甲的利润:1+1.3 +1.32 + ??? +1.39 ?10(1.1)10 = 16.8 1;乙的利润:

(1+1.5 + 2 + ???) ? (1.110 +1.19 + ??? +1.1) = 15 ,所以甲方案好。

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