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高中数学必修四《三角函数》知识点(精华集锦)


高中数学必修 4 第一章三角函数知识点总结
文献编辑者——周俞江

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?

2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则 称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ?? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180? , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90? , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ?? 4、已知 ? 是第几象限角,确定
?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再 n
*

从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限 对应的标号即为 终边所落在的区域.
? n

“唯一让你变得与众不同的天赋是持续不断的忍耐和坚持”

等分角所在象限的判断方法,在解决这类问题时,我们既可以采用常规的代数法,也 可以利用数形结合思想,采用图示法巧妙对 角所在的象限做出正确判断。 一、代数法 就是利用已知条件写出 ? 的范围, 由此确定 角的范围, 再根据 角的范围确定所 在的象限; 【例 1】已知 ? 为第一象限角,求 角所在的象限。 解:∵
? 2

? n

? n

? n

? 为第一项限角
? ? ?

∴ k ? 360 <?<k ? 360 ? 90 (k ? Z )

k ?180 ?< <k ?180 ? ? 45 ? 2
若 k 为偶数时: 则 k ? 2n(n ? Z ) ,则 ∴

?

(k ? Z )

n ? 360 ? < <n ? 360 ? ? 45 ? 2

?

(n ? Z )

? 角是第一象限角; 2

若 k 为奇数时:
? 则 k ? 2n ? 1(n ? Z ) ,则 n ? 360 ? ? 180 ?< <n ? 360 ? ? 225 ? (n ? Z )
? ∴ 角是第三象限角; 2 ? 2
2

因此, 角是第一象限或第三象限角 【例 2】已知 ? 为第二项限角,求 角所在的象限。 解:∵

? 2

? 为第二项限角
∴ k ? 360 ? 90 ? ? ? k ? 360 ? 180 (k ? Z )
? ? ? ?

k ?180 ? ? 45 ? ?

?
2

? k ?180 ? ? 90 ?

(k ? Z )

若 k 为偶数时: k ? 2n(n ? Z ) ,则 ∴
? 角是第一象限角; 2

n ? 360 ? ? 45 ? ?

?
2

? n ? 360 ? ? 90 ? (n ? Z )

若 k 为奇数时:

k ? 2n ? 1(n ? Z ) ,则 n ? 360 ? ? 225 ? ? ? ? n ? 360 ? ? 270 ? (n ? Z )

? 2 ? 角是第三象限角; 2
2

因此, 角是第一象限或第三象限角 二、图示法 就是在平面直角坐标系中,将坐标系的每个象限 n 等分,通过“标号”、“选 号”和“定象限”几个步骤最后确定 角所在的象限; 【例 3】已知 ? 为第三项限角,求 角所在的象限。
1 4 3 2 3 O 4 1 2 3 2 1 4

? 3

? n

(图 1)

解:第一步:因为要求 角所在的象限,所以画出直角坐标系,如图 1 所示,把每个 象限等分三等份; 第二步:标号,如图所示,从靠近 x 轴非负半轴的第一项限内区域开始,按逆时针 方向,在图中依次标上 1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4; 第三步:因为 ? 为第三项限角,所以在图中将数字 3 的范围画出,可用阴影表示; 第四步:定象限,阴影部分在哪一部分, 角的终边就在那个象限; 由以上步骤可知, ? 为第三项限角, 角为第一、第三或第四象限角。 【例 4】已知 ? 为第四项限角,求 角所在的象限。
3 2 4 1 1 o 4 2 3

? 3

? 2

? 3

? 3

解:第一步:因为要求 角所在的象限,所以画出直角坐标系,

? 2

(图 2)

如图 2 所示,把每个象限等分二等份; 第二步:标号,如图所示,从靠近 x 轴非负半轴的第一象限内区域开始,按逆时针 方向,在图中依次标上 1,2,3,4,1,2,3,4; 第三步:因为 ? 为第四项限角,所以在图中将数字 4 的范围画出,可用阴影表示; 第四步:定象限,阴影部分在哪一部分, 角的终边就在那个象限;
? 2

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? .
180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?
?
?

l r

?

?

8、 若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S , 则l ? r ? ,
C ? 2r ? l , S ?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离
n i ? ? ,cos ? ? ,tan ? ? ? x ? 0 ? . 是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 , 则s 若在单位圆中, 则有 sin ? ? y ,

?

?

y r

x r

y x

cos? ? x , tan ? ?

y 。 x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切 为正,第四象限余弦为正.

“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任 何一个角的四种三角函数值都是 “+” ; 第二象限内只有正弦是 “+” , 其余全部是 “-” ; 第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”, 其余全部是“-”。
y P T v

11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

O

M A

x

12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1

? sin

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; ? 2 ?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名不变,符号看象限.(注意:这里都是以“π”“ 2k? ”开始的)

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.(注意:都是以“ ”开始的) 特别注意:以上两个口诀可以合二为一“奇变偶不变,符号看象限” (其中奇偶是“ ” 的奇数倍还是偶数倍),对于太大的角,可以先化小在利用“奇变偶不变,符号看象 限”。 推算公式:3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:
3? +α)=-cosα 2 3? cos( +α)=sinα 2

? 2

? 2

sin(

3? -α)=-cosα 2 3? cos( -α)=-sinα 2

sin(

诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。 “奇、偶”指的是 π/2 的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变” 是指正弦变余弦,余弦变正弦”。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角 α 看 做锐角, 不管 α 是多大的角, 都必须 “看成锐角” , 不考虑 α 角所在象限, 看 n·(π/2)±α 是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。

14、

函 数 y ? A sin(wx ? ? ) 的性质: ①振幅: A ;②周期: T ?
w 1 2? ;③频率: f ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . T 2? W

“终有一天,你会特别感谢今天努力的你”
16、正弦,余弦,正切函数总结

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

x?R

x?R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?

值域 当 x? 最值
?
2

y ? ??1,1?

y ? ??1,1?

y?R

+ 2k? (k ? Z ) 时 , 当 x ? 2k? ? k ??? 时,
ymax ? 1;

ymax ? 1;

既无最大值也无 最小值

当 x ? - + 2k? (k ? Z ) 时,
ymin ? ?1.

? 2

当 x ? ? + 2k? (k ? Z ) 时,
ymin ? ?1.

周期性 奇偶性 在

T ? 2?

T ? 2?

T ??

奇函数

偶函数 在 ?- ? ? 2k? ,2k? ? (k ? Z ) 上 是增函数; 在 ?2k? , ? ? 2k? ?(k ? Z ) 是减 函数

奇函数

? ? ? ? - ? 2k? , ? 2k? ?(k ? Z ) ? 2 ? 2 ?

? 在? ? - ? k? , ? k? ? ? 2 2 ?

?

?

单调性

上是增函数; 在? ? ? 2k? ,
?2

? k ? ?? 上 是 增 函
数.

?

3? ? ? 2k? ? (k ? Z ) 2 ?

上是减函数. 对称轴 对称中 心
x?

?
2

? kπ (k ? Z)

x ? k?

(k ?Z )
( k? ,0 ) ( k ? Z ) 2

(k? ,0)(k ? Z )

(

?
2

? k? ,0 ) ( k ? Z )

1.求下三角函数求值域问题: 1. y ? cos( x ?

π ? π? ) ,x ? ?0, ? ; 6 ? 2?

2. y ? sin( 2 x ? ), x ? ( , );

π 3

π π 6 3

2.用换元法变成二次函数,再去求值域 1. y ? cos x ? 4 cos x ? 5.
2

π? ?π 5 y ? ?2 cos2 ? 2 sin x ? 3, x ? ? , ? ?6 6 ?

3.求下列函数的对称轴: 1. y ? sin x 2. y ? 2 sin( x ?

π ) 3

y ? 2 cos( ?2 x ?

π ) 6

4.求下列函数的单调区间: 1. y ? sin x

π y ? sin( x ? ) 2 π y ? cos( ?2 x ? ), x ? ?0, 2π ? 3

π y ? 2 sin( ?2 x ? ), x ? (0,2π ) 3 π y ? ?3 tan( x ? ) 2

2. y ? cos x

5.三角函数变换问题: 1. y ? sin x 2. y ? cos x 3(易错)

π y ? sin( x ? ) 2 π y ? cos( x ? ) 3 π y ? sin( 2 x ? ) 4

π y ? sin( 2 x ? ) 2 π y ? cos( 2 x ? ) 3 y ? sin( 2 x ?

y ? sin 2 x

?
3

)

y ? cos( 2 x ?

?
6

)


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