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高中数学新课标学业水平考试样卷(4套)


2009 年新课标学业水平考试样卷一(高中数学) 第Ⅰ卷(选择题 共 45 分) 一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目的要求) 1、已知集合 U ? ? 1,2,4,5,6,7?, A ? ?2,4,6?, B ? ? 1,3,5,7?, 则A ? CU B 等于 A

?2,4,6?

B

?1,3,5?

C

?2,4,5?

D

?3,5?

2、函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 等于 A 0.5 B 2 C 4 D 0.25

3、若过坐标原点的直线 l 的斜率为 ? 3 ,则在直线 l 上的点是 A C

(1, 3)
(? 3,1)

B D

( 3,1)
(1,? 3)

4、某建筑物的三视图如图所示,则此建筑物结构的形状是 A 圆锥 B 四棱柱 C 从上往下分别是圆锥和四棱柱 D 从上往下分别是圆锥和圆柱 5、直线 l1 : kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0和l 2 : (k ? 1) x ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 k 的值是 A -3 B 0 C 0 或-3 D 0或1 6、算法程序框图如图所示,最后输出的结果是 A C 数列 ?n?的第 100 项 数列 ?n?的前 100 项和 B D 数列 ?n?的前 99 项和 数列 ?n?的前 101 项和

7、抽样时,每次抽取的个体再放回总体的抽样为放回抽样,那么 在分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中,属放回抽样的有 A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 8、袋内装有红、白、黑球分别为 3、2、1 个,从中任取两个, 则互斥而不对立的事件是 A 至少一个白球;都是白球 B 至少一个白球;至少一个黑球 C 至少一个白球;一个白球一个黑球 D 至少一个白球,红球、黑球各一个 9、已知 sin ? cos ? ?

1 ? ,0 ? ? ? , 则 sin ? ? cos ? 的值是 8 2
B

A

3 2

1 4

C

?

3 2

D

5 2

10、已知正方形 ABCD 的棱长为 1,设 AB ? a, AC ? c, BC ? b, 则 a ? b ? c 等于 A 0
0

B

2

C

2 2

D

3

11、 cos105 等于

A

2? 3

B

2? 6 4

C

2? 6 4

D

6? 2 4

12、在 ?ABC 中,已知 a ? 4, b ? 6, C ? 1200 ,则 sin A 的值是

A

57 19

B

21 7

C

3 38

D

?

57 19

2 2 13、在等差数列 ?an ? 中,若an ? 0, a3 ? a8 ? 2a3 a8 ? 9 ,则其前 10 项和为

A

-13

B

-15

C

-11

D

-9

14 、 若 a, b, c ? R , 给 出 下 列 命 题 : ① 若 a ? b, c ? d , 则a ? c ? b ? d ; ② 若

a ? b, c ? d , 则a ? c ? b ? d ;
③若 a ? b, c ? d , 则ac ? bd ;④若 a ? b, c ? 0,则ac ? bc .其中正确命题的序号是 A ①②④ B ①④ C ①③④ D ②③ 15、下表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是 x Y A 模型 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 16、已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点 (2, 2 ) ,则 f (9) ? ______________. 17、圆心在直线 y=2x 上,且与 x 轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是 _________________________. 18、一个容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如下: 4 15 5 17 B 6 19 7 21 8 23 C 9 25 10 27 指数函数模型 D 对数函数

一次函数模型

二次函数模型

(10,20],2; (20,30],3; (30,40],4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2. ,则样本在区间 (10,50] 上的频率是_____________.
19、设 a ? ( x,?2),b ? (?3,5), 且 a, b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是___________. 20、在等比数列 ?an ? 中,an ? 0(n ? N ),且a6 ? a4 ? 24, a3 a5 ? 64, ,则 ?an ? 的前 8 项和
*

是________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 35 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 21、本小题满分 6 分 已知向量 a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos? , sin ? ), a ? b ?

2 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值. 5

22、本小题满分 6 分 在正方体 ABCD ? A1 B1C 1D1 中,E , F 分别是 DC和CC1 的中点.求证:D1 E ? 平面ADF

23、本小题 8 分已知 a ? R ,解关于 x 的不等式 (a ? x)(x ? 1) ? 0 .

24、本小题 7 分 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? a ( a , b ? R ) (1)若 a 从集合 {0,1, 2,3} 中任取一个元素, b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求 方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等实根的概率; (2)若 b 从区间 [0, 2] 中任取一个数, a 从区间 [0,3] 中任取一个数,求方程 f ( x) ? 0 没 有实根的概率.

25、本小题 8 分 对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R) . 2 ?1
x

(1)用函数单调性的定义证明 f ( x)在(??,??) 上是增函数; (2)是否存在实数 a 使函数 f ( x) 为奇函数?

新课标学业水平考试样卷二(高中数学) 第 I 卷 (选择题 共 45 分) 一、 选择题:(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1、已知集合 A ? {x ? N | ( x ? 4)(x ? 5) ? 0} , B ? {x ? N | x ? 2},U=N,那么 A∩(CUB)=( ) A . {1,2,3,4,5} B . {2,3,4,5} C . {3,4,5} D . {x|1<x ≤5} 1 1 1 1 2 2 2、已知 a>b,则不等式① < ,② > ,③ a >b ,④ ac>bc(c≠0)中不能 恒成立的 .. a b a-b a 是( ) A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个 ( )

3、 已知直线 l 的倾斜角为α ,且 sinα = A. 4 3 B. 4 3
2

4 ,则些此直线的斜率是 5 4 3 3 D. ± 4 ( ) B. y ? x 和y3 =x3 D. y ? x和y=loga a x

C. ±

4、下列各组函数中,表示同一函数的是 A. y ?

x2 和y ?

? x?

C. y ? loga x2和y=2loga x

5.设甲、乙两名射手各打了 10 发子弹,每发子弹击中环数如下: 甲:10,6,7,10,8,9,9,10,5,10; 则甲、乙两名射手的射击技术评定情况是: A.甲比乙好 B. 乙比甲好 C. 甲、乙一样好 ? 6.函数 y ? 3 cos( 2 x ? ) 的图像的一条对称轴方程是 A.x ? ? D. 乙:8,7,9,10,9,8,7,9,8,9 ( 难以确定 ( ) )

?
2

2

x?? B.

?
4

C. x ? ?

?
8

D.x ? ? ( )

7.下列函数中,最小值为 4 的函数是 A. y ? x ?

4 x

B.

y ? sin x ?

4 4 x C. y ? e ? x sin x e

D.

y ? log3 x ? logx 81

8.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列, -9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1)= ( ) 9 A. 8 B. -8 C. ±8 D. 8 9.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,且圆锥的底面积为 10,则它的侧面积为 A .10 2 B. 10 2 ? C. 5 2 D. 5 2 ? 10、已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 9 ( y ≥ 0) ,则 m ? ( )

y?3 的取值范围是 x ?1

( )

A. C.

3 3 或m≥ 4 2 3 m≤? 3或m≥ 3

m≤?

B. D. ( C ) 2401

3 3 ≤m≤ 4 2 3 ? 3≤m≤ 3 ?

11、写出右边程序的运行结果 A. 56 B. 250

x?7 x ? x*x x ? x*x ? x
PRINT x END

D.

2450

12、要从 165 个人中抽取 15 人进行身体检查,现采用分层抽样的方法进行抽取,若这 165 人中老人的人数为 22 人,则老年人中被抽到参加健康检查的人数是( A. 5人 B. 2人 C. 3人 D. 1人 ) )

13 、 两名教师与两名学生排成一排照相, 则恰有两名学生排在两名教师之间的概率为 ( A

6 7

B

3 7
x

C

2 5
) C.

D

1 6

14、函数 f ( x) ? log4 x 与 f ( x) ? 4 的图像( A. 关于 x 轴对称 y ? x 对称 B. 关于 y 轴对称

关于原点对称

D.

关于直线

15、已知 f ( x) ? 2 x2 ? 2x ,则在下列区间中, f ( x) ? 0 有实数解的是( A. (-3,-2)



B. (-1,0) C. (2,3) D. (4,5) 第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 55 分) 二.填空题:(本大题共 5 小题;每小题 4 分,共 20 分.) S 16、在面积为 S 的Δ ABC 内任取一点 P,则Δ PAB 的面积大于 的概率为 . 2

x x sin cos 3 2 2 17.已知 f ( x) ? 2 tan(x ? ? ) ? ,则 f ( ? ) ? x 4 2 sin 2 ? 1 2 ?x ? y ? 3 ?2 x ? y ? 5 18.已知 x,y 满足不等式组 ? ,则 S=6x+8y 的最大值是 ? x ? 0 ? ? ?y ? 0
19.运行右边框内的程序,在两次运行中分别输入 -4 和 4,则运行 结果依次为 . 20. 如图①,一个圆锥形容器的高为 a ,内装有一定量的水. 如果将容器倒置, 这时所形成的圆锥的高恰为 ( 如图②),则图①中的水面高度为 .

a 2

. INPUT “x=“;x IF x>=2 THEN y=3+x^2 ELSE IF . X>=0 THEN y=2*x ELSE y=x/2 END IF END IF PRINT y+1 END

a





三.解答题:(本大题共 5 小题,共 35 分.解答应写出文字说明、证明过程或推证过程) ? ? ? ? 21.(本题满分 6 分) 已知α 为锐角,向量 a ? (sin? , cos? ),b ? (cos2? , sin 2? ) ,且 a ?b (1)求 ? 的值. ? ? ? ? ? ? ? ? (2)若x ? 2 3a ? 2b , y ? 2a ? 2 3b ,求向量 x 与y 的夹角的余弦值.

22. (本题满分 6 分)已知圆 C 经过 A(3,2)、B(1,6)两点,且圆心在直线 y=2x 上。 (1)求圆C的方程; (2)若直线L经过点 P(-1,3)且与圆C相切, 求直线L的方程。

23. (本题满分 7 分) 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 为棱 AD、 AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

D1 A1 B1

C1

E A

D F B

C

24.(本小题满分 8 分)设 ?a n ?为等差数列, S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,已知 S 7 ? 7 ,

S15 ? 75 .
(1) 求数列 ?a n ?的通项公式; (2) 若

bn ? 2 an ? n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

25. (本题满分 8 分)已知函数 f ( x ) ? log 2 1? x (1)求 f ( x) 的定义域; (2)讨论 f ( x) 的奇偶性; (3)用定义讨论 f ( x) 的单调性.

1? x

新课标学业水平考试样卷三(高中数学) 第Ⅰ卷(选择题 共 45 分) 一.选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目的要求) 1.集合 A ? {-, 1 0}, B ? {0,1}, C ? {1, 2},则(A ? B) ? C 等于

? A B {-1,0,1,2} 2.下列函数中,在 R 上单调递增的是
A.

{1}

C

{0,1,2}

D

y? x

B.

y ? log2 x

C.

y ? x3

1

D.

y ? 0.5x

3.已知点 A( x,1, 2)和点B (2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是 A. -3或4 B. –6或2 C. 3或-4 D. 6或-2

4.已知直线 l 、 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若m∥ l ,n∥ l ,则m∥n ③若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n ②若m⊥? ,m∥?, 则? ⊥? ④若 m⊥? ,? ⊥? ,则 m∥? 或 m ? ? ?

其中假命题 是 ... A. ① B. ② C. ③ 5.如 1,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积 为 ... A.

D.
主视图


左视图

? 4

B.

5 ? 4

C.

?

D.

3 ? 2

6.如果点 P(sin? cos? ,2 cos? ) 位于第三象限,那么角 ? 所在象限 是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如下图所示,则新生婴 儿体重在[2700,3000]的频率为 0.002 频率/组距

俯视图

0.001

婴儿体重 2400 2700 3000 3300 3600 3900

? ? ? ? ? ? ? ? 8.已知 a ? 3, b ? 4, a ? b ? a ? 2b ? 23, 那么 a 与 b 夹角为

A.

0.5

B.

0.1

C.

0.3

D.

0.45

?

??

?

A.

60?

B.

90?

C.

120?

D.

150?

9.在△ABC 中, a ? 2 3m, b ? 4m (m ? 0) ,如果三角形有解,则 A 的取值范围是 A.0? ? A ? 30? B.0? ? A ? 60? C.0? ? A ? 90? D.30? ? A ? 60?

10.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 S9 等于 A.18 B.36 C.45 D.60

11.若不等式 x2 ? 2x ? a ? ? y 2 ? 2 y 对任意实数 x, y 都成立,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 0 B. a ? 1 12.数据 5,7,7,8,10,11 的标准差是 C. a ? 2 A.8 B.4 D. a ? 3 C.2

D.1

13.一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中再取出一球,则 取出的两个球同色的概率是 A. 1 B. 1 C. 1 D. 2

2

3

4

5

14.360 和 504 的最大公约数是 A 72 B 24 C 2520 D 以上都不对 15.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内, 那么下列命题中正确的是 A 函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B 函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C 函数 f(x)在区间[2,16 ) 内无零点

D 函数 f(x)在区间(1,16)内无零点 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 16.已知 f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f (?1) 的值为
2 2 2 2



17. 已 知 ? O1 : x ? y ? 1与? O2 ( : x-3)? (y+4) ? 9 , 则 ? O1与 ? O2 的 位 置 关 系 为 .

18.已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为__________________. x y

19.已知△ABC 的面积为 2 3 ,AB=2,BC = 4,则三角形的外接圆半径为_____________. 20.球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于圆周长的 周长为 4? ,那么球半径为

1 ,经过这 3 个点的小圆的 6

三.解答题(本大题共 5 小题,满分 35 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 21.(本题 6 分)已知函数 f ( x) ? ?

?3 ? x 2 , x ? [?1, 2], ? x ? 3, x ? (2,5].
3 2 1 -1 0 -1

y

(1)在图中给定的直角坐标系内画出 f ( x) 的图象; (2)写出 f ( x) 的单调递增区间.

1

2

3

4

5

x

ABCD 是边长为 4 的 22.(本题 6 分)如图:已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面 AC、BD 交于 O 正方形,高 AA 1 ? 4 2, P 为 CC1 的中点,
(I)求证: BD ? 面A 1 ACC1 ; (Ⅱ)求证: BD ? OP ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? A 1DB 的体积

? 23. ( 7 分)等比数列 ?xn ? 各项均为正值, yn ? 2 loga xn (a ? 0 ,已知 且 a ? 1,n? N )

y4 ? 17, y7 ? 11
(1) 求证:数列 ? yn ? 是等差数列; (2) 数列 ? yn ? 的前多少项的和为最大?最大值是多 少?

24.(本题 8 分)已知在△ABC 中, (1)若三边长 a,b,c 依次成等差数列, sin A : sin B ? 3 : 5 ,求三个内角中最大角的度 数; (2)若 BA? BC ? b 2 ? (a ? c ) 2 ,求 cosB.
? ?

25.已知 ? O: x2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1),由 ? O 外一点 P (a, b) 向

y
2

? O 引切线 PQ,切点为 Q,
且满足 PQ ? PA . (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的 ? P 与 ? O 有公共点,试求半径取最小值 时 ? P 的方程.
A
0 2

x P

Q

新课标学业水平考试样题四(高中数学) 第Ⅰ卷(选择题 共 45 分) 一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目的要求) 1.已知集合 M ? {x | x ? a ? 0}, N ? {x | ax ? 1 ? 0},若 M ? N ? N ,则实数 a 等于 A、 1 2.三个数 a ? 3
0.7

B、 ?1
3

C、 1 或 ?1 C. c ? a ? b
2 3

D、 1 或 ? 1 或 0 D. c ? b ? a
1

、 b ? 0.7 、c= c ? log3 0.7 的大小顺序为 B. b ? a ? c
1

A. b ? c ? a

3.在下列函数中:① f ( x) ? x 2 , ② f ( x) ? x 3 ,③ f ( x) ? x 4 ,④ f ( x) ? x 3 ,其中偶函 数的个数是 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4

4.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 交于E、F 两点,则 ? EOF(O 为原点) 的面积为 A、

3 2

B、

3 4

C、

2 5

D、

6 5 5

5.棱台上、下底面面积之比为 1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 A 、 1∶7 B 、2∶7 C、 7∶19 D、 5∶ 16 6、如图,大正方形的面积是 13,四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的 较短边长为 2。向大正方形内投一飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率为 A.

1 13

B.

2 13

C.

7、条件语句⑵的算法过程中,当输入 x ? 输出的结果是 A. ?

4? 时, 3
D.

3 13

D.

4 13

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

3 2
2

8、对于任意实数 a、b、c、d,命题 ① 若a ? b, c ? 0, 则ac ? bc ;② 若a ? b, 则ac ? bc
2

Input x if x>0 then

y ? cos x

Else

1 1 2 2 ③ 若ac ? bc , 则a ? b ;④ 若a ? b, 则 ? ; a b
⑤ 若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd . 其中真命题的个数是 A 1
0

y ? sin x
End Print y 第7题 4

B

2
0

C

3
0

D

9、若│ a │=2sin15 ,│ b │=4cos15 , a 与 b 的夹角为 30 ,则 a ? b 的值是 (A)

3 2

(B) 3

(C)2 3

(D)

1 2

10、把函数 y ? cos( x ? 则 ? 的最小值为 ( )

4? 3

4? ) 的图象向右平移 ? ( ? >0)个单位,所得的图象关于 y 轴对称, 3 ? ? 2? (A) (B) (C) (D) 3 6 3

11、已知 O 为原点,点 A、B 的坐标分别为 , (0, a ) 其中常数 a ? 0 ,点 P 在线段 AB (a,0) 上,且 AP = t AB ( 0 ? t ? 1 ),则 OA ? OP 的最大值为 (A) a (B)2 a (C)3 a (D) a
2

12、某厂生产甲、乙两种产品,产量分别为 45 个、50 个,所用原料为 A、B 两种规格的金 2 2 属板,每张面积分别为 2m 、3 m ,用 A 种金属板可造甲产品 3 个,乙产品 5 个,用 B 种金 属板可造甲、乙产品各 6 个,则 A、B 两种金属板各取多少张时,能完成计划并能使总用料 面积最省? (A) A 用 3 张,B 用 6 张 (B)A 用 4 张,B 用 5 张 (C)A 用 2 张,B 用 6 张 (D)A 用 3 张,B 用 5 张 13、 在△ABC 中, B ? 120?, a ? 3, c ? 5, 则 sin A ? sin C 的值为

A.

8 3 7

B.

4 3 7

C.

112 3 3

D.

56 3 3

14、某种细胞开始有两个,1 小时后分裂成四个并死去一个,2 个小时后分裂成 6 个并死去 一个,3 小时后分裂成 10 个并死去一个。按此规律,6 小时后细胞存活的个数是 A 71 B 67 C 65 D 63 15、当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a ? x与y ? loga x 的图象是 . y y 1 o 1 y 1 o 1 y

1 o

x 1

x

x

1 o

1

x

A B C D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 16.已知点 M(a,b)在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 17、从 56 名男教师和 42 名女教师中,采用分层抽样的方法,抽出一个容量为 28 的样本。 那么这个样本中的男、女教师的比是 . 18、函数 y ? sin x ? cos x 的图象可以看成是由函数 y ? sin x ? cos x 的图象向右平移得到 的,则平移的最小长度为_____________. 19 、 已 知 ?an ? 是 等 差 数 列 , 且 公 差 d ? 0 , 又 a1 , a 2, a 4依 次 成 等 比 数 列 , 则

a1 ? a4 ? a10 =_____. a2 ? a4 ? a7
20.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 为减函数,若 a ? b ? 0 ,给出下列不等式: ① f (a) ? f (?a) ? 0 ; ③ f (b) ? f (?b) ? 0 ; ② f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ; ④ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .

其中正确的是 (把你认为正确的不等式的序号全写上). 三、解答题(本大题共 5 小题,共 35 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 21、(6 分)已知三条直线 L1: X ? 2Y ? 0 L2:Y ? 1 ? 0 L3: 2 X ? Y ? 1 ? 0 两两相交, 先画出图形,再求过这三个交点的圆的方程

22、 (6 分)已知实数 a, b, c 成等差数列,a ? 1 ,b ? 1 ,c ? 4 成等比数列, 且 a ? b ? c ? 15 , 求 a , b, c .

23、 (7 分已知: 平面 ? ? 平面 ? = a , 平面 ? ? 平面 ? = b , 平面 ? ? 平面 ? = c 且 a、b、c 不重合. 求证: a、b、c 交于一点或两两平行.

24 、 (8 分 ) 已 知 M (1 ? cos2x,1), N (1, 3 s i n 2x ? a) ( x ? R, a ? R, a 是 常 数 ) , 且

y ? OM ? ON
( O 为坐标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)若 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值;

(3)在满足(2)的条件下,说明 f ( x) 的图象可由 y ? sin x 的图象如何变化而得到?

25、(8 分)已知函数 f ( x) ?

1 1 ? ,x ? 0,a ? 0. a x

⑴讨论 f ( x ) 在定义域上的单调性,并给予证明; ⑵若 f ( x ) 在 [m, n] 上的值域是 [m, n] , (0 ? m ? n) ,求 a 的取值范围和相应的 m , n 的 值.

山东省 2009 年新课标学业水平考试样题一(高中数学)
参考答案 一、选择题 ABDCC 二、填空题 CDDDC BABBA

16、3;17、 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ;18、0.7;19、 x ? ? 三、解答题 21、

10 6 且 x ? ;20、255 3 5

3 ;22、略; 5

23、第一步:将全体教师从 1 到 118 编号; 第二步:从 118 名教师随机剔除 6 名,重新编号; 第三步:在 1-7 名中,随机取一个号,设为 k,依次取号,k,k+7,k+14,…,k+15*7,由 此确定 16 名教师。 24、略 25、略

山东省 2009 年新课标学业水平考试样题二(高中数学)
参考答案 一、选择题: BDCDB BCBAA DBDDB 二填空题: 1 5 16. 17. 18. 24 4 2 三、解答题 ? ? 21.解:(1) ∵ a ?b ? 0 ∴

19. -1,20

3 20. (1 ? 7 )a

2

? ? a ?b



? ? a ? b ? sin ? cos2? ? cos? sin 2? ? 0

即 sin 3? ? 0 ? 又因为α 为锐角,所以 ? ? (2)解法一: 由 ? ? ∴

3

?

3 2 2 ? 2 2 ? ? x ? 2 3a ? 2b ? (2,2 3 ) ? ? ? y ? 2a ? 2 3b ? (0,4) ? ? 设向量x 与y 的夹角为θ 则 ? ? x? y 8 3 3 cos? ? ? ? ? ? | x | ? | y | 4? 4 2

? 3 1 ? 1 3 得a ? ( , ), b ? (? , )

解法二: ? ? ? ? 由已知可得 | a |? 1, | b |? 1, 且a ? b ? 0, ? 2 ? ? ?2 所以

? ? ? | x |? (2 3a ? 2b ) ? 12a ? 4b 2 ? 2 ? 2 3a ? 2b ? 4 ? ? ? ? ? ? ? | y |? (2a ? 2 3b ) 2 ? 4a 2 ? 12b 2 ? 2 ? 2a ? 2 3b ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? y ? (2 3a ? 2b ) ? (2a ? 2 3b ) ? 4 3a 2 ? 4 3b 2 ? 16a ? b ? 8 3
?

设向量 x 与y 的夹角为θ 则

?

? ? x? y 8 3 3 cos? ? ? ? ? ? | x | ? | y | 4? 4 2

22. 解:(1)设圆的方程为 依题意得: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ?r ? 0?

?(3 ? a) 2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(1 ? a) ? (6 ? b) ? r ?b ? 2a ? 2 解得 a ? 2, b ? 4, r ? 5 2 2 所以圆C的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 5

(2)由于直线L经过点(-1,3),故可设直线L的方程为y ? 3 ? k ( x ? 1) 即: kx ? y ? k ? 3 ? 0 因为直线L与圆C相切,且圆C的圆心为(2,4),半径为 5 所以有

| 2k ? 4 ? k ? 3 | k 2 ?1
解得 k=2 或 k= -

? 5
1 2

所以直线L的方程为 1 y ? 3 ? 2( x ? 1)或y ? 3 ? ? ( x ? 1) 即:

2 x BD ? y.? 5 在正方体 ? 0或x ? AC 2y ? 5?0 23. (1)证明:连结 中,对角线 BD // B1D1 . 1
又? E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD . 又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,

2

? EF // B1D1 .

? EF∥平面 CB1D1.
(2)? 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,

? AA1⊥B1D1.

又? 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1, 又? B1D1? ? 平面 CB1D1,

? B1D1⊥平面 CAA1C1.

? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.
24.解:(1)设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,则 Sn ? na1 ? n?n ? 1?d ∵

1 2

S 7 ? 7 , S15 ? 75 ,



?7a1 ? 21d ? 7 , ? ?15a1 ? 105d ? 75 ,

?a1 ? 3d ? 1 , 即 ? ?a1 ? 7d ? 5 ,

解得 a1 ? ?2 , d ? 1 ∴ 数列 ?a n ?的通项公式为 an ? n ? 3 (2) bn ? 2 ∴
an

1 ? n ? 2 n ?3 ? n ? ? 2 n ? n 8

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
1 1 1 1 ? ( ? 21 ? 1) ? ( ? 2 2 ? 2) ? ( ? 2 3 ? 3) ? ? ? ( ? 2 n ? n) 8 8 8 8 1 ? ? (21 ? 2 2 ? 2 3 ? ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? n) 8 1 n(n ? 1) ? ? (2 n ?1 ? 2) ? 8 2 1 n(n ? 1) n ? ? (2 ? 1) ? 4 2

25.解:(1)由

1? x ? 0 解得: -1<x<1 1? x

所以, f ( x) 的定义域为{x|-1<x<1}

(2)因为f,( x)

的定义域为{x|-1<x<1}且

f (? x) ? log 2

1? x 1 ? x ?1 1? x ? log 2 ( ) ? ? log 2 ? ? f ( x) 1? x 1? x 1? x

所以, f ( x) 是定义上的奇函数 (3)设-1<x1<x2<1 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log2

1 ? x1 1 ? x2 ? log2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? log2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
? log2 1 ? x1 1 ? x2 ? 1 ? x2 1 ? x1

因为, -1<x1<x2<1 ,所以 0<1+x1<1+x2<1, 0<1-x2<1-x1<1 所以, 0 ?

1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 ? 1,0 ? ? 1,即 : 0 ? ? ?1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1

1 ? x1 1 ? x2 ? ? 0,即 : f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? x2 1 ? x1 所以, f ( x) 在定义域(-1,1)上是增函数. 所以, log2

山东省 2009 年新课标学业水平考试样题三(高中数学)
参考答案 一、选择题 CCDBD BCCBC CCAAC 二、填空题

2 21 16、-2;17、相离;18、16;19、2 或 ;20、 2 3 3 三、解答题
21、解:(1)函数 f ( x ) 的图像如右图所示;

y 3 A(-1,2)
A

C(5,2) 1

-1

0 -1

1

2 B(2,-1)

5

x

(2))函数 f ( x ) 的单调递增区间为[-1,0]和[2,5] 22、(1)证明:连结 BD.在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 .

又? E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD . ? EF // B1D1 . 又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,

? EF∥平面 CB1D1.
(2)? 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,

? AA1⊥B1D1.

又? 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,

? B1D1⊥平面 CAA1C1. 又? B1D1? ? 平面 CB1D1, ? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.
23、解(1)? ?xn ? 是等比数列,设其公比为 q ,则

an ?1 ? q (定值) an

yn ?1 ? yn ? log a xn ?1 ? log a xn ? log a
所以数列 ? yn ? 是等差数列. (2)由(1)知 ? yn ? 是等差数列,

xn ?1 ? log a q (是定值) xn

y7 ? y4 ? 3d

即 11 ? 17 ? 3d

? d ? ?2

yn ? 17 ? (n ? 4)d ? 25 ? 2n

由 25 ? 2n ? 0得n ?

25 2

当 n ? 12 时 yn ? 0; 当 n ? 13 时,yn ? 0

所以数列 ? yn ? 的前 12 项和最大;

? y1 ? 23 ?最大值 S12 ? 12 ? 23 ?
12 ?11 (?2) ? 144 2
∴a : b=3 : 5 a = 3k (k>0) ∴ b = 5k

24、解:(1)在 ?ABC 中有 sinA:sinB=3:5

∵a,b,c 成等差数列 ∴最大角为 C,有 cos C ? C=120°

∴ c =7k

(3k ) 2 ? (5k ) 2 ? (7 k ) 2 1 ?? 2 ? (3k ) ? (5k ) 2

(2)由 BA ? BC ? b2 ? (a ? c)2
2 2

??? ? ??? ?

得 accosB=b -(a-c)
2

2

2

即 accosB=a +c -2accosB-(a +c2-2ac)

cos B ?

2 3
y
2

25、解:(1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有

PQ ? OP ? OQ .
又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .
2 2

2

2

2

A
O 2

即: (a ? b ) ?1 ? (a ? 2) ? (b ?1) .
2 2 2 2 2

x P

Q

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l:2x + y-3 = 0 上. ∴ ∴ | PQ |min = | PA |min ,即求点 A 到直线 l 的距离. | PQ |min = | 2?2 + 1-3 | 2 5 = . 5 22 + 12

(3)设 ? P 的半径为 R ,

? ? P 与 ? O 有公共点, ? O 的半径为 1,
? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

6 时, OP ? 3 5. min 5 5

此时, b ? ?2a ? 3 ?

3 , Rmin ? 3 5 ? 1 . 5 5

得半径取最小值时 ? P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 解法 2:

? P 与 ? O 有公共点,? P 半径最小时为与 ? O 外切(取小者)的情形,

这些半径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点与 l 垂直 的直线 l’ 与 l 的交点 P0. 3 3 5 y r= -1. 2 2 -1 = 5 2 +1 又 l’:x-2y = 0,

6 ? x? , ? x ? 2 y ? 0, ? 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ,得 ? ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴ 所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5

2

A
P0
O 2

x P
l

Q

山东省 2009 年新课标学业水平考试样题三(高中数学)
参考答案 一、选择题 DDACC 二、填空题 ABABB DABCC

16、3;17、4:3;18、

? 15 ;19、 ;20、①④ 13 2

三、解答题 21、解:如图:通过计算斜率可得 L1 ? L3,经过 A,B,C 三点的圆就是以 AB 为直径的圆 解方程组 ?

?x ? 2 y ? 0 ? x ? ?2 得? 所以点 A 的坐标(-2,-1) ?y ?1 ? 0 ? y ? ?1

解方程组 ?

?2 x ? y ? 1 ? 0 ?x ? 1 得? 所以点 B 的坐标(1,-1) ?y ?1 ? 0 ? y ? ?1

线段 AB 的中点坐标是 ( ?

1 2 2 ,?1) , 又 AB ? (?2 ? 1) ? (?1 ? 1) ? 3 2 1 2 9 2 所以圆的方程是 ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 2 4

22、解:由题意,得

?a ? b ? c ? 15 ? ? ?a ? c ? 2b ? 2 ? ?? a ? 1?? c ? 4 ? ? ? b ? 1?

?1? ? 2? ? 3?

由(1)(2)两式,解得 b ? 5

将 c ? 10 ? a 代入(3),整理得

a 2 ? 13a ? 22 ? 0 解得a ? 2或a ? 11, 故a ? 2, b ? 5, c ? 8或a ? 11, b ? 5, c ? ?1. 经验算,上述两组数符合题意。
23、解:(1) y ? OM ? ON ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2x ? a ,所以

f ( x) ? cos2x ? 3 sin 2x ? 1 ? a
(2) f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ? a ,因为 0 ? x ?

?
2

, 所以

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? ? ? ? , 当 2 x ? ? 即 x ? 时 f ( x) 取最大值 3+ a , 6 6 2 6

所以 3+ a =4, a =1 (3)①将 y ? sin x 的图象向左平移 ②将函数 f ( x) ? sin( x ?

?
6

? ? 个单位得到函数 f ( x) ? sin( x ? ) 的图象; 6 6
?
6 1 2

) 的图象保持纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ) 的图象;

得到函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ③将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图象保持横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2

倍得到函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的图象;

(x? ④ 将 函 数 f ( x) ? 2 s i n 2 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的图象向上平移 2 个单位,得到函数

?
6

) +2 的图象

24、证明:(1)若三直线中有两条相交,不妨设 a 、 b 交于 A . 因为, a ? ? ,故 A ? ? , 同理, A ? ? , 故 A? c. 所以 a、b、c 交于一点. (2)略 25、解:(1) f ( x ) 在定义域上单调递增. 任取 x1 ? x2 ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =
x1 x2 ? 0

1 1 x1 ? x2 ? ? x2 x1 x1 x2

∵ x1 ? x2 ? 0

∴ x1 ? x2 ? 0 ,



x1 ? x2 ?0 x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 )

∴ f ( x ) 在定义域上单调递增. (2)由(1)知 f ( x ) 在[m,n]上单调递增, ∴ f ( x ) 在[m,n]上的值域是 [ f (m), f (n)] 即 f ( m) ?

1 1 1 1 ? ? m , f ( n) ? ? ? n a m a n
2

∴ m , n 为方程 ax ? x ? a ? 0 的两实根,
2 ∴△=1 ?4a >0,且 a ? 0 可得 a ? (0, )

1 2

m?

1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 ,n ? 2a 2a


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