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3.2.1(古典概型)


基本概念

方法探究

典型例题

课堂训练

课堂小结

试验1:掷一枚质地均匀的硬币一次,观察出现 哪几种结果? 2 种

正面朝上

反面朝上

试验2:掷一颗均匀的骰子一次,观察出现的点 数有哪几种结果? 6 种

1点

2点

3点

4点

5点

6点

一次试验可能出现的每一个结果 称为一个 基本事件

基本概念

方法探究

典型例题

课堂训练

课堂小结

1点

2点

3点

4点

5点

6点

问题1: 在一次试验中,会同时出现 “1点” ( 1)

与 “2点”

这两个基本事件吗? 不会 任何两个基本事件是互斥的。 ( 2) 事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件? “2点” “4点” “6点” 事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件? “1点” “2点” “3点” “4点” 任何事件(不可能事件除外)都可以表示成基本事件的和。

例:
同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验中,有哪些基本事件?

A={正,正 }, B={正,反} C={反,正} , D={反,反}
同时抛掷三枚质地均匀的硬币呢?

解:所有的基本事件共有8个:

A={正,正,正}, B={正,正,反},
C={正,反,正}, D={正,反,反},

E={反,正,正}, F={反,正,反}, G={反,反,正}, H={反,反,反},

基本概念

方法探究

典型例题

课堂训练

课堂小结

一次试验可能出现的每一个结果 称为一个 基本事件

例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试
验中,有哪些基本事件? b c b d c d c d

a

树状图

解:所求的基本事件共有6个:

A ? {a, b} B ? {a, c} C ? {a, d } D ? {b, c} E ? {b, d } F ? {c, d }

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问题2:以下每个基本事件出现的概率是多少?
试 验 1

正面向上 (“正面向上”) P

反面向上
(“反面向上”) P
1 2

试 验 2

1点

2点

3点

4点

5点
1 6

6点 (“4点”) P

(“1点”) P

(“2点”) P (“5点”) P

(“3点”) P (“6点”) P

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问题3:观察对比,找出试验1和试验2的共同特点:
基本事件
试 验 1 试 验 2 “正面朝上” “反面朝上” “1点”、“2点” “3点”、“4点” “5点”、“6点”
基本事件出现的可能性

两个基本事件 1 的概率都是 2 六个基本事件 1 的概率都是 6

有限性

(1) 试验中所有可能出现的基本事件的个数 只有有限个 (2) 每个基本事件出现的可能性 相等

等可能性

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有限性
(1) 试验中所有可能出现的基本事件的个数 只有有限个
(2) 每个基本事件出现的可能性 相等

等可能性

我们将具有这两个特点的概率模型称为 古典概率模型

简称:

古典概型

基本概念

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问题4:向一个圆面内随机地投射一个点,如 果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认 为这是古典概型吗?为什么?

有限性 等可能性

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问题5:某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验 的结果有:“命中10环”、“命中9环”、“命中8 环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和 “不中环”。 5 你认为这是古典概型吗? 6 为什么? 7 8 9 有限性 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 9 8 等可能性 7 6 5

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课堂小结

试验2: 掷一颗均匀的骰子,
事件A 为“出现偶数点”, 请问事件 A的概率是多少?

探讨:

基本事件总数为: 6
事件A 包含

1点,2点,3点,4点,5点,6点 4点 6点

3
1 6

个基本事件: 2 点

(A) P

(“2点”) P

(“4点”) P
1 6 3 6

(“6点”) P

1 (A) P
6 3 6

1 2

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古典概型的概率计算公式:
(A) P

A包含的基本事件的个数 m

基本事件的总数

n

在使用古典概型的概率公式时,应该注意: 要判断所用概率模型是不是古典概型(前提)

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问题6: 在古典概率模型中,如何求随机事件出现的概率?

求古典概型的步骤:
? ? ? ? (1)判断是否为等可能性事件; (2)计算所有基本事件的总结果数n. (3)计算事件A所包含的结果数m. (4)计算 m/n

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例2.同时抛掷两枚均匀的硬币,会出现几种结果?列举出来. 出现 “一枚正面向上,一枚反面向上” 的概率是多少?

解:
正 正 反 反

基本事件有: ( 正 ,正 ) ( 正 ,反 ) ( 反 ,正 ) ( 反 ,反 )





2 1 P(“一正一反”)= ? 4 2
在遇到“抛硬币”的问题时,要对硬币进行编号用于区分

列表法 基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结一般适 用于分 例3 同时掷两个均匀的骰子,计算: 两步完 (1)一共有多少种不同的结果? 成的结 (2)其中向上的点数之和是9的结果有多少种? 果的列 (3)向上的点数之和是9的概率是多少? 举。 解:(1)掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上记号1, 2以便区分,它总共出现的情况如下表所示:
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

1

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

2
3

4
5 6

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。

1号骰子

2号骰子

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) ( (3 3, ,6 6) ) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) ( (5 5, ,4 4) ) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) ( (6 6, ,3 3) ) (6,4) (6,5) (6,6)

5
6

(2)在上面的结果中,向上的点数之和为9的结果有4种, 分别为: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) (3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之 和为9的结果(记为事件A)有4种,因此, A所包含的基本事件的个数 4 1 P (A)= = = 基本事件的总数 36 9

基本概念

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为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会出 现什么情况?你能解释其中的原因吗? 如果不标上记号,类似于(3,6)和(6,3)的结果将没有 区别。这时,所有可能的结果将是:
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

1
2

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) ( ) (3 3, ,6 6 ) 5) ) (4,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

3
4 5 6

A所包含的基本事件的个数 2 P (A)= = 基本事件的总数 21

因此,在投掷 两个骰子的过 程中,我们必 须对两个骰子 加以标号区分

(3,6)
(3,3)

概率相等吗? 概率不相等

例4.某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问 质检人员从中随机抽取2听,检测出不合格产品的概 率有多大?

解:设合格的4听记为1,2,3,4,不合格的2听记为a, b, 只要检测出的2听中有一听不合格,就表示查出了不合格 产品, A表示抽出的两听饮料中有不合格产品。其基本事件总 数为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b) (2,1),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b) (3,1),(3,2),(3,4),(3,a),(3,b) (4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b) (a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b) (b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a)

而检测出不合格事件数为: (a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b) (b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a) (1,a),(1,b),(2,a),(2,b) (3,a),(3,b),(4,a),(4,b) 所求概率 P(A)=18/30 =0.6

以不考虑抽取顺序方式更易明白.可以理解为一次“随机 抽取2听”, 这样(1,2),(2,1)作为相同事件,于是基本事件总 数就为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b) (2,3),(2,4),(2,a),(2,b) (3,4),(3,a),(3,b) (4,a),(4,b) ( a ,b ) 而检测出不合格事件数为: (1,a),(1,b) ,(2,a),(2,b) (3,a),(3,b) ,(4,a),(4,b) ,(a,b) 所求概率 P(A)=9/15 =0.6

例5、假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成,每个数字可以是 0, 1,……,9 十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘记了 自己的储蓄卡密码,问他在自动提款机上随机试一次密码就 能取到钱的概率是多少? 解:这个人随机试一个密码,相当做 1 次随机试验,试验的基 本事件(所有可能的结果)共有 10 000 种。由于是假设的随机 地试密码,相当于试验的每一个结果是等可能的。所以 P(“能取到钱”)= “能取到钱”所包含的基本事件的个数 10000 =1/10000=0.0001 答:随机试一次密码就能取到钱概率是 0.0001 .

基本概念

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典型例题

课堂训练 课堂小结

1. 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 选项中选择一个正确的答案。

A 、B 、C 、D 四个

假设考生不会做,他随机地选择了一个答案,则他答对的概率 为

6 ,7 , 8 , 9 这九个自然数中任选一个, 2 ,3 ,4 ,5 , 2. 从 1 ,
所选中的数是3 的倍数的概率为 3. 一副扑克牌,去掉大王和小王,在剩下的52张牌中随意抽出一张牌,
试求以下各个事件的概率: A: 抽到一张Q B: 抽到一张“梅花” C: 抽到一张红桃 K

基本概念

方法探究

典型例题

课堂训练 课堂小结

1. 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 选项中选择一个正确的答案。

A 、B 、C 、D 四个

假设考生不会做,他随机地选择了一个答案,则他答对的概率 1 为 基本事件总共有几个? 4个:A,B,C,D 4

“答对”包含几个基本事件? 1个

探究: 如果该题是不定项选择题,假如考生也不会做,则他能够答对的
概率为多少? 此时比单选题容易了,还是更难了?

基本概念

方法探究

典型例题

课堂训练 课堂小结

6 ,7 , 8 , 9 这九个自然数中任选一个, 2 ,3 ,4 ,5 , 2. 从 1 , 1 所选中的数是3 的倍数的概率为 3
3. 一副扑克牌,去掉大王和小王,在剩下的52张牌中随意抽出一张牌,
试求以下各个事件的概率: A: 抽到一张Q

4 1 ? 52 13 52 4

B: 抽到一张“梅花” 13 ? 1 C: 抽到一张红桃 K 1

思考题

52

同时抛掷三枚均匀的硬币,会出现几种结果? 出现 “一枚正面向上,两枚反面向上” 的概率是多少?

基本概念

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典型例题

课堂训练

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1.知识点:
(1)基本事件的两个特点: ①任何两个基本事件是互斥的; (2)古典概型的定义和特点 ①有限性; ②任何事件(除不可能事件)都可以 ②等可能性。 表示成基本事件的和。 (3)古典概型计算任何事件 A的概率计算公式

A所包含的基本事件的个 数 P(A)= 2.思想方法: 基本事件的总数

列举法(树状图或列表),应做到不重不漏。

(必做)

(选做)

判断下列试验是不是古典概型
1、种下一粒种子观察它是否发芽。 N 2、上体育课时某人练习投篮是否投中。 N 3、掷两颗骰子,设其点数之和为 , 则 ? ? ?2,3,4,5,6,7,8,9,10 。 ,11 ,12? N 4、在圆面内任意取一点。 N 5、从规格直径为300 ? 1mm 的一批合格 产品中任意抽一根,测量其直径,观察 测量结果。 N

小结:判断一个试验是否为古典概型,在
于检验这个试验是否同时具有有限性和等可 能性,缺一不可。


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