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高中数学空间向量-立体几何与空间向量第六课时


应用空间向量解立体几何之 用平面法向量求空间距离 一、求异面直线的距离 方法指导:①作直线a、b的 方向向量a、b,求a、b的法 向量n,即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量; ②在直线a、b上各取一点 A、B,作向量AB; ③求向量AB在n上的射影 d,则异面直线a、b间的距 离为 M a A n a N B b d ? AB ? cos ? AB, n ? ? AB ? n n 例2:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 求异面直线DA1与AC的距离。z D1 C1 A1 B1 C y D x A B 练习:如图, ABCD是正方形,SB ? 面ABCD,且SA与 面ABCD所成的角为 45?,点S到面ABCD的 距离为1,求AC与SD的距离。 S z B C D A y x 例3、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥ 平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD 的中点,求点B到平面GEF的距离。 G D F A C E B 二、求点到平面的距离 如图点P为平面外一点,点A为平面内的任 一点,平面的法向量为n,过点P作平面a的垂 线PO,记PA和平面a所成的角为?,则点P 到平面的距离 d ?| PO | P n ?| PA | sin ? a O ?A | n ? PA | ?| PA | | n || PA | | n ? PA | ? |n| 例3、已知正方形ABCD的边长为4, CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点,求点B到平面GEF的距离。 z G x D F A C E y B 练习: SA ? 平面ABCD,?DAB ? ?ABC ? 90?, SA ? AB ? BC ? a,AD ? 2a , z 求A到平面SCD的距离。 S A B x C D y 三、求直线与平面间距离 例4、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD, CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求直线BD到平面 z GEF的距离。 G d? PA ? n n x D F A C E y B 四、求平行平面与平面间距离 例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点,求 z 平面AMN与平面EFDB的距离。 d? PA ? n n A1 N D1 F E C1 M B1 D C B y x A 小结: 1、怎样利用向量求距离? ①点到平面的距离:连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影(如果不知道判断方向, 可取其射影的绝对值)。 ②点到直线的距离:求出垂线段的向量的模。 ③直线到平面的距离:可以转化为点到平面的距离。 ④平行平面间的距离:转化为直线到平面的距离、点到 平面的距离。 ⑤异面直线间的距离:转化为直线到平面的距离、点 到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模 或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的 模。 结论1 点 P 到平面a的距离可以通过, 在平面a内任取一点 A,求向量 PA在 平面a的法向量 n 上的投影来解决. P d? PA ? n n M a O n N A 结论2 异面直线间的距离可以通过, 在两条直线上任意各取一点 A、B, 求向量 AB 在公共法向量 n 上的投影 来解决. A d? AB ? n n a M a

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