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练习题(立体几何与概率部分一)

练习题(十一)
1.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC , PA ? AB ,

PA ? AB , ?ABC ?

?
3

, ?BCA ?

?
2

, 点 D , E 分别

在棱 PB, PC 上,且 DE // BC , (I)求证: BC ? 平面 PAC ; (II)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (III)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由. 2. 下图是一几何体的直观图、 主视图、 俯视图、 左视图. (Ⅰ) 若 F 为 PD 的中点, 求证:AF ? 面 PCD ;(Ⅱ)证明: BD ∥面 PEC ;(Ⅲ)求面 PEC 与面 PDC 所成的二面角(锐角) 的余弦值. P 4 E
4 主视图

2 2
4 左视图

B C

A D
4 俯视图

4

3.中央电视台经济频道购物街栏目中的“幸运大转轮” .转轮被均匀分成 20 份,分别标有 5~ 100 的得分(得分都是 5 的倍数) .每名游戏者至多可以选择转两次,两次得分相加之和若 不超过 100 则为游戏者得分;若超过 100 则称“爆掉” ,得 0 分. (Ⅰ) 若游戏者一定转两次,求出他“爆掉”的概率; (Ⅱ) 若一游戏者第一次转轮得分 50,然后进行第二次转轮,写出他得分 ? 的分布列,并求出 得分的期望 E? ; 4.已知四棱锥 P—ABCD 的底面为直角梯形,

?ADC ? ?DCB ?

?
2

, AD ? 1, BC ? 3 ,PC=CD=2,

PC ? 平面 ABCD,E 是线段 AB 的中点。
(I)求证: DE ? 平面 PAC; (II)求二面角 B—PA—C 的大小。 5. 已知盒子中有 4 个红球,n 个白球,若从中一次取出 4 个球,其中白球的个数为 X,且

E( X ) ?

12 . 7

(I)求 n 的值; (II)若从中不放回地逐一抽取,取到所有白球则停止抽取。在前 3 次取球中恰取到 1 个白球的条件下,共需取球 Y 次,求 Y 的分布列和 E(Y) 。

练习题(十二)
1.某班从 6 名学生干部中(其中男生 4 人,女生 2 人) ,选 3 人参加学校的义务劳动. (Ⅰ)设所选 3 人中女生人数为 X ,求 X 的分布列及其期望 E ( X ) ; (Ⅱ)求男生甲或女生乙被选中的概率; (Ⅲ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. 2. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥底面 ABCD , 底面 ABCD 为正方形, PD ? DC , E 、 F 分别是 AB , PB 的中点. (Ⅰ)求证: EF ? CD ; (Ⅱ)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值;

(Ⅲ)在平面 PAD 内是否存在一点 G ,使 G 在平面 PCB 上的射影为 ?PCB 的外 心,若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,说明理由. 3.在某社区举办的《2008 奥运知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关 奥运知识的问题,已知甲回答这道题对 的概率是 ,甲、丙两人都回答错 的概率是 ,乙、 . .... 4 12 丙两人都回答对 的概率是 .(1)求乙、丙两人各自回答这道题对的概率; (2)用 ? 表示回 .... 4 答该题对的人数,求 ? 的分布列和数学期望 E? 4. 如图,四棱锥 S — ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧面

3

1

1

SAB 是等腰三角形且垂直于底面, SA ? SB ? 5 ,
AB ? 2 , E 、 F 分别是 AB 、 SD 的中点。
(1)求证: EF // 平面SBC ; (2)求二面角 F — CE — A 的大小。 5. 在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。从这10件产品中任取3件,求:

(I) 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望; (II)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 6. 如图,在三棱锥 S—ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均 B 为等边三角形, ? BAC=90o,O 为 BC 的中点。 (Ⅰ)求证:SO⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A—SC—B 的余弦值. 7. 有 10 张形状、大小相同的卡片,其中 2 张上写着数字 0, 另 5 张上写着数字 1,其余 3 张上写着数字 2。从中随机地 取出 1 张,记下它的数字后放回原处,再从中随机地抽取一张。

S

O

C

A

设 ξ 为两次所抽取卡片上的两个数字之和。 (1)求 ξ=2 时的概率; (2)求 ξ 的数学期望。

练习题(十三)
1. 已知四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长 为 4 的正方形,PD⊥平面 ABCD,且 PD=6,M、N 为 PB、AB 的中点。 (1)求二面角 M—DN—C 的大小; (2)求点 P 到平面 DMN 的距离。 2. 某辆载有 5 位乘客的公共汽车在到达终点前 还有 3 个停靠点(包括终点站) .若车上每位乘客 在所剩的每一个停靠点下车的概率均为 A D N B P M C 分别

1 ,用 ? 表示这 5 位乘客中在终点站下车的人数,求 3

(I)随机变量 ? 的分布列; (II)随机变量 ? 的数学期望 E ? 。 3. 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,?BCA ? 90 , AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影 恰为 AC 的中点 D ,又知 BA1 ? AC1 。 (I)求证: AC1 ? 平面 A 1BC ; (II)求二面角 A ? A 1 B ? C 余弦值。 4. 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数 字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为 x1 , x 2 ,记 ? ? ( x1 ? 3) ? ( x2 ? 3) 。
2 2

(I)分别求出 ? 取得最大值和最小值时的概率;(Ⅱ)求 ? 的分布列及数学期望。 5. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 面 ABC ,

BC ? AC , BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点。
⑴求证: AB1 // 面 BDC1 ; ⑵求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值 6.厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品 发给商家时,商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品 做检验,以决定是否接收这批产品。 (I)若厂家库房中的每件产品合格率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少有 1 件 是合格的概率。 (Ⅱ)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任意取 2 件 进行检验,只有 2 件产品都合格才接收这批产品,否则拒收,求该商家检验出不合格产品 数 X 的分布列及期望 E(X) ,并求该商家拒收这批产品的概率。

练习题(十四)
1. 已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是正 方形, SA ? 底面ABCD, E是SC 上的任意一点。 (I)求证:平面 EBD ? 平面SAC ; (Ⅱ)设 SA ? 4, AB ? 2, 求点 A 到平面 SBD 的距离; (Ⅲ)当

SA 的值为多少时,二面角 B ? SC ? D 的大小为 120°? AB

2. 在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三个球,现从这个盒子中,有放回 地先后取 ... 得两个球的标号分别为 x , y ,若记 ? ? x ? 2 ? y ? x , (1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取最大值”的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 3.四棱锥 P ? ABCD 中, PB ? 底面 ABCD , CD ? PD . 底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC , AB ? BC ,

AB ? AD ? PB ? 3 .点 E 在棱 PA 上,且 PE ? 2 EA .

(1)求异面直线 PA 与 CD 所成的角; (2)求证: PC / / 平面 EBD ; (3)求二面角 A ? BE ? D 的大小. (用反三角函数表示). 4.口袋里装有 7 个大小相同的小球, 其中三个标有数字 1, 两个标有数字 2, 一个标有数字 3, 一个标有数字 4. (Ⅰ) 第一次从口袋里任意取一球, 放回口袋里后第二次再任意取一球 , 记第一次与第二次取 到小球上的数字之和为 ? . 当 ? 为何值时, 其发生的概率最大? 说明理由; (Ⅱ) 第一次从口袋里任意取一球, 不再放回口袋里, 第二次再任意取一球, 记第一次与第二 次取到小球上的数字之和为 ? . 求 ? 的分布列和数学期望. 5. 如图,四棱锥 P—ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90?平面 PAD⊥平面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点。 (1)证明:EF∥平面 PAD; (2)证明:面 PDC⊥平面 PAD; (3)求锐二面角 B-PD-C 的余弦值。 6. 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数, 用随机变量 ? 表示方程 x 2 ? bx ? c ? 0 实 根的个数(重根按一个计) (1)求方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率; (2)求 ? 的分布列
2

和期望.

练习题(十五)
1. 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到这

M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直
方图如下:
[10,15) [15, 20) [20, 25)
分组 频数 5 12 频率 0.25
a
频率 组距

m

n p

0

10 15 20 25 30

次数

[25,30)
合计

M

1

0.05 1

⑴求出表中 M 、 p 及图中 a 的值; ⑵若该校高一学生有 360 人,试估计他们参加社区服务的次数在区间 ?15,20 ? 内的人数; ⑶学校决定对参加社区服务的学生进行表彰,对参加活动次数在 ? 25,30 ? 区间的学生发 放价值 80 元的学习用品,对参加活动次数在 ? 20, 25? 区间的学生发放价值 60 元的学习 用品,对参加活动次数在 ?15, 20 ? 区间的学生发放价值 40 元的学习用品,对参加活动次 数在 ?10,15? 区间的学生发放价值 20 元的学习用品,在所取样本中,任意取出 2 人,并 设 X 为此二人所获得用品价值之差的绝对值,求 X 的分布列与数学期望 E( X ) . P 2.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形,

PD ? 底面ABCD,点 E 在棱 PB 上.
(Ⅰ) 求证:平面 AEC ? 平面 PDB ; (Ⅱ) 当 PD ?
?

E D

C

2 AB ,且直线 AE 与平面 PBD 成

A

PE 角为 45 时,确定点 E 的位置,即求出 的值. EB

B

3. 实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格 和优秀两个等次,若考核为合格,则授予 10 分降分资格;考核优秀,授予 20 分降分资格。 假设甲乙丙考核为优秀的概率分别为

2 2 1 、 、 ,他们考核所得的等次相互独立。 3 3 2

(1)求在这次考核中,甲乙丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率。 (2)记在这次考核中甲乙丙三名同学所得降分之和为随机变量 ? ,求随机变量 ? 的分布列 和数学期望 E? 。 4. 如图,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面 互相垂直, ?ADE ? 90 , AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 . ⑴求证: AC // 平面 BEF ;
A B F D C E

⑵求平面 BEF 与平面 ABCD 所成角的正切值.

练习题(十六)
1. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD’⊥底面 ABCD,

P

M

PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°.
D

C

(1)设 PD 的中点为 M,求证:AM 平面 PBC; (2)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值。

A

B

2. 某市统计局就本地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布 直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在[1000,1500) 单位: 元) (1)估计居民月收入在[1500,2000)的概率; (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (3) 若将频率视为概率, 从本地随机抽取 3 位居民 (看 作有放回的抽样) , 求月收入在[2500, 3500)的居民数 X 的分布和数学期望。

A1 C1

B1

3. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 2 , D 是 AC 中点,且 AB1 ? BC1 (1)求侧棱 AA1 的长; (2)求二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值.

A

B

4. 为了学生的全面发展,某中学在高一学年是推行“合理作业” (合理作业是指:放学后学生每天完成作业的时间不超过两小 时)活动。高一学年共有学生 2000 人,其中男生 1200 人,女

D

C

生 800 人,为了调查 2012 年 3 月(按 30 天计算)学生“合理作业”的天数情况,通过分层 抽样的方法抽取了 40 人作为样本,统计他们在该月 30 天内“合理作业”的天数,并将所得的 数据分成以下六组: [0,5] , (5,10] , (10,15] ,…, (25,30] ,由此画出样本的频率分布直 方图,如图所示。 (1)求抽取的 40 人中男生、女生的人数; (2)在抽取的 40 人中任取 3 人,设 ? 为取出的三人中“合理作业”天数超过 25 天的人数, 求 ? 的分布列及数学期望 E? 。

练习题(十七)
1. 如图,底面为平行四边形的四棱柱 ABCD—A’B’C’D’,

DD’⊥底面 ABCD,∠DAB=60°,AB=2AD,DD’=3AD,E、F 分别是 AB、D’E
的中点。 (1)求证:DF⊥CE; (2)求二面角 A—EF—C 的余弦值。 2. 一个口袋内有 n ( n ? 3 )个大小相同的球,其中有 3 个红球和 (n ? 3) 个白球.已知从口袋 中随机取出一个球是红球的概率是 p . (I)当 p ?

3 时,不放回地从口袋中随机取出 3 个球,求取到白球的个数 ? 的期望 E? ; 5

(II)若 6 p ? N ,有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球),在四次摸球中恰好取 到两次红球的概率大于

8 ,求 p 和 n . 27

3. 已知四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,

AB⊥AC,AB=AC=2,G 为 ? PAC 重心,E 为 PB 的中点,

F 在 BC 上,且 CF=2FB。 (1)求证:FG∥平面 PAB;
(2)当 FG⊥平面 AEC 时,求二面角 P—CD—A 的正切值。 4. 如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1, ?ACB ? 90 ,
?

AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 ,E、F 分别是棱 CC1、AB 中点.
(1)判断直线 CF 和平面 AEB1 的位置关系,并加以证明; (2)求四棱锥 A—ECBB1 的体积.

E 分别是 A1C1 、AA1 5. 如图, 在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 点O 、
? 的中点, AO ? 平面 A1 B1C1 .已知 ?BCA ? 90 , AA 1 ? AC ? BC ? 2 .

(Ⅰ)证明: OE // 平面 AB 1C1 ; (Ⅱ)求异面直线 AB1 与 A1C 所成的角; (Ⅲ)求 A1C1 与平面 AA 1 B1 所成角的正弦值.

A
B

C

E

练习题(十八)
1.某项竞赛分为初赛、 复赛、 决赛三个阶段进行,

A 1

O
B1

C1

每个阶段选手要回答一个问题。规定正回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰。已知
3 1 1 某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 , , ,且各阶段通过与否相互独立。 (Ⅰ)求 4 2 4

该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (Ⅱ)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ? ,求 ? 的数学 期望和方差。 2. 如图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1= 2 AB=1,E 是 DD1 的中点。 (Ⅰ)求直线 B1D 和平面 A1ADD1 所成角的大小; (Ⅱ)求证:B1D⊥AE; (Ⅲ)求二面角 C—AE—D 的大小。

3. 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有 m 个球,乙袋中共有 2 m 个球,从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为

2 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P 2. 5

(Ⅰ)若 m =10,求甲袋中红球的个数; (Ⅱ)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率是

1 1 ,求 P (Ⅲ)设 P ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每 2 的值; 2= 3 5

P 次摸出 1 个球,并且从甲袋中摸 1 次,从乙袋中摸 2 次. 设 x 表示摸出红球的总次数,求 x 的分布列和数学期望. 4. 三棱锥 P-ABC 中,PC、AC、BC 两两垂直,

G C F A B E

BC=PC=1,AC=2,E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点.
(Ⅰ)证明平面 GFE∥平面 PCB; (Ⅱ)求二面角 B-AP-C 的大小; (Ⅲ)求直线 PF 与平面 PAB 所成角的大小.

5.已知 8 人组成的抢险小分队中有 3 名医务人员,将这 8 人分为 A、B 两组,每组 4 人. (Ⅰ)求 A、B 两组中有一组恰有一名医务人员的概率; (Ⅱ)求 A 组中至少有两名医务人员的概率; (Ⅲ)求 A 组中医务人员人数 ? 的数学期望. 6. 如图,已知正方形 ABCD 与矩形 BEFD 所在的平面互相 垂直,AB= 2 ,DF=1,P 是线段 EF 上的动点. (Ⅰ)若点 O 为正方形 ABCD 的中心,求直线 OP 与平 面 ABCD 所成角的最大值; (Ⅱ)当点 P 为 EF 的中点时,求直线 BP 与 FA 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 A—EF—C 的大小.

练习题(十九)
1. 某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成,两道工序 的加工结果相互独立,每道工序的加工结果都有 A、B 两个等级对每种产品,只有两道工序 的结果都为 A 等级时,才为一等品,其余均为二等品。 (1)已知甲、乙两种产品每道工序的加工结果为 A 等级的概率如表一所示,分别求工厂生 产甲、乙产品为一等品的概率 P 乙 甲和P 表一 概率 产品 甲 乙 0.8 0.75 0.75 0.6 工序

第一工序

第二工序

(2)已知一件产品的利润如表二所示,用 ?、? 分别表示一件甲、乙产品的利润,在(1)的 条件下,求 ?、? 的分布列及其数学期望 表二 利润 产品 甲 乙 5(万元) 4(万元) 3(万元) 2(万元) 等级

一等

二等

2.已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1) ,PB=3,DC=1,

PB=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将△PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2) 。
(Ⅰ)证明:平面 PAD⊥PCD; (Ⅱ)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1 ; (Ⅲ)在 M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 AM

是否平行面 PCD. 3. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A= a4 a5 ,其中 A 的各位数中, a1 ? 1, ak (k ? 2,3,4,5) 出现 0 的概率为 1 的概率为

1 ,出现 3

2 .记 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,当程序运行一次时 3

(I)求 ? ? 3 的概率; (II)求 ? 的分布列和数学期望.

练习题(二十)
1. 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑 球。现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球。 (1)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (2)求取 出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (3)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布 列和数学期望 2. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1, AB=2,点 E 在棱 AB 上移动.(1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

3. 为了对 2006 年沈阳市中考成绩进行分析,在 60 分以上的全体同学中随机抽出 8 位,他 们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排是 60、65、70、 75、80、85、 90、95,物理 分数从小到大排是 72、 77、 80、84、88、90、93、95. (1) 若规定 85 分(包括 85 分)以上为优秀,求这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理 分数均为优秀的概率; (2) 若这 8 位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表:

学生编号 数学分数 x 物理分数 y 化学分数 z

1 60 72 67

2 65 77 72

3 70 80 76

4 75 84 80

5 80 88 84

6 85 90 87

7 90 93 90

8 95 95 92

(2) 用变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度; (3) 求 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ,并用相关指数比较所求回归 模型的效果. 参考数据: x ? 77 .5 , y ? 85 , z ? 81 ,

? (x
i ?1

8

i

? x ) 2 ? 1050, ? ( y i ? y ) 2 ? 456 ,
i ?1

8

? (z
i ?1

8

i

? z ) 2 ? 550 ,

? (x
i ?1

8

i

? x )( yi ? y ) ? 688 ,

? (x
i ?1

8

i

? x )(z i ? z ) ? 755 ,

?i )2 ? 7 ? ( yi ? y
i ?1

8

? (z
i ?1

8

i

?i ) 2 ? 94, 1050 ? 32.4, 456 ? 21 .4, 550 ? 23.5 . ?z
P

4. 如图,四边形 ABCD 为矩形,且 AD ? 4, AB ? 2 ,

PA ? 平面ABCD , E 为 BC 上的动点.
(1) 当 E 为 BC 的中点时,求证: PE ? DE ; (2) 设 PA ? 1 , 在线段 BC 上存在这样的点 E, 使得二面角 P ? ED ? A 的大小为
A B C D

?
4

. 试确定点 E 的位置.

E

5.某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性, 初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机会,选手累计答 对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛, 答对 3 题者直接进入决赛, 答错 3 题者则被淘汰. 已 知选手甲答题的正确率为

2 . (Ⅰ)求选手甲可进入决赛的概率; 3

(Ⅱ)设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.


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