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理科实验班招生考试数学模拟试卷

理科实验班招生考试数学模拟试卷
一.选择题: (每个题目只有一个正确答案,每题 4 分,共 32 分) 1. 已知

1 1 5 xy ? x ? y 的值等于 ? ? 3 ,则 3 x ? 3 y ? 4 xy x y



2.计算:20062006×2007+20072007×2008 ? 2006×20072007 ? 2007×20082008

=


时, A

3.函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 ,当 x = y 有最小值,最小值等于 .

4.如图,△ABC 中,∠A 的平分线交 BC 于 D,若 AB=6 cm, AC=4 cm,∠A=60°,则 AD 的长为 cm.

B

D (第 4 题)

C

5.甲上岳麓山晨练,乙则沿着同一条路线下山,他们同时出发,相遇后甲再上走 16 分钟, 乙再下走 9 分钟,各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于 6.如果关于 x 的方程 x ? 2?a ? 1?x ? 2a ? 1 ? 0 有一个小于 1 的正数根,那么实数 a 的
2

取值范围是

.

7.实数 x、y 满足 x2-2x-4y=5,记 t=x-2y,则 t 的取值范围为___________________.
a

8.两个任意大小的正方形,都可以适当剪开,拼成一个 较大的正方形,如用两个边长分别为 a,b 的正方形 拼成一个大正方形. 图中 Rt△ABC 的斜边 AB 的长等 于 (用 a,b 的代数式表示). 第8题
A b B

C

二.选择题: (每小题 4 分,本题满分 32 分) 9. . 若 x ? x ? x ?1 ? 0 , 则x
3 2

?27

? x ?26 + … + x ?1 ? 1 ? x + … + x 26 ? x 27 的值是 (
(D)2



(A)1

(B)0

(C)-1

10.用橡皮筋把直径为 10cm 的三根塑料管紧紧箍住,这条拉紧的橡皮筋的长



( ( )







0.1





(A)94.2 cm (C)61.4 cm

(B)91.4 cm (D)56.4 cm

11、李姐在超市买了 4 包酸奶和 4 包鲜奶,共付款 a 元,后来她退了 2 包 酸奶,再买 4 包 鲜奶,收银员找还给她 b 元(0<b<a). 每包酸奶的价格是 ( )

a (A) 元 6

b (B) 元 6

a?b (C) 元 6

a?b (D) 元 6
E A K G (第 12 题) D

12.定义:定点 A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点 A 与⊙O 之间的距离.现有一矩形 ABCD 如图,AB=14cm, BC=12cm,⊙K 与矩形的边 AB、BC、CD 分别相切于点 E、F、 G,则点 A 与⊙K 的距离为( (A)4cm (B)8cm ) (D)12cm (C)10cm

B F C

13.国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行,比赛规则是:共下 10 局棋,每局胜方得 1 分,负方得 0 分,平局则各得 0.5 分,谁的积分先达到 5.5 分便夺冠,不继续比赛; 若 10 局棋下完双方积分相同,则继续下,直到分出胜负为止.下完 8 局时,甲 4 胜 1 平. 若以前 8 局棋取胜的频率为各自取胜的概率,那么在后面的两局棋中,甲夺冠的概率 是 (A) ( )

1 2

(B)

5 8

(C)

45 64

(D)

49 64


14.若

a b c ? ? ? t ,则一次函数 y ? tx ? t 2 的图象必定经过的象限是( b?c c?a a?b
(B)第一、二、三象限 (D)第三、四象限 ( )

(A)第一、二象限 (C)第二、三、四象限

15、如图,直线 x=1 是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴,则有 (A)a+b+c>0 (B)b>a+c (C)abc<0 (D)c>2b

16.已知 x、y、z 是三个非负实数,满足 3x+2y+z=5, x+y-z=2, 若 S=2x+y-z, 则 S 的最大值与最小值的和为 ( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 三.解答题: (每题 12 分,满分 36 分)

17 。通过实验研究,专家们发现:初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而 变化的, 讲课开始时, 学生的兴趣激增, 中间有一段时间, 学生的兴趣保持平稳的状态, 随后开始分散。学生注意力指标数 y 随时间 x (分钟)变化的函数图象如图所示( y 越 大表示学生注意力越集中) :当 0 ? x ? 10 时,图象是抛物线的一部分;当 10 ? x ? 20 和 20 ? x ? 45 时,图象是线段。 (1)当 0 ? x ? 10 时,求 y 关于 x 的函数关系式; (2) 一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟, 问老师能否经过适当安排使学生在听这道题时, 注意力的指标数都不低于 36。

18.如图,点 P 是圆上一动点,弦 AB= 3 cm,PC 是 ? APB 的平分线, ? BAC=30 ? 。 (1)当 ? PAC 等于多少度时,四边形 PACB 有最大面积?最大面积是多少? (2)当 PA 的长为多少时,四边形 PACB 是梯形?说明你的理由。

19.已知:如图,在 Rt△ABC 中,斜边 AB=5 厘米,BC=a 厘米,AC=b 厘米,a
A' A

M B' B C' C

>b,且 a、b 是方程 x2 ? (m ?1) x ? m ? 4 ? 0 的两根, ⑴求 a 和 b 的值; ⑵△ A ' B ' C ' 与△ABC 开始时完全重合,然后让△ABC 固定不动,将△ A ' B ' C ' 以 1 厘米/秒的速度沿 BC 所在的直线向左移动. ⅰ)设 x 秒后△ A ' B ' C ' 与△ABC 的重叠部分的面积为 y 平方厘米,求 y 与 x 之 间的函数关系式,并写出 x 的取值范围; 3 ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于 平方厘米? 8

数学试题 2 参考答案

1、

2 5

2、0 6、 ? 1 ? a ? ? 10、C 11、D

3、-2,2

5 、3:4 9.C

1 2
12、A

7、 t ? 13 D

9 2
14、A

12 3 5 2 a ? b2 8、 a
4、 15、D 16、A

17 解: (1)设当 0 ? x ? 10 时,函数的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c 由图象知抛物线过 (0, 20),(5,39),(10, 48) 三点

?c ? 20 ? ? ?25a ? 5b ? c ? 39 ?100a ? 10b ? c ? 48 ?
解得 a ? ? , b ?

1 5

24 , c ? 20 5

? 当 0 ? x ? 10 时, y 关于 x 的函数关系式为 1 24 y ? ? x2 ? x ? 20 ( 0 ? x ? 10 ) 5 5
(2)当 0 ? x ? 20 时, y ? 48 当 20 ? x ? 45 时, y ? ?

6分

28 352 x? 25 5 1 2 24 x ? 20 ? 36 令 y ? 36 ,则由 ? x ? 5 5 解得 x ? 4 或 x ? 20 (舍去) 28 352 5 x? ? 36 解得 x ? 30 由? 12 分 25 5 7 5 ? 在上课 4 分钟后和 30 分钟前,学生注意力的指标数都超过 36 7 ?? A P C ? ?B P C ? A C ? B C 18.解: (1) PC 平分 ?APB
由 AB ? 3, ?BAC ? 30? ,求得 AC ? BC ? 1

S四边形PACB ? S?ABC ? S?PAB
S?ABC 为定值,当 S?PAB 最大时,四边形 PACB 面积最大 此时 PC 应为圆的直径 ?PAC ? 90? ?APC ? ?BAC ? 30? ? PC ? 2 AC ? 2 1 ? 四边形 PACB 的最大面积为 ? 3 ? 2 ? 3(cm 2 ) …………………6 分 2 (2)若四边形 PACB 为梯形,则当 AC ∥ PB 时
由(1)知 AC ? BC ? 1, ?CAB ? ?PBC ? 30? ? PA=BC=1 当 PA ∥ BC 时,则 ?PAB ? ?ABC ? 30? 在 ?PBA 中, ?APB ? 60? , ?PAB ? ?ABC ? 30? ……8 分

??ABP ? 180? ? 60? ? 30? ? 90?
此时 PA 为圆的直径,由(1)知 PA=2

…………………………12 ? 当 PA=1 或 2 时,四边形 PACB 为梯形 19.解:(1)∵△ABC 是 Rt△且 BC=a,AC=b,AB=5 (a>b) 又 a、b 是方程的两根

?? ? (m ? 1) 2 ? 4(m ? 4) ? 0 ? ?a ? b ? m ? 1 ? 0 ∴? ?a ? b ? m ? 4 ? 0 ?a 2 ? b 2 ? 25 ?

∴(a+b)2-2ab=25

(m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0…………. 得 m1=8 m2=-4 经检验 m=-4 不合舍去 ∴m=8 ………… ∴x2-7x+12=0 x1=3 x2=4 ∴a=4,b=3 (2) ∵△ A ' B ' C ' 以 1 厘米/秒的速度沿 BC 所在直线向左移动。 ∴x 秒后 BB′=x 则 B′C′=4-x ∵C′M∥AC ∴△BC′M∽△BCA ∴
BC ? MC ? ? BC AC

∴ MC ? ? (4 ? x)
1 3 (4 ? x) (4 ? x) 2 4

3 4

∴ S ?BC ?M ? y ?
3 8 3 当 y= 时 8

即 y ? ( 4 ? x) 2

3 8

∴y= x 2 ? 3x ? 6

(0 ? x ? 4)
3 3 ( 4 ? x) 2 = 8 8

x1=3

x2=5(不合舍去)
3 8

∴经过 3 秒后重叠部分的面积等于 平方厘米。


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