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8、圆锥曲线的参数方程


圆锥曲线的参数方程

椭圆的参数方程

复习

圆的参数方程

1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:

? x ? r cos ? (?为参数) ? ? y ? r sin ?
2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:

? x ? a ? r cos ? (?为参数) ? ? y ? b ? r sin ?
3.椭圆的标准方程:

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

它的参数方程是什么样的?

如图,以原点为圆心,分别以a, b(a>b>0)为半径作两个圆, 点B是大圆半径OA与小圆的交点, y 过点A作AN⊥Ox,垂足为N, A 过点B作BM⊥AN,垂足为M, B M 设以Ox为始边,OA为终边的角为θ, O N x 点M的坐标是(x, y)。 那么点A的横坐标为x,点B的纵坐标为y。 由于点A, B均在角θ的终边上,由三角函数的定义有: 在椭圆的参数方程 x=ON= |OA|cosθ=acosθ, 常数 a、b分别是椭 这是中心在原点 O, 中,通常规定参数 θ的 圆的长半轴长和短半轴 焦点在x轴上的椭圆的 y=NM= |OB|sinθ=bsinθ 范围为 长。 ? ? [0, 2? ) 参数方程。

? x ? a cos? ? M的参数方程为 (?为参数) ? ? y ? b sin?

2 2 x y 椭圆的标准方程: ? 2 ?1 2 a b ? x ? a cos ? 椭圆的参数方程: ? (?为参数) ? y ? b sin ?

y A
B O M N

φ
x

椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ, 不是∠MOX=φ.

称为点M的离心角
y P θ O

圆的标准方程: x2+y2=r2

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOP=θ

A x

小结

x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b

x2 y2 ? 2 ?1 2 b a
? x ? b cos? ? ? y ? a sin?

? x ? a cos? 椭圆的参数方程:? ? y ? b sin?

在椭圆的参数方程中,常数a、 b分别是椭圆的 长半轴长和短半 轴长. a>b

?

——离心角

一般地: ? ? 0,2? ?

?

练习

把下列普通方程化为参数方程.
2 y 2 (2) x ? ?1 16 x ? cos ? (2) y ? 4sin ?

2 2 x y (1) ? ?1 4 9 x ? 2 cos ? (1) y ? 3sin ?

?

?

把下列参数方程化为普通方程

? x ? 3cos ? (3) ? ? y ? 5sin ?

? x ? 8cos ? (4) ? ? y ? 10sin ?

(3)

x 9

2

? ?1
y 25

2

(4)

x 64

2

?

y2 100

?1

? x ? 2cos? 练习1:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ?
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为

( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 (

3 2

)。

? x ? 3 cos? 练习2 O是坐标原点,P是椭圆 ? y ? 2 sin? (?为参数)上 ?

离心角为-π/6所对应的点,那么直线OP的倾角的正切值 是 .
解:把 ? ? ? 可得P点坐标 (
?
? x ? 3 cos? 代入椭圆参数方程 ? y ? 2 sin? 6 ?

3 3 , ?1) 2

所以直线OP的倾角的正切值是:
?1 2 3 tan? ? ?? 9 3 3 2

例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线 l:x-y+4=0的距离最小. 分析1: 设P(? 8 ? 8y 2 , y),
则d ? | ? 8 ? 8y 2 ? y ? 4 |

y

2 分析2:设P(2 2 cos?, sin ?),
则d ? | 2 2 cos ? ? sin ? ? 4 | 2

O P
? 24 1 ? P?? , ? ? 9 3?

x

小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一
点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

分析3:平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.

x y ? ? 1 上求一点M,使点M 【练习3】 如图在椭圆 9 4 y
到直线 l:x+2y-10=0的距离最小. 方法1:几何法

2

2

l
O
2

?

x ? 2 y ? m ?0 4 x 2 ? 9 y 2 ?36

? 25 y 2 ? 16my ? 4m 2 ? 36 ? 0

x

由? ? 0得m ? ?5(舍正)代入上式得25y ? 80 y ? 64 ? 0 8 9 ?9 8? ? y ? , x ? .故点M ? , ? 即为所求。 5 5 ?5 5?
平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.

M

x2 y2 ? ? 1上求一点M,使点M到 【练习3】如图在椭圆 9 4 y

直线 l:x+2y-10=0的距离最小. 方法2:参数法 解:因为椭圆的参数方程为: 所以可设点M的坐标l ? x ? 3 cos ? M ( ? 为参数) ? O 为(3cos ? , 2sin ? ). ? y ? 2 sin ? 由点到直线的距离公式,得到点M到直线l的距离为: 3 4? ? 3cos ? ? 4sin ? ?10 5 ? cos ? 5 ? sin ? 5 ? ?10 1 ? ? d? = ? 5 cos(? ? ? ) ? 10 5 5 5 3 4 其中? 满足 cos? ? , sin ? ? dmin ? 5 5 5 由三角函数性质知,当? ? ? ? 0时,d取最小值 5.
0

0

0

0

因此当点M位于( ,)时,点M与直线x ? 2 y ? 10 ? 0的距离取 小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一点 5 5 的坐标用三角函数表示,利用三角函数知识加以解决。 最小值 5.

9 8 此时, 3 cos? ? 3 cos? ? ,2 sin ? ? 2 sin ? ? 5 5 9 8
0 0

0

思考: 与简单的线性规划问题进行类比,你能在实数 x y x, y满足 ? ? 1的前提下,求出z ? x ? 2 y的 25 16 最大值和最小值吗?
2 2

设M (5 cos? ,4 sin ? )是椭圆上的一点,则 z ? 5 cos? ? 8 sin ? ? 89 cos(? ? ? 0 ) ? cos(? ? ? 0 ) ? [?1,1] ? z ? [? 89, 89]

? Z ? 89
max

Z ? ? 89
min

x2 y2 例3、已知椭圆 100 ? 64 ? 1 有一内接矩形ABCD, Y 求矩形ABCD的最大面积。 y
D

B2

A

A1

F1
C

O B1
B

F2

X A2 X

x2 y 2 推广:已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0) ,求椭圆内接矩形面积的最大值. a b
解:设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(a cos ? , b sin ? )

S矩形 ? 4 a cos ? ? b sin ? ? 2ab sin 2? ? 2ab
?当? ? k? ? ? (k ? Z )时,S矩形 ? 2ab最大。 2 4
所以椭圆内接矩形面积 的最大值为2ab.

推广 矩形的面积及周长的最大值。

x2 y2 求椭圆 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内接

解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是
A(a cos?,b sin? )(0 ? ? ? ) 矩形面积和周长分别是S、L
2

?

S ? 4 | FA | ? | EA |? 4a cos? ? b sin? ? 2ab sin 2? ? 2ab
? 当且仅当a ? 时, Smax ? 2ab, 4

L ? 4(| FA | ? | EA |) ? 4a cos? ? 4b sin? ? 4 a 2 ? b2

Lmax ? 4 a 2 ? b 2

此时α存在。

练习1 已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正 半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边 形OAPB的面积最大.

D分别位于椭圆第一象限与第三象限的

x2 y2 ? ? 1 其中点A(3,0),C(0,4),B、 9 16

练习2 四边形ABCD内接于椭圆

弧上。求四边形ABCD面积的最大值。
两条切线分别为: y=-2/3x±2√2, 分析:B、D两点在椭圆上并且 即: 3x-2y6√2=0,或3x-2y+6√2=0 与AC 距离最远时,△ ABC的面 根据平行线之间的距离公式,两切线之 积与三角形ACD的面积最大, 间的距离h=|6√2+6√2|/√(3?+2?) 此时椭圆的内接四边形ABCD的 =12√2 / √13 面积最大 四边形 ABCD最大面积 = 1/2*AC*h = 1/2*√13*12√2 / √13 = 6√2 例6 θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和 B . B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段

例4:由圆x ? y ? 25上动点M 作y轴的垂线,交y轴
2 2

解:依题意,将圆的普通方程化为参数方程为:

于点N,设线段MN的中点为P,求点P的轨迹方程。 y
? x ? 5 cos? (?为参数) ? ? y ? 5 sin ?

N

P

M x

? MN ? y轴,N为垂足 ? N (0,5 sin ? )

设M (5 cos? ,5 sin ? ), 再设P(x, y )

又 ?点P为线段MN的中点, 故由中点
0 ? 5 cos? 5 cos? ? x? ? 坐标公式得: ? ? 2 2 ? ? y ? 5 sin ? ? 5 sin ? ? 5 sin ? ? ? 2

相关点法 5 cos? ? ?x ? ?点P的轨迹的参数方程为: 2 (?为参数) ? ? ? y ? 5 sin ?

x2 y2 练习1 已知点A在椭圆 144 ? 36 ? 1 上运动,点B(0, 9)、 点M在线段AB上,且 AM ? 1 ,试求动点M的轨迹方程。 MB 2

6 sin ? ),并且设M(x, y) 解:由题意知B(0, 9), 设A(12 cos ?,
1 1 x A ? x B 12cos? ? ? 0 2 2 x? ? ? 8 cos?, 1 1 1? 1? 2 2
y? yA ? 1 1 y B 6 sin? ? ? 9 2 2 ? ? 4 sin? ? 3 1 1 1? 1? 2 2

? x ? 8 cos? ? ? y ? 4 sin? ? 3

(α是参数)

消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:
x 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 64 16

例5 椭圆

O为坐标原点, 若这个椭圆上存在点P,使得OP⊥AP。
求该椭圆的离心率e的取值范围。 解:设椭圆上的点P的坐标是(a cos?,b sin? ) (α≠0且α≠π), A(a, 0)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与x轴的正向相交于点A, 2 a b

b sin? ? 0 b sin? kOP ? ,k AP ? a cos? ? a 而OP⊥AP, a cos? 2 2 2 2 2 b sin? b sin? ? 0 ? ( a ? b ) cos ? ? a cos ? ? b ?0 ? ? ?1 a cos? a cos? ? a b2 cos? ? 2 cos ? ? 1 (舍去), 2
a ?b

因为? 1 ? cos ? ? 1
1 ? e2 可转化为 ? 1 ? e 2 ? 1

b2 所以? 1 ? 2 2 ? 1 a ?b

2 e 解得 ?

1 2

2 ?e?1 于是 2

x2 例6. 如图,已知椭圆 ? y 2 ? 1上任一点M 4 (除短轴端点处)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于 y P、Q两点,求证|OP| · |OQ|为定值.
解:设M(2cos? ,sin? ),B1 (0,-1),B2 (0,1) sin ? ? 1 2 cos ? lMB1 : y ? 1 ? x令y ? 0得P( , 0) 2 cos ? sin ? ? 1 sin ? ? 1 2 cos ? lMB2 : y ? 1 ? x令y ? 0得Q( , 0) 2 cos ? 1 ? sin ?

B2

? OP OQ =4

M

O B1

PQ x

练习:
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值

最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 .
2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .

A. 圆

B. 椭圆

设中点M (x, y)

C. 直线 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ

D. 线段

x y ? ??? 2 4 9

2

2

3、已知圆的方程为x2 ? y 2 ? 4 x cos? ? 2 y sin ? ? 3cos2 ? ? 0, (? 为参数),那么圆心的轨迹的普通方程为 ______________? x ? 2 cos? 2 2 化为 ( x ? 2 cos? ) ? ( y ? sin? ) ? 1 { (?为参数) y ? sin? 2 x 化为普通方程是 ? y 2 ? 1 4 x ? a cos ? 4、求定点(2a, 0)和椭圆{ (? 为参数)上各点连线的 y ? b sin ?

中点轨迹方程。

解:设定点与椭圆上的 点连线的中点为 M ( x, y ) 2a ? a cos?
x? 则{ 2 b sin? y? 2 (?为参数) ( x ? a )2 y 2 上述的方程消去参数,得 ? 2 ?1 2 a b 4 4

5、P是椭圆{

x ? 4cos ? y ? 2 3 sin ?

(? 为参数)上一点,且在第一象限,

OP(O为原点)的倾斜角为 ,则点P的坐标为 ( 3 4 4 (2 3 , 3 ), ( 5, 15) C、 A、 ( 2,3), B、 5 5

?

B )
D、 (4,3)

解: ? OP的倾斜角为 ? kOP ? tan ? 3 3 3
又kOP ?
2

?

?

y 2 3 sin? ? ? 3 x 4 cos?
2

? sin ? ? 2 cos ?
? cos? ? 5 2 5 , sin? ? 5 5

又 sin ? ? cos ? ? 1, 且点P在第一象限

4 5 4 15 x ? 4 cos? ? , y ? 2 3 sin? ? 5 5

练习6

x ? a cos ? ? 椭圆 ? (?为参数), ? y ? b sin? 若?∈[0,2?],则椭圆上的点(-a,0) 对应的? =( A ) B.

A. ?

?
2

C. 2?

3? D. 2

探究
椭圆规是用来画椭圆的一种器械.它的构造 如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相 垂直的导槽,在直尺上有两个固定滑块A,B, 它们可分别在纵槽和横槽中滑动,在直尺上的 点M处用套管装上铅笔,使直尺转动一周就画 出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗?

探究
椭圆规是用来画椭圆的一种器械.它的构造 如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相 垂直的导槽,在直尺上有两个固定滑块A,B, 它们可分别在纵槽和横槽中滑动,在直尺上的 点M处用套管装上铅笔,使直尺转动一周就画 出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗?

y

M A

O aB ?

b

x

课堂小结
(1)椭圆的参数方程

x y ? x ? a cos? ? ? 1(a ? b ? 0) ? ? (?为参数) a b ? y ? b sin ?
2 2 2 2

注意:椭圆与圆的参数方程中参数的几何意义不同。

(2)利用椭圆的参数方程处理最值问题 (3)利用椭圆的参数方程求轨迹的问题

课后作业
1.一个人造地球卫星的运行轨道是一个椭 圆,长轴长为15 565km,短轴长为 15 443km.取椭圆中心为坐标原点,求卫 星轨道的参数方程. 2 2 2. 已知点P(x,y)是椭圆 2 x ? 3 y ? 12, 求z=x+2y的最大值与最小值. 2 2 x y 3. 已知实数x、y满足 ? ? 1,求
25 16

⑴z=4x+5y的最大值与最小值.
⑵z=x-2y的最大值与最小值.

双曲线的参数方程

研究双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b



的参数方程

以原点O为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆C1,C2. y B' 设A为圆C1上任一点, 作直线OA, M A 过A作圆C1的切线AA'与x交于点A', ? x B A' O 过圆C2与x轴的交点B作圆C2的 切线BB'与直线OA交于点B'。 过点A', B'分别作y轴, x轴的平行线A'M, B'M交于点M, 设OA与OX所成角为φ(φ∈[0, 2π),φ≠π/2,φ≠3π/2) 求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。

因为点A在圆C1上, 由圆的参数方程得点

?a cos? , b sin? ?, A的坐标为
所以 OA ? ?a cos? , b sin? ?,

y
A O

B'

M A' x

AA` ? ? x ? a cos? ,?a sin? ? 因为OA ? AA`,

?

所以 OA? AA` ? 0, 从而

B

a cos? ? x ? a cos? ? ? ?a sin? ?

2

? 0.解得 x ?

a .记 cos?

1 ? se c? , 则x ? a se c? . cos?

因为点B`在角?的终边上,

y 由三角函数定义有tan? ? ,即y ? b tan? .所以, 点M的轨迹的参数方程为 b x ? a sec ? , 2 2 1 sin2 ? 即 sec ? ? tan ? ? 1, 因为 2 ? ? 1, ? 为参数 2 y ? b tan ? . cos ? cos ?

?

?

所以, 从③消去参数? 后得到点M的轨迹的普通方程为② , 这是中心在原点 , 焦点在x轴上的双曲线. ? 3? 通常规定参数?的范围为? ? ?0,2? ?, 且? ? , ? ? .
2 2

y

事实上 设M ( x, y)

a

A

B'

?M
A' x

| OA ' |?

在?OAA '中,x ? a | OA |
cos ? ?

? o B
b

cos ?

? a ? sec ? ,

在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?.

? x ? a sec ? 所以M的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ?
x2 y2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

x2 y 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的参数方程为: 2 a b

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

说明:

? 3? 通常规定? ? [0, 2? )且? ? ,? ? 。 2 2

⑴ 这里参数 ? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾 斜角不同.

恒等式 sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? 相比较而得到,所以双曲线的 参数方程的实质是三角代换.

x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 a 2 ? b2 ? 1 与三角

练习: 1.已知参数方程

x?t?

化为普通方程, 画出方程的曲线. x ? a sec ? ? ? 2.参数方程 y ? b tan ? (? 是参数, ? 2 ? ? ? 2 ) 表示什么曲线?画出图形. x ? 2 3 se c? 3、求双曲线{ 的两个焦点坐标。 y ? 4 3 tan?

1 t 1 y ?t? t

(t 是参数, t >0)

(?2 15,0)

x ? 3sec ? 2、双曲线{ (?为参数)的渐近线方程为 _______ 4 y ? tan ? 1 y?? x 3

例1. 求点M0(0, 2)到双曲线x2-y2=1上点的最小距离。 解:设等轴双曲线上任意一点(x,y)则距离为d^2 =x^2+(y-2)^2=1 +y^2+(y-2)^2=2y^2-4y+5,当y=1时 有最小值3,即距离最小值为根号3.
x2 y2 例 2 如图,设 M 为双曲线 2 ? 2 ? 1?a , b ? 0? 上任意一点 , a b O为原点, 过点M 作双曲线两渐近线的平 行线 , 分别与两渐 近线交于A, B两点.探求平行四边形MAOB 的面积 y ,由此可 以发现什么结论?
A M

O
B

x

b 解 双曲线的渐近线方程为y ? ? x . a y 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为 ?a sec? , b tan? ?,
b y ? b tan ? ? ? ( x ? a se c? ) 则直线MA的方程为 a b 把y ? x代入 解得点A的横坐标为 a a
A M

xA ?

a 同理B点横坐标x B ? (se c ? ? tan? ) 2 b 设?AOx ? a ? tan? ? 平行四边形MAOB的面积为
xA xB S平行四边形 ? ? sin2? MAOB ?| OA | ? | OB | sin2? ? cos ? cos? 2 2 a a b ab a 2 ?se c2 ? ? tan2 ? ? ? tan? ? ? ? . ? ? sin2? ? 2 4 cos ? 2 2 a 2
a

2

(se c ? ? tan? )

O
B

x

由此可见,平行四边形MAOB 与点的面积恒为定值, M在双曲线上的位置无关

例 3 例 1 、已知圆O : x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1上一点 P 与双曲线

x 2 ? y 2 ? 1上一点Q,求 P、Q 两点距离的最小值

解:设双曲线上点的坐标为Q (sec? , tan ? ) 先求圆心到双曲线上点的最小距离 OQ ? sec 2 ? ? (tan ? ? 2) 2 ? tan ? ? 1 ? tan ? ? 4 tan ? ? 4 ? 2(tan ? ? 1) ? 3 ? 5? ?当 tan ? ? 1, 即? ? 或 时, OQ min ? 3 4 4 ? PQ min ? 3 ? 1
2 2 2 2

例4 求证:等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点 所张的角均为直角。
y
2 2 2 x ? y ? a 证明:设双曲线方程为

A A1

B
O A2 x

取顶点A2(a, 0), 弦AB ∥Ox,

B(a se c? , a tan? ),
k A2 A

则A(?a sec? , a tan? )
,

a tan? a tan? ? , k BA ? 2 ? a se c? ? a a se c? ? a

k A2 A ? kBA 2 ? ?1

∴弦AB对A1张直角, 同理对A2也张直角.

例5 同支上相异两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于 y · A ( x , 0 ) 2 2 点P 0 ,求证: a ?b | x0 |? M a O · 解:设A,B坐标分别为(a se c? , b tan? ) B
a b ( (se c ? ? se c ? )) , (tan? ? tan ? )) 则中点为M 2 2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 已知双曲线, A,B是双曲线 a b

x

(a se c? , b tan? )

于是线段AB中垂线方程为
b a(se c ? ? se c? ) ? a ? y ? (tan? ? tan? ) ? ? x ? (se c ? ? se c ? ) ? 2 b(tan? ? tan ? ) ? 2 ? ?

a 2 ? b2 将P( x0, 0)代入上式,∴x0 ? 2a (se c? ? se c? )

a 2 ? b2 ?| se c? ? se c? |? 2 (∵A,B相异), | x0 |? a

例6 求证:等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距 离之积是常数。

例7.设P是双曲线b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 (a ? 0, b ? 0)上任意一点, 过点P作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线相交 a 2 ? b2 于点Q和R,求证: PQ PR ? 4

抛物线的参数方程

引入: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确 落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定 投放时机呢?

物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成:

y 500

(1)沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动; 对于一般的抛物线,怎样 (2)沿oy反方向作自由落体运动。 建立相应的参数方程呢? 解:物资出舱后,设在时刻 t,水平位移为x, 垂直高度为y,所以

思考:

o

x

? x ? 100t , ? 2 ( g=9.8m/s ) ? 1 2 y ? 500 ? gt . ? ? 2

抛物线的参数方程
设M (x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点, 以射线OM为终边的角记作?。

y

M(x,y)

?

o x y H 因为点M (x,y)在?的终边上,根据三角函数定义可得 ? tan ? . x
2p ? x= , 2 ? ? tan ? 解出x,y得到抛物线(不包括顶点)的参数方程: (? 为参数) ? ? y ? 2p . 1 ? tan? ? 如果设t= ,t ?(-?,0) (0,+?),则有 tan? ?x=2pt2 , (t为参数) ? 思考:参数t的几何意义是什么? y ? 2pt . ? 当t ? 0时,参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0)。

又设抛物线普通方程为y2 =2px.

?x=2pt2 , 所以, (t为参数,t ? R)表示整条抛物线。 ? ? y ? 2pt.

抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
?x=2pt2 , (t为参数,t ? R) ? ? y ? 2pt.

y

M(x,y)

?
o H x

1 其中参数t= (? ? 0),当? =0时,t=0. tan? 几何意义为: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y

思考:
怎样根据抛物线的定义选取参数,建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程?

练习

x ? 2 pt 2 1、若曲线{ ( t为参数)上异于原点的不同两点M 1,M 2 y ? 2 pt 所对应的参数分别是t1 , t 2 , 则弦M 1 M 2所在直线的斜率是( C ) A、 t 1 ? t 2 , 1 B、t1 ? t 2, C、 , t1 ? t 2 1 D、 t1 ? t 2

解:由于M1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t1和t 2,
则可得点M1和M 2的坐标分别为
2 M1 (2 pt12 ,2 pt1 ), M 2 (2 pt 2 ,2 pt 2 ), 2 pt1 ? 2 pt 2 1 ? k M1 M 2 ? ? 2 2 2 pt1 ? 2 pt 2 t1 ? t 2

2、设M为抛物线y 2 ? 2 x上的动点,给定点M 0 ( ?1,0), 点P为线段M 0 M的中点,求点P的轨迹方程。

2 例1 如图,O为原点,A,B为抛物线y ? 2 px( p ? 0) 上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,OM⊥AB于M,求 点M的轨迹方程.

解:设点M , A, B的坐标分别为 ( x, y )
2 2 (2 pt1 ,2 pt1 ),(2 pt2 ,2 pt2 )(t1 ? t 2 , 且t1 ? t 2 ? 0)
2 则OM ? ( x , y ), OA ? ( 2 pt ,2 pt1 ), OB ? ( 2 pt 2 ,2 pt 2 )
?

?

?

2 1

?

AB ? ( 2 p( t ? t ),2 p( t 2 ? t1 )) 因为OA ? OB, 所以OA? OB ? 0,
2 2 2 1

?

?

?

?

2 2 ? 2 px ( t ? t 由OM ? AB, 所以OM? OB ? 0, 2 1 ) ? 2 py(t 2 ? t1 ) ? 0

?

即(2 pt1t 2 )2 ? (2 p)2 t1t 2 ? 0, 所以t1t 2 ? ?1
? ? ?

? y ? x(t1 ? t 2 ) ? y ? 0, 即t1 ? t 2 ? ? ( x ? 0) ? AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ), x

MB ? ( 2 pt ? x ,2 pt2 ? y )且A, M , B三点共线,
2 2

?

y 化简,得y(t1 ? t 2 ) ? 2 pt1t 2 ? x ? 0 ? y( ? ) ? 2 p ? x ? 0 x

2 2 ?( x ? 2 pt1 )(2 pt2 ? y) ? (2 pt2 ? x)( y ? 2 pt1 )

即x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0)这就是点M的轨迹方程

当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小?最小值是多少?
? OA= ( 2 pt 12 ) 2 ? ( 2 pt 1 ) 2 ? 2 p t1 t12 ? 1
2 2 2 OB ? ( 2 pt 2 ) ? ( 2 pt 2 ) 2 ? 2 p t 2 t 2 ?1

? S ?AOB ? 2 p t1 t 2
2

2 2 2 ? 2 p t ? t ( t ? 1) ? ( t ? 1) 1 2 ?2
2 1 2 2

2 ? 2 p 2 ( t1 ? t 2 ) 2 ? 4 ? 4 p

当且仅当t1 ? ?t 2,即当点A, B关于x轴对称时, 2 ?AOB的面积最小,最小值为4 p .

(法2 )设A(2 pt1 ,2 pt1 ), B( 2 pt2 ,2 pt2 ) 则以OA为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 pt1 x ? 2 pt1 y ? 0 以OB为直径的圆的方程为 x ? y ? 2 pt2 x ? 2 pt2 y ? 0
2 2 2 2

2

2

即t1 , t 2为方程2 pxt ? 2 pyt ? x ? y ? 0
2 2 2

? ( x2 ? y2 ) 的两根, ? t1 t 2 ? ? ?1 2 px ? x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0) ? 另一个交点Q的轨迹方程是以(p,0 ) 为圆心,p为半径的圆(除去( 0,0 )点)

线C2: y2=6(x-3/2);若C1∩C2≠φ,求m的取值范围。
代入得 cos2φ+4cos φ+2m-1=0

? x ? m ? 2 cos? 练习 已知椭圆C1: ? (?为参数) 及抛物 ? y ? 3 sin?

所以

t2+4t+2m-1=0

在[-1, 1]内有解;

练习 3 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p>0)上的三个点, 且BC与x轴垂直,直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点,求证:抛物线的顶点平分DE.
2 2 证明:设点A, B的坐标分别为 (2 pt1 ,2 pt1 )(2 pt2 ,2 pt2 ),
2 则点C的坐标为 (2 pt2 ,?2 pt2 )

所以点D的坐标为 (?2 pt1t 2 ,0)

1 直线AB的方程为y ? 2 pt1 ? ( x ? 2 pt12 ) t1 ? t 2
1 直线AC的方程为y ? 2 pt1 ? ( x ? 2 pt12 ) t1 ? t 2

所以E的坐标为 (2 pt1t 2 ,0)

因为DE的中点为原点 (0,0),所以抛物线的顶点 O平分线段DE。

4 经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O任作两条互相 垂直的线段OA和OB,以直线OA的斜率k为参数,求线 段AB的中点M的参数方程。
1 解:直线OA的方程为y=kx,直线OB的方程为 y ? - x k 2 p 2 p 由y2=2px和y=kx,得 A点坐标为 ( 2 , ) k k

同理B点坐标(2pk2,-2pk)
2p 2 ? 2 pk 2 p k x? ? 2 ? pk 2 , 2 k

设点M的坐标为 ( x, y)则
2p ? 2 pk p k y? ? ? pk 2 k

所以,线段AB的中点M的轨迹的参数方程是
p x ? 2 ? pk 2 k { ( k为参数) p y ? ? pk k

点外)与短轴端点B1, B2的连线分别与x轴交于P, Q两点, O为椭圆的中心,求证:|OP|· |OQ|为定值。

x2 y2 5 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 上任意一点M,(除短轴端 a b

练习 对于一切实数,若
直线 y ?

恒有公共点,则m的范围是: A (1,5)

? x ? 5 cos? ? ( m ? 0,?为参数) kx ? 1 与曲线 ? ? ? y ? m sin?

B ( 0,5) C ?1,5? ? ?5,? ??

D ?1,? ??

直线恒过 ( 0,1)点 当直线与曲线恒有公共点时,必满足
m ?1

m?1

练习:(02全国理) ? x ? t2 点P(1, 0)到曲线 ? (其中参数t ? R)上的 ? y ? 2t 点的最短距离为( ) A.0 B.1 C. 2 D.2


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