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2013年湖北黄梅二中高三文科数学试卷


2013 年春高三文科数学试卷
命题老师:黄梅县第二中学
有一项是符合题目要求的. 1. i 为虚数单位,如果 z=a2+2a-3+(a2-4a+3)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为 A. 1 B. 3 或-1 C. -3 ( )

蔡白荣

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只

D. 1 或-3

2.首项为 ?20 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是 20 5 20 5 20 5 ?d≤ ≤d ? A. d ? B. d ≤ C. D. 9 2 9 2 9 2
2 3、若命题 p: ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 ,则对命题 p 的否定是( 2 A ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ?1 ? 0



2 B ?x0 ?? -?,-3?U ?3, ??? , x0 ? 2x0 ?1 ? 0

2 2 C. ?x0 ? ? -?,-3?U ?3, ??? , x0 ? 2x0 ?1 ? 0 D. ?x0 ??- 3,3?, x0 ? 2x0 ?1 ? 0

?y ? 1 ? 4.若变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z=x-2y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.4 B.3
2

C.2

D.1

5.已知曲线C: y ? 2 x ? 点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使其不被曲线C挡住,则实数a的 取值范围是( A. (4? ??) ) B. ( ??? 4) C. (10? ??) D. (???10)

6. 某三棱柱侧棱和底面垂直,底面边长均为 a,侧棱长为 2a,其体积为 4 3 ,若它的三视 图中的俯视图如图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 ( A. 4 7. ) B. 4 3 C. 8 D. 8 3
第 6 题图

要得到函数y= Sin2x的图象,只需将函数y = sin(2x+ l)的图象

1 个单位 2 1 C.向左平移 个单位 2
A.向右平移 8.若 F1、F2 为双曲线 C: x 轴的距离为

B.向右平移1个单位 D.向左平移1个单位

x2 2 -y =1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上∠F1PF2=60°,则 P 到 4

1

A.

5 5

B.

15 5

C.

2 15 5

D.

15 20

9.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一点,则此点到坐标原 ?0 ? y ? 2

点的距离大于 1 的概率为 A.

1 2

B.1-

? 4

C.

1 4
|1-

D.1-

? 16

10. 对于函数 f (x)和 g(x), 其定义域为[a, b], 若对任意的 x∈[a, b]总 有

g ( x) 1 |≤ , 10 f ( x)

则称 f (x)可被 g(x)置换,那么下列给出的函数中能置换 f (x)= x x∈[4,16]的是 ( A. g(x)=2x+6 C. g(x)= x∈[4,16] ) B. g(x)=x2+9 D. g(x)= x∈[4,16]

1 (x+8) x∈[4,16] 3

1 (x+6) x∈[4,16] 5

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。将答案填在答题卡相应位置上。) 11.已知 x>0,y>0,

1 2 + =2,则 2x+y 的最小值为 x y ?1



12、三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ? 3 ,b=1,∠A = 则∠B=___ 13.已知 ,且 与 垂直,则实数 的值为

? , 3


14. 已知点 P 在曲线 是________.

y?

4 e ? 1 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围
x

15. 已知某算法的流程图如图所示, 输出的 (x, 值依次记为 y) 程序运行中输出的一个数组是(t,-8),则 t= ▲ .

. 若

2

16.将函数 的解析式是

的图象向左平移 ▲ .

个单位长度,平移后的图象如图所示,则

17.若函数 f ( x) ? x2 ? ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则 实数 k 的取值范围_______▲________. 三.解答题(本大题共 5 小题,满分 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 18.(本大题满分 12 分) 已知函数 (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)设 x 为三角形的内角,且函数 y=2 f(x)+k 恰有两个零点,求实数 k 的取值范围. ,

1 2

19.(本小题满分 12 分)如图.在四棱锥 P 一 ABCD 中,底 面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底 是 PC 的中点. (1)证明:PA//平面 EDB; (2)证明:平面 PAC⊥平面 PDB; (3)求三梭锥 D 一 ECB 的体积. 面 ABCD, PD = DC = 2, E

20.(本小题满分 13 分)大学生自主创业已成为当代潮流.长红学院大三学生夏某今年一月 初向银行贷款两万元作开店资金,全部用作批发某种商品.银行贷款的年利率为 6%,约定 一年 后一次还清贷款.已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的 15%,每 交纳个人所得税为该月所获利润的 20%,当月房租等其他开支 1500 元, 余款 部投入批发该商品再经营,如此继续,假定每月月底该商品能全部卖出.

月月底需要 作为资金全

(1)设夏某第 n 个月月底余 an 元, n+l 个月月底余 an ?1 元, 第 写出 a1 的值并建立 an ?1 与
3

an 的递推关系;
(2)预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入. (参考数据:1.1211≈3.48,1.1212≈3.90,0.1211≈7.43×10-11 0.1212≈8.92×10-12)


21.(本大题满分 14 分) 设椭圆

x2 y2 3 + 2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A(-2,0)、B(2,0),离心率 e= .过 2 a b 2

该椭圆上任一点 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q,点 C 在 QP 的延长线上,且|QP|=|PC|. (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC(C 点不同于 A、B)与直线 x=2 交于点 R,D 为线段 RB 的中点,试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

22. (本小题满分14分) 已知 f ( x) ? x ? ax ? ln x, a ? R .
2

(1)若 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 在点(1, f ( x ) )处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g ( x) ? f ( x) ? x , 是否存在实数 a ,当 x ? (0, e](e 是自然对数的底)时,函数
2

g ( x) 的最小值是3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

4

2013 年春高三文科数学答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 A 8 B 9 D 10 D

二、填空题 11. 3 17、 [1, 12.

? 6

13.

3 2

14. 135 ? ? ? 180
0

0

15.81

16. y ? sin 2 x

3 ) 2

三、解答题 18.(1)解: f ( x) ? a ? b +1 ? cos 2 x ? cos(2 x ?

?
3

) ?1 ?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 1 2 2

2分 3分

? cos(2 x ?
∴最小正周期为 ? 由 2k? ≤ 2x ?

?
3

) ?1

?

3

≤ 2k? ? ? ,得 k? ?

?
6

≤ x ≤ k? ?

?
3

4分 (k∈ Z) 6分

∴ 函数 f (x)的单调递减区间是 (k? ? (2)解: y ? 2 f ( x) ? k ? 2cos(2 x ? 因为 x 是三角形的内角,所以 由 2 cos(2 x ?

?
6

,? ? k

?
3

Z) ) (k∈

?
3

) ?2 ? k

?
3

? 2x ?

?
3

?

2?k k ? ?1 ? 3 3 2 2 函数 y = 2f (x) + k 恰有两个零点,即①在(0, ? )有两个根 k 1 1 k ∴ ?1 ? ?1 ? ? 或 ? ?1 ? ? 1 2 2 2 2 分 即-3 < k < 0 或-4 < k <-3 ∴实数 k 的取值范围是{ k |-3 < k < 0 或-4 < k <-3}. 分 ) ? 2 ? k ? 0 得: cos(2 x ? )??
19.(本小题 12 分) (1)证明:设 AC ? BD ? O ,连结 EO ? 底面 ABCD 是正方形,? 点 O 是 AC 的中点 在 ?PAC 中, EO 是中位线,? PA∥EO . 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB , 所以 PA∥ 平面 EDB . (2)证明:? 底面 ABCD 是正方形 AC ? BD , ………………5 分 又 PD ? 底面 ABCD ? AC ? PD ,又 PD ? BD ? D ………………7 分 ? AC ? 面 PDB ,而 AC ? PAC
5

?

?

7? 3

8分 ①

10

12

………………2 分 ………………4 分
P

E

C F D O A

B

故 PAC ? 面 PDB (3) VD ? ECB ? VE ? DCB 故作 EF ? DC 于 F . ? PD ? 底面 ABCD ,? PD ? DC . ? EF∥PD, F 为 DC 的中点.

………………8 分 ………………9 分

? EF ? 底面 ABCD 1 1 2 VE ? DCB ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 2 3

………………10 分 ………………12 分

20、 (本小题 13 分)解: (1) a1 ? 200001 ? 15 % ) -20000 ? 15% ? 20%-1500=20900(元) ( ………………………………………2 分

an?1 ? an (1 ? 15 %)- an ? 15% ? 20%-1500=1.12 an -1500( n ? N ? ,1 ? n ? 11)
………………………………………6 分 (2)方法 1: (构造) 令 an?1 ? ? ? 1.12(an ? ? ) ,则 a n ?1 = 1.12an ? 0.12? ,对比得 ? ? ?12500 ………………………………………8 分 则 an ? 12500? (20900? 125001.12n ?1 ,即 an ? 8400?1.12n ?1 ? 12500 ) 则 a12 ? 8400?1.1211 ? 12500? 41732(元) ……………………………11 分

又年底偿还银行本利总计 20000(1+6%)=21200(元)…………………………12 分 故该生还清银行贷款后纯收入 41732-21200=20532(元) ………………………13 分 方法 2: (列举)

a2 ? 1.12a1 ? 1500

a3 ? 1.12a2 ? 1500? 1.12(1.12a1 ? 1500 ? 1500? 1.122 a1 ? 1.12?1500? 1500 )
…… ……

a12 ? 1.1211 a1 ? 1.1210 ?1500? 1.129 ?1500? ? ? ? ? ? ? ?1.12?1500? 1500
? 3.48 ? 20900? 1500? 1.1211 ? 1 ? 41732(元) 1.12 ? 1
…………………………11 分

又年底偿还银行本利总计 20000(1+6%)=21200(元)…………………………12 分 故该生还清银行贷款后纯收入 41732-21200=20532(元) ………………………13 分

6

e?

21.(1)解:由题意可得 a = 2,
2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 1,

c 3 ? a 2 ,∴ c ? 3 2 分

x2 ? y2 ? 1 因此椭圆的方程为 4 .

4分

? x0 ? x ? x ? x0 ? 1 ?y ? 2y ? ? 0 ? ? y0 ? 2 y ? (2)解:设 C(x,y),P(x0,y0),由题意得:
2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1 ? ( y )2 ? 1 2 2 2 又 4 ,代入得: 4 ,即 x ? y ? 4 .

6分

2 2 ∴动点 C 的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 4 .

8分

2 2 (3)解:设 C(m,n),点 R 的坐标为(2,t),则 m ? n ? 4

???? ???? ∵A、C、R 三点共线,∴ AC ∥AR

4n ???? ???? t? AC ? (m ? 2 , ) , AR ? (4 ,) ,因此 4n = t(m + 2),∴ n t m?2 , 而 4n 2n (2 , ) (2 , ) m ? 2 ,点 D 的坐标为 m ? 2 10 分 ∴点 R 的坐标为
2n m ? 2 ? mn k? m?2 m2 ? 4 , ∴直线 CD 的斜率为 mn m k ? 2 ?? 2 2 n , 12 分 ?n 而 m ? n ? 4 ,∴ n?

∴直线 CD 的方程为

y?n??
d?

m ( x ? m) n ,化简得 mx + ny-4 = 0,
4 m ? n2
2

?2?r

圆心 O 到直线 CD 的距离



所以直线 CD 与圆 O 相切. 14 分

7

8


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