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三角函数的最值问题


三角函数的最值问题
三角函数的最值问题是本学期高一的一个重要的专题,本文可作为课外辅导 材料,也可作为三角函数的一个专题复习内容。三角函数的最值问题的训练可提高 学生灵活运用三角公式、三角函数图象性质的能力。求三角函数的最值要注意其特 殊性(正、余弦的有界性) ,同时也要注意运用求一般函数最值的通法(如运用函 数的单调性,配方法等) 。求三角函数的最值往往先通过适当的三角变换或代数换 元化归为基本类型的三角函数或代数函数。常见的三角函数最值的基本类型有: (1)y=asinx+b(或 y=acosx+b)型,利用 sin x ? 1 或 cos x ? 1 ,即可求解,此 时必须注意字母 a 的符号对最值的影响。 (2)y=asinx+bcosx 型,引入辅助角 ?
2

例 1:已知 ? ? ?0, ? ?,f( ? )=sin(cos ? )的最大值为 a,最小值为 b,g( ? )=cos(sin ? ) 的最大值为 c,最小值为 d,则 a,b,c,d 的大小顺序为 。

? ? ?? 分析:? ? ? 0,? ?, ? cos ? ? ? ?1,1? ? ? ? , ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? sin1,sin1? ? 2 2? ? a ? sin1, b ? ? sin1, ? ?? ? ? ? 0,? ?, ? sin ? ? ? 0,1? ? ?0, ? ? cos ? sin ? ? ? ?cos1,1? ? 2? ? c ? 1, d ? cos1 ? sin1 ? a ? b?d ?a?c

?

?

,化为 y= a 2 ? b 2 sin(x+ ? ),利用函
2

数 sin?x ? ? ? ? 1即可求解。Y=asin x+bsinxcosx+mcos x+n 型亦可以化为此类。 (3)y=asin x+bsinx+c(或 y=acos x+bcosx+c) ,型,可令 t=sinx(t=cosx),-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。 ( 4 ) Y=
2 2

例 2:函数 f(x)=cos x+sinx 在区间 ? ?
2

? ? ?? 上的最小值是什么? , ? 4 4? ?

分析:化为f ? x ? ? ? sin 2 x ? sin x ? 1, ? 2 2? ? ? ?? x ? ? ? , ? , ? 设t=sinx ? ?, ? ? 4 4? ? 2 2 ? ? 1? 5 f ? x ? ? ?t ? t ? 1 ? ? ? t ? ? ? ? 2? 4
2 2

a sin x ? b a cos x ? b ( 或 y= ) 型 , 解 出 sinx ( 或 cosx ) , 利 用 c sin x ? d cos x ? d

si nx ? 1?或 c o s x ? 1? 去解;或用分离常数的方法去解决。
(5)y=

a sin x ? b a cos x ? b (y= )型,可化归为 sin(x+ ? )g(y)去处理; c cos x ? d c sin x ? d

t??

2 1? 2 时, f ? x ?? ? ? ? ? min 2 2

或用万能公式换元后用判别式去处理;当 a=c 时,还可利用数形结合的方法去处理 上。 ( 6 ) 对 于 含 有 sinx± cosx,sinxcosx 的 函 数 的 最 值 问 题 , 常 用 的 方 法 是 令 sinx± cosx=t, t ? 问题。

例 3 求函数 f( ? )=

Sin? ? 1 的最大值与最小值是什么? cos ? ? 2 sin? -1 分析:法一:设y=f ?? ? = ,去分母整理化为 cos? -2

2 ,将 sinxcosx 转化为 t 的函数关系式,从而化为二次函数的最值

sin ? ? y cos ? ? 1 ? 2 y ? y 2 ? 1sin ?? ? ? ? ? 1 ? 2 y ? tan ? ? y ?

? sin ?? ? ? ? ?

1? 2 y y2 ?1

?1 ? 0 ? y ?

4 3

?? ? 分析:设 sin x ? cos x ? t , 则t ? 2 sin ? x ? ? ? ? ? 2, 2 ? ? 但t ? ?1 4? ? ?
? sin x cos x ? t 2 ?1 t ?1 2 ?1 2 ?1 , ? y? ? ymax ? , ymin ? ? 2 2 2 2
2

sin? -1 法二:f ?? ? ? 可看作经过两点A ? 2,1?、B ? cos ? ,sin ? ? cos? -2 的直线的斜率,点B ? cos ? ,sin ? ? 在单位圆:x 2 ? y 2 ? 1上运动,
y A L1

例 6、已知 f(x)=2cos x+ 3 sin2x+a,若 x ? ?0,

? ?? ?, 且 f ( x) <2,求 a 的取值范围。 ? 2?

分析:f ? x ? ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a
x

? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a

L2

由图可知当直线 AB 处于 L1 的位置时,斜率取最小值 0,当直线处于 L2 的位置时,

4 4 。所以 0 ? f ?? ? ? 3 3 3 sin x ? 1 例 4、函数 f(x)= 的最大值是 sin x ? 2 分析:与上例不同。法一:分离常数法:
斜率取最大值

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 6? ? ? ? 7? ?? ? ?? ? x ? ?0, ? ? ? 2 x ? ? ? ?1 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2 6 6 6 6? ? 2? ?


,最小值是

?? ? f ? x ? ? 2 ? ?2 ? f ? x ? ? 2 ? ?2 ? 2sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 ? 2 6? ?

3 ? sin x ? 2 ? ? 7 7 2? ? ? 3? ? ? ?4, ? sin x ? 2 sin x ? 2 ? 3? 3sin x ? 1 ?1 ? 2 y 法二:设y ? f ? x ? ? ? sin x ? ? ? ?1,1? sin x ? 2 y ?3 2 2 ? ymax ? , ymin ? ?4 即f ? x ?的最大值是 ,最小值是-4 3 3 sin x cos x 例 5、求 y= 的最值? 1 ? sin x ? cos x f ? x? ?

? ?? ? ?a ? 1 ? 2sin ? 2 x ? 6 ? ?a ? ?1 ? ? ? ?? ?? 即a ? ? ?2, ?1? a ? ? 2 ? ? ? ? ?a ? ?3 ? 2sin 2 x ? ? ? ? 6? ? ?
注:本题综合运用三角恒等变形,三角函数的单调性,不等式的性质,函数的恒成 立等知识,是一个较好的三角函数综合题。 例 7、在△ABC 中,求 cosAcosBcosC 的最大值。 本题是一个经典习题,有多种解法。下面解法中把角 C 当作主元化为二次形式,再 进行配方,又利用 cos ? A ? B? ??0,1? ,此法具有一般性。

分析: cos A ? cos B ? cos C ?

1 ?cos ? A ? B ? ? cos ? A ? B ? ? ? cos C 2?

1 1 ? ? cos 2 C ? cos ? A ? B ? cos C 2 2 cos ? A ? B ? ? cos 2 ? A ? B ? 1? ? ? ?cos C ? ? ? 2? 2 8 ?
2

f(b)=M,则函数 g(x)=Mcos(ω x+φ )区间[a,b]上 A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M -M 7、 函数 y= A.
1 的最大值是 2 ? sin x ? cos x

。(99(4)4 分) D.可以取得最小值

。(2000 安徽(10)4 分)

1 ? 由此可知当cosC= cos ? A ? B ?,即A=B=C= 时, 2 3 1 原式到得最大值 。 8
附:巩固性练习: 1、函数 y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是() A 1+ 2 B

2 2 2 2 -1 B. +1 C.1- D.-1- 2 2 2 2 8、 函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值是___________.(90(19)3 分) 9、 函数 y=sin2x-sinxcosx+cos2x 的最大值是___________(92 上海) 10、 求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值,并写出使函数 y 取得最小 值的 x 的集合. (91(21)8 分)

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 12、 (2005 全国卷Ⅰ)当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值 2 sin 2 x
为 () (A)2 (B) 2 3 (C)4

?

2 -1 C 2

D 2

2、函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值是() A 3 B

(D) 4 3 13、(2005 浙江卷)已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( (A) 1 (B) -1 (C) 2k+1 (D) -2k+1 )

5 2

C

1? 2 2 2

D

1? 2 2 2

? 3、已知函数 y=asinx+bcosx, 当 f( )= 2 ,且 f(x)的最大值为 10 时,求 a,b 的值。 4
4、设 x+y=120° ,则 y=cos x+cos y 的最大值为多少? 5、在直角三角形中两锐角为 A 和 B,则 sinAsinB 。(93(6)3 分) 1 1 A.有最大值 和最小值 0, B.有最大值 ,但无最小值 2 2 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值 1,但无最小值 6、 函数 f(x)=Msin(ω x+φ )(ω >0)在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-M,
2 2

14.(2005 湖北卷)函数 y ?| sin x | cos x ? 1 的最小正周期与最大值的和为___ 15、 (2005 重庆卷) 若函数 f ( x) ?

1 ? cos2 x 4 sin( ? x) 2

?

x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2, 2 2

试确定常数 a 的值. 16、 . (2005 重庆卷) 若函数 f ( x) ?

1 ? cos2 x 2 sin( ? x) 2

?

试确定常 ? sin x ? a 2 sin(x ? ) 的最大值为 2 ? 3 , 4

?

数 a 的值.

2 ? a 2 ? 2 ? 3,
3 2
所以 a ? ? 3,

答案:1、A,2、C,3、a = -6 , b=8 或 a=8,b=-6,4、 5、B,6、C,7、B,12、D,13、A,14、 2? ?

1 2

15、

解 : f ( x) ?

2 cos2 x x x ? a sin cos 4 cos x 2 2 1 a ? cos x ? sin x 2 2

1 a2 1 ? ? sin(x ? ? ), 其中角?满足 sin ? ? 4 4 1? a2 1 a2 由已知有 ? ? 4. 4 4 解之得, a ? ? 15.
16、 .解: f ( x) ?

1 ? 2 cos2 x ? 1 2 sin( ? x) 2

?

? sin x ? a 2 sin(x ?

?
4

)

?

2 cos2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin(x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin(x ? ) 2 cos x 4 4

? 2 sin( x ?

?
4

) ? a 2 sin( x ?

?
4

) ? ( 2 ? a 2 ) sin( x ? 2 ? 3, sin( x ?

?
4

)

因 为 f ( x) 的 最 大 值 为

?
4

) 的 最 大 值 为 1 , 则


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