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07高中数学教材中的经典问题与变式(第二辑):高中数学教材中的经典问题与变式(7)数列

高中数学教材中的经典问题与变式 (7)数列 类型 1:有关通项问题 1、利用 an ? ?

(n ? 1) ? S1 求通项. ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)

(北师大版第 23 页习题 5)数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 . (1)试写出数列的前 5 项; (2)数列 {an } 是 等差数列吗?(3)你能写出数列 {an } 的通项公式吗? 变式 1:设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2,求数列 {an } 的通项公式;

时, a1 ? S1 ? 2; 解: (1) :当 n ? 1
当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 变式 2:数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? 的通项公式.

1 S n ,n=1,2,3,……,求 a2,a3,a4 的值及数列{an} 3

1 S n ,n=1,2,3,……,得 3 1 1 1 1 1 4 1 1 16 a2 ? S1 ? a1 ? , a3 ? S 2 ? (a1 ? a2 ) ? , a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? , 3 3 3 3 3 9 3 3 27 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3 1 4 n?2 1 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3
解: (I)由 a1=1, an ?1 ?

? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ( ) ? ?3 3

n ?1 n≥ 2

变式题 3:已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) , 证明数列 ?an ? 1? 是等比数列. 解:由已知 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) 可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得

Sn?1 ? Sn ? 2 ? Sn ? Sn?1 ? ?1 即 an?1 ? 2an ? 1 从 而 an?1 ?1 ? 2? an ? 1 ? 当 n ? 1 时 S2 ? 2S1 ?1 ? 5 所 以
a2 ? a 1 ? 2a 1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 从而 a2 ?1 ? 2? a1 ?1?

1

故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , n ? N * 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而 类型 2:解方程求通项

an?1 ? 1 ? 2 即数列 ?an ? 1? 是等比数列; an ? 1

2.(人教版第 40 页习题 2.2A 组第 1 题)在等差数列 {an } 中, (1)已知 a1 ? 2 , d ? 3 , n ? 10 ,求 an ; (2)已知 a1 ? 3 , an ? 21 , d ? 2 ,求 n ; (3)已知 a1 ? 12 , a6 ? 27 ,求 d ; (4)已知 d ? ?

1 , a7 ? 8 ,求 a1 . 3
(2) n ? 10 ; (3) d ? 3 ; (4) a1 ? 10 .

解: (1) an ? 29 ;

变式 1: {an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列,如果 an ? 2005 ,则序号 n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670

分析:本题考查等差数列的通项公式,运用公式直接求出. 解: an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? 3(n ?1) ? 2005 ,解得 n ? 669 ,选 C 点评:等差等比数列的通项公式和前 n 项和的公式是数列中的基础知识,必须牢固掌握.而这些公式 也可视作方程,利用方程思想解决问题.

类型 3:待定系数求通项 3.(人教版第 33 页习题 2.1A 组第 4 题)写出下列数列 ?an ? 的前 5 项: (1) a1 ?

1 , an ? 4an ?1 ? 1(n ? 1). 2

1 解: ,3,13,53,213 ; 2
解:

变式 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. ? an ? 1 ? 2n. 即 an ? 2n ?1(n ? N * ).

an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ), ?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

类型 4:由前几项猜想通项 4.(北师大版第 10 页习题 1)根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数, 写出点数的通项公式.

2

(1)

(4)

(7)









变式 1:如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而 来,……,如此类推.设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 an , 则 a6 ? ;

1 1 1 1 = ? ? ? ??? ? a3 a4 a5 a99

.

解:由图可得: an ? 2n ? n(n ?1) ? n2 ? n ,所以 a6 ? 42 ;又

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? an n ? n n(n ? 1) n n ? 1

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 =( ? )?( ? )? ? ? ? ??? ? 4 5 a3 a4 a5 a99 3 4

?(

1 1 1 1 97 ? )? ? ? 99 100 3 100 300
) ,其通

变式 2:观察下列各图,并阅读下面的文字,像这样,10 条直线相交,交点的个数最多是( 项公式为 A.40 个 B.45 个 . C.50 个 D.55 个

2 条直线相 交,最多有 1 个交点

3 条直线相 交,最多有 3 个交点

4 条直线相 交,最多有 6 个交点

解 : 由 题 意 可 得 : 设 {an } 为 n 条 直 线 的 交 点 个 数 , 则 a2 ? 1 , an ? an?1 ? (n ?1),(n ? 3) , 因 为

an ? an?1 ? n ?1 ,由累加法可求得: an ? 1 ? 2 ?

? (n ? 1) ?

n(n ? 1) 10 ? 9 ? 45 ,选 B. ,所以 a10 ? 2 2

3

类型 5:有关等差、等比数列性质问题 5. (北师大版第 35 页习题 3) 一个等比数列前 n 项的和为 48, 前 2 n 项的和为 60, 则前 3 n 项的和为 ( A.83 B.108 C.75 D.63 变式 1:一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3 n 项的和为 。 )

解:若数列 {an } 为等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 等差数列,可得:48,12, S3n -60 成等差数 列,所以 S3n =36. 变式 2:等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5

? log3 a10 ? (



解:因为 a5a6 ? a4a7 ? 18, 所以 a5a6 ? a4a7 ? 2a1a10 ? 18 ? a1a10 ? 9 ,而 log3 a1 ? log3 a2 ?

? log3 a10 ? log3 (a1a2

a10 ) ? log3 (a1a10 )5 ? 10 ,所以选 B.

类型 6:等差、等比数列性质 6.(北师大版第 21 页习题 4)设数列 {an } 是单调递增的等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48, 则它的首项是( A.1 ) B.2

C.4

D.8 )

变式题 1、在各项都为正数的等比数列 {an } 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? ( (A)33 (B)72(C)84(D)189

分析: 本题主要是考查等比数列的基本概念和性质, 可利用方程思想将等比数列问题转化为 a1 和 q 处理, 也可利用等比数列的定义进行求解. 解法一: 设公比为 q , 由题知, ? 故选 C. 解法二:由 a1 ? 3, a1 ? a2 ? a3 ? 21 得, q ? 2 ( q ? ?3

?a1 ? 3
2 ?a1 ? a1q ? a1q ? 21

得 q ? 2 或 q ? ?3

0(舍去), ∴ a3 ? a4 ? a5 ? 84 ,

0 舍去), a3 ? a4 ? a5 ? q2 (a1 ? a2 ? a3 ) ? 84 .

类型 7:数列求和 7.(北师大版第 23 页习题 4)已知 {an } 是等差数列,其中 a1 ? 31 ,公差 d ? ?8 。 (1)求数列 {an } 的通 项公式,并作出它的图像; (2)数列 {an } 从哪一项开始小于 0?(3)求数列 {an } 前 n 项和的最大值, 并求出对应 n 的值. 变式题 1、已知 {an } 是各项不为零的等差数列,其中 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,若 S10 ? 0 ,求数列 {an } 前 n 项
4

和的最大值. 解: S10 ?

10(a1 ? a10 ) ? 5(a5 ? a6 ) ? 0 ,所以 a5 ? 0, a6 ? 0 ,即数列 {an } 前 5 项和为最大值. 2

变式题 2、在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S17 ? S9 ,求 Sn 的最大值. 解法一:由 S17 ? S9 ,得: 25 ?17 ?

17 9 (17 ? 1)d ? 25 ? 9 ? (9 ? 1) d ,解得 d ? ?2 . 2 2

n ? Sn ? 25n ? (n ? 1)(?2) ? ?(n ? 13)2 ? 169 .由二次函数的性质,当 n ? 13 时, Sn 有最大值 169. 2
解法二:先求出 d ? ?2 ,

a1 ? 25 ? 0 ,

1 ? n ? 13 ? ?an ? 25 ? 2(n ? 1) ? 0 ? 2 ?? 由? ,所以当 n ? 13 时, Sn 有最大值 169. ?an ?1 ? 25 ? 2n ? 0 ?n ? 12 1 ? ? 2
解法三:由 S17 ? S9 ,得 a10 ? a11 ?

? a17 ? 0 ,而 a10 ? a17 ? a11 ? a16 ? a12 ? a15

? a13 ? a14 ,故 a13 ? a14 =0. d ? ?2 ? 0, a1 ? 0,? a13 ? 0, a14 ? 0, 故当 n ? 13 时, Sn 有最大值 169.
点评:解决等差数列前 n 项和最值问题的方法通常有:①、利用二次函数求最值;②、利用通项公 式 an 求 n 使得 an ? an?1 ? 0 ;③利用性质求出符号改变项.

类型 8:错位相减法求和 8.(江苏版第 58 页习题 6)求和: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 变式题 1、已知数列 an ? 4n ? 2 和 bn ?

? nxn?1
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

2 4
n ?1

,设 c n ?

解: c ? an ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4n?1 , n 2 bn 4n?1

? Tn ? c1 ? c2 ?

? cn ? 1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ?

? (2n ? 1)4 n ?1 ,

4Tn ? 1? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 43 ?
两式相减得

? (2n ? 3)4 n ?1 ? (2n ? 1)4 n

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9
变式题 2、 (2007 全国 1 文 21)设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,
5

?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; ? bn ?
?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,
解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 . (Ⅱ)

3 5 an 2n ? 1 ? n?1 . Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 bn 2 5 ? 2 ?

?

2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 ,① 2n ?2 2

2n ? 3 2n ? 1 ? n ? 2 ,② 2 n ?3 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2Sn ? 2 ? 3 ?

? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 2 2

1 n ?1 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n ? 1 ? n?2 ? ? n?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 2 ? 2 1? 2 1?

点评:错位相减法适用于通项公式形容 ?an bn ?的数列,其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等 比数列. 变式题 2.设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为 . 分析:本题主要考查等比数列的求和公式,等差数列的概念运用,可直接求得.

a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q n?1 ) a1 (1 ? q n?2 ) 解: Sn ? , 2Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ,则有 2 ? , ? ? 1? q 1? q 1? q 1? q

? q2 ? q ? 2 ? 0 ,? q ? ?2 .,若 q ? 1 ,则 2Sn ? 2n ? Sn?1 ? Sn?2 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? 2n ? 3 。
类型 9:公式法求和 9.(江苏版第 62 页习题 9)利用等比数列的前 n 项和公式 证明 a n ? a n ?1b ? a n ? 2b 2 ?

? abn?1 ? bn =

a n ?1 ? bn ?1 (n ? N ? , a ? 0, b ? 0) a ?b

变式题、 ( 2005 天津卷 18 )已知 un ? a n ? a n?1b ? a n?2b 2 ? ? ? abn?1 ? b n (n ? N ? , a ? 0, b ? 0) . 当

a ? b 时,求数列 ?u n ? 的前 n 项和 S n .
解: (Ⅰ)当 a ? b 时, un ? (n ? 1)a n .这时数列 {u n } 的前 n 项和

S n ? 2a ? 3a 2 ? 4a 3 ? ? ? nan?1 ? (n ? 1)a n .
①式两边同乘以 a ,得
6

① ②

aSn ? 2a 2 ? 3a 3 ? 4a 4 ? ? ? nan ? (n ? 1)a n?1

①式减去②式,得 若 a ? 1,

(1 ? a)S n ? 2a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? (n ? 1)a n?1

(1 ? a) S n ?

a(1 ? a n ) ? (n ? 1)a n ?1 ? a , 1? a

Sn ?

a(1 ? a n ) a ? (n ? 1)a n?1 (n ? 1)a n?2 ? (n ? 2)a n?1 ? a 2 ? 2a ? ? 1? a (1 ? a) 2 (1 ? a) 2

若 a ? 1 , S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ?

n(n ? 3) 2

? na1 (q ? 1) ? 点评:在使用等比数列的求和公式时,要注意对公比 q 的讨论,即 S n ? ? a1 (1 ? q n ) ,这是学生平 ? 1 ? q (q ? 1) ?
时容易忽略的问题,应引起足够的重视,另外要求学生有运算化简的能力.

类型 10:裂项相消法求和 10.(江苏版第 62 页习题 7) (1)已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 ,求前 n 项的和; (2)已知数 n(n ? 1)

列 {an } 的通项公式为 an ?

1 n ? n ?1

,求前 n 项的和.

变式题 1、已知数列 {an } 的通项公式为 an =

n ?1 1 1 ,设 Tn ? ? ? 2 a1 ? a3 a2 ? a4

?

1 ,求 Tn . an ? an? 2

解:

1 1 4 1 = =2( - ) . n ?1 n ? 3 an ? an ? 2 (n ? 1)(n ? 3)

Tn ?
+(

1 1 ? ? a1 ? a3 a2 ? a4

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 =2[( - )+( - )+( - )+……+( - ) 3 5 2 4 4 6 n n?2 an ? an? 2

1 1 1 1 1 1 - )]=2( + - - ). n ?1 n ? 3 2 3 n?2 n?3

变式题 2、数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足:an+2-2an+1+an=0(n∈N*) , (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 (n ? N * ),S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ,是否存在最大的整数 m,使得任意的 n 均有 n(12 ? a n )

Sn ?

m 总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由. 32

解: (Ⅰ)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*) , ∴{an}是等差数列,设公差为 d,∵a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,∴d=-2, ∴an=8+(n-1)· (-2)=10-2n.
7

(Ⅱ) bn ?

1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ?, n(12 ? a n ) n(12 ? 10 ? 2n) 2n(n ? 1) 2 ? n n ? 1 ?

? S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ?
假设存在整数 m 满足 S n ? 又 S n ?1 ? S n ?

1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?1 ? ? 2 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 2 ? n ? 1 ?

m 总成立, 32

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? )? ( ? )? ?0 2 n?2 2 n ?1 2 n ?1 n ? 2 2(n ? 1)( n ? 2)

∴数列{ S n }是单调递增的,∴ S1 ? ∴适当条件的 m 的最大值为 7.

1 1 m 为 S n 的最小值,故 ? ,即 m<8,又 m∈N*, 4 4 32

点评:数列求和的裂项相消法:适用于通项公式形如 ? 列,c 为常数.

?

c ? ? 的数列,其中 ?an ? 是各项不为 0 的等差数 ? a n a n?1 ?

8


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