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弹性力学习题解答

弹性力学习题解答
2003.5.21 1.试证下述 为双调和函数: 为双调和函数: ; 其中 证明: 证明 “ ; , (1)

。反之,任一双调和函数可写成上述三种形式。 反之,任一双调和函数可写成上述三种形式。 ”:设(1)成立。先对(1)式计算一次拉普拉斯运算: ,



从上述三式,不难 看出 “

为双调和函数。

”:首先,我们有下面两个引理, ,使 为

为调和函数,则存在函数 引理 1:设 的共轭调 和函数,即满足:

为一对共轭调和函数,则存在另一对共轭函数 引理 2:若 下式成立:

,使得

下面我们将证明任一双调和函数 令 调和函数 ,显然有 满足:

都可写成(1)式的三种形式。

。根据上面两个引理,我们总可以找到三个

(2)

由(2)式,有



从而

其中

。将上式移项即得(1)的第 1 式。 由(2)式有



从而

其中

。将上式移项即得(1)的第 2 式。

从(1)的第 1、2 两式,可得





只要指出



为调和函数,即完成逆命题的证明。事实上,

(3) 利用(3)式和(2)式,我们有:



很容易验算

。由此完成了证明。

逆命题的第二种证明 按Мсеивл ухлшии的复变公式,对调和函数 和 ,使得 表成 ,总存在两个复解析函数

(4) 其中 表示实部。 今将(4)改写成如下三种形式:

不难看出上述三式分别就是(1)式中的三个式子,且有

2.若平面应力问题的 Airy 应力函数

已知,则位移可如下给出: 已知,则位移可如下给出:

其中: 证明:我们知道用 Airy 应力函数 证明 表示的应力分量为:

从而由本构关系可得:

考虑到:

所以应变分量可以写成:

将上式整理后可得到:

按此式,把



看成是位移场,它们所

形成的应变场为零,于是依照第二章§6 中 Volterra 公式的推论 6.1,可 知此位移场应为刚体位移场。如果不计刚体位移,那么

此式即为用应力函数表示出来的位移场。

弹性力学期中测验部分试题解答
2003.4.14

1. 利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程(无体力)。 利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程 无体力)。 解:基本关系和单位矢量关系为: , . 将 看作 的函数,对基本关系对 和 分别求偏导,得:

由上面得到的结果以及求导连锁法则可得:

(1) 极坐标下应力分量( 关系: )与直角坐标下应力分量( )有

(2) 将(1)、(2)代入直角坐标下平衡方程有:

(3) 完成(3)式的运算,得:

(4) 方程组(4)可以看作括号内量的齐次方程组,其系数矩阵的行列式为

从而齐次方程组(4)的只有零解,即

这就是极坐标下的平衡方程。

利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。 2. 利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。 解:直角坐标下位移分量( 下: )与极坐标下位移分量( )的关系式如

(6) 一方面,将(6)式和(1)式代入到直角坐标下的几何方程并进行整理,可 得到

(7)

另一方面,利用不同坐标系下应变分量的转换关系式,也可得极坐标下应力分量 ( )与直角坐标下应力分量( )之间的关系:

(8)

由(7)和(8)可以消去

,并进行适当的整理可以得到

(9) 与平衡方程的讨论一样,可以将(9)看作括号内量的齐次方程组,并验证得到 其系数行列式

故齐次方程(9)只有零解,从而

这就是极坐标下的几何方程。 注:导出极坐标下的平衡方程和几何方程,一般而言有三种方案:其一是在

极坐标系下直接利用物理和几何得到; 其二是将平衡方程和几何方程的张量形式 在极坐标下投影即可;其三就是本答案的写的,利用坐标变换获得。三种方案各 有优缺点。

3. 已知 解:由本构关系可以得到

,其他应力分量为零,求位移场。 其他应力分量为零,求位移场。

(10)

由(10)的前三个方程分别对

积分,得 (11)

(12)

(13) 将(11)、(12)代入(10)的第四个方程中,可得

稍作整理就可得到:

此方程的左边的自变量为 ,右边的自变量为 边只能是自变量 的函数,故可以令:

,等式要恒成立则要求两

将这两个方程分别对

积分就得到

(14)

将(14)代入到(10)的第五、六个方程中,分别得到

即: (15)

(16) 一方面,对(15)求 x 偏导,对(16)求 y 偏导,得到

从而可得:

,即 ( 为常数) (17) 的函数,从而要求等式的

另一方面,(15)、(16)两等式的左边均只为 左边不能有含 z 的项,也就是说



均为常数)

将上两式分别对 z 积分后有 (18)

(19)

其中

均为常数。 综合以上两个方面的讨论,(15)、(16)可以化简为

积分就可以得到 (20) 将(18)、(19)代入到(14)的两个方程中,可以得到 (21)

(22) 最后将(22)、(21)、(20)分别代入(11)、(12)、(13)就得到了


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