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陶华君:数学中抽象函数的解法

抽象函数问题有关解法
陶华君
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现 形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数 中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能 突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函 数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 特殊模型 抽象函数 正比例函数 f(x)=kx 幂函数 指数函数 对数函数 f(x)=x f(x)=a
n

(k≠0)

f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) [或 f ( x ) ?
y f (x) f ( y)

]

x

(a>0 且 a≠1) (a>0 且 a≠1) f(x)=cosx

f(x+y)=f(x)f(y) [ 或f ( x ? y) ? f ( x )
f ( y)

f(x)=logax

f(xy)=f(x)+f(y) [ 或f ( x ) ? f ( x ) ? f ( y)]
y

正、余弦函数 正切函数

f(x)=sinx

f(x+T)=f(x)
f ( x ? y) ? f ( x ) ? f ( y) 1 ? f ( x )f ( y )

f(x)=tanx

为了更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高学生解题能力,现将常见解法及意义总结如下: 一、定义域问题 例 1. 已知函数 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。 ,所以 中的 满足 中 x 的取值范围为 A,

解: 的定义域是[1,2],是指 从而函数 f(x)的定义域是[1,4]. 评析:一般地,已知函数 据此求 的值域问题。 的定义域是

的定义域是 A,求 f(x)的定义域问题,相当于已知

例 2. 已知函数 解:

,求函数

的定义域。 中,由此可得

的定义域是

,意思是凡被 f 作用的对象都在

所以函数

的定义域是 的定义域。正确理解函数符号及其定 的值域 B,且 ,据此求 x 的取值范围。

评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f(x)的定义域是 A,求函数 义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知 例 2 和例 1 形式上正相反。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为 f(3),f(9)的值。 解:取 的函数 f(x),同时满足下列条件:①

;②

,求

,得

,因为

,所以

又取



。 ,这样便把已知条件 与欲求

评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取 的 f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、求表达式 1.换元法:即用中间变量

表示原自变量 x 的代数式,从而求出 f ( x) ,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法

解培养学生的灵活性及变形能力。

x ) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x) . x ?1 x u 2? x u 2?u ? u ,则 x ? ?1 ? 解:设 ∴ f (u ) ? 2 ∴ f ( x) ? x ?1 1? u 1? x 1? u 1? u
例 4:已知 f ( 2.凑配法:在已知 f ( g ( x)) ? h( x) 的条件下,把 h( x) 拼凑成以 g (u ) 表示的代数式,再利用代换即可求 f ( x) .此解 法简洁,还能进一步复习代换法。 例 5:已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x) x3
2

解:∵ f ( x ? ) ? ( x ? )( x ? 1 ?

1 x

1 x

1 1 1 1 1 ) ? ( x ? )(( x ? ) 2 ? 3) 又∵ | x ? |?| x | ? ?1 2 x x x x | x|

∴ f ( x) ? x( x2 ? 3) ? x3 ? 3x ,(| x |≥1) 3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。 例 6. 已知 f ( x) 二次实函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? x2 +2 x +4,求 f ( x) .
2 2 解:设 f ( x) = ax ? bx ? c ,则 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c ? a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c
2

?2(a ? c) ? 4 1 3 1 3 ? ? a ? , b ? 1, c ? ∴ f ( x) ? x 2 ? x ? = 2ax ? 2bx ? 2(a ? c) ? x ? 2 x ? 4 比较系数得 ? 2a ? 1 2 2 2 2 ?2b ? 2 ?
2 2

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例 7.已知 y = f ( x) 为奇函数,当 x >0 时, f ( x) ? lg( x ? 1) ,求 f ( x) 解:∵ f ( x) 为奇函数,∴ f ( x) 的定义域关于原点对称,故先求 x <0 时的表达式。∵- x >0,∴

f (? x) ? lg(? x ? 1) ? lg(1 ? x) ,
∵ f ( x) 为奇函数,∴ lg(1 ? x) ? f (? x) ? ? f ( x) ∴当 x <0 时 f ( x) ? ? lg(1 ? x) ∴ f ( x) ? ? 例 8.已知 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,且有 f ( x) + g ( x ) ?

?lg(1 ? x), x ? 0 ?? lg(1 ? x), x ? 0

1 , 求 f ( x) , g ( x) . x ?1

解:∵ f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) , g (? x) ? ? g ( x) , 不妨用- x 代换 f ( x) + g ( x) =

1 x ?1

???①中的 x ,

1 1 即 f ( x) - g ( x) ? ? ??② x ?1 ?x ?1 1 x 显见①+②即可消去 g ( x) ,求出函数 f ( x) ? 2 再代入①求出 g ( x) ? 2 x ?1 x ?1
∴ f (? x) ? g (? x) ? 四、利用函数性质,解 f ( x) 的有关问题 1.判断函数的奇偶性: 例 9 已知 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,对一切实数 x 、 y 都成立,且 f (0) ? 0 ,求证 f ( x) 为偶函数。 证明:令 x =0, 则已知等式变为 f ( y) ? f (? y) ? 2 f (0) f ( y) ??① 在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) ∵ f (0) ≠0∴ f (0) =1∴ f ( y) ? f (? y) ? 2 f ( y) ∴ f (? y) ? f ( y ) ∴ f ( x) 为偶函数。 2.确定参数的取值范围 例 10:奇函数 f ( x) 在定义域(-1,1)内递减,求满足 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取值范围。 解:由 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ,∵ f ( x) 为函数,∴ f (1 ? m) ? f (m2 ?1)

??1 ? 1 ? m ? 1 ? 2 又∵ f ( x) 在(-1,1)内递减,∴ ??1 ? m ? 1 ? 1 ? 0 ? m ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?
3.解不定式的有关题目 例 11:如果 f ( x) = ax ? bx ? c 对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ,比较 f (1)、f (2)、f (4) 的大小
2

解:对任意 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ∴ x =2 为抛物线 y = ax ? bx ? c 的对称轴
2

又∵其开口向上∴ f (2)最小, f (1)= f (3)∵在[2,+∞)上, f ( x) 为增函数 ∴ f (3)< f (4),∴ f (2)< f (1)< f (4) 五、常见的四类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数. 例 12、已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1) =-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。 解(分析:由题设可知,函数 f(x)是 的单调性):设 ∵ ∴ 在条件中,令 y=-x,则 故 f(-x)=f(x),f(x)为奇函数, ,即 ,∵当 , ,∴f(x)为增函数。 ,再令 x=y=0,则 f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0。 的抽象函数,因此求函数 f(x)的值域,关键在于研究它 ,∴ ,

∴ f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4,∴ f(x)的值域为[-4,2]。 例 13、已知函数 f(x)对任意 ,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当 x>0 时,f(x)>2, 的解。

f(3)=5,求不等式

解(分析:由题设条件可猜测:f(x)是 y=x+2 的抽象函数,且 f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也 就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解): 设 则: 即 ∵ 又∵f(3)=5,∴f(1)=3。∴ ∴解得不等式的解为-1 < a < 3. 2、指数函数型抽象函数 例 14、设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在 ,使得 ,对任何 x 和 y, ,∴ ,∴f(x)为单调增函数。 , , 即 , ,∵当 ,∴ , ,

成立。求:(1)f(0); (2)对任意值 x,判断 f(x)值的正负。 解(分析:由题设可猜测 f(x)是指数函数 (1)令 y=0 代入 若 f(x)=0,则对任意 (2)令 y=x≠0,则 ,有 ,则 的抽象函数,从而猜想 f(0)=1 且 f(x)>0): ,∴ .

,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。 ,

又由(1)知 f(x)≠0,∴f(2x)>0,即 f(x)>0,故对任意 x,f(x)>0 恒成立。 例 15、 设 f(x)定义于实数集上,当 求证: 证明:在 若 当 所以 所以对任意 设 所以 所以 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应 尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 ,令 时, 在 R 上为增函数。 中取 ,则 ;当 ,又当 ,恒有 ,则 . 时, 时, , ,得 ,与 矛盾,所以 ,而 ,即有 时, ,且对于任意实数 x、y,有 ,

例 16、定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 (1) 判断 f(x)的单调性; (2) 设 若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。 解:(1)在 在 所以当 时 中,令 ;而 ,所以,综上可知,对于任意 ,则 中,令 因为当 ,得 时, 所以 ,均有 。 .

,且当 x>0 时,0<f(x)<1。 , ,因为 ; . ,所以 。

又当 x=0 时, 设 所以 所以

在 R 上为减函数。 即有 ; ,

(2)由于函数 y=f(x)在 R 上为减函数,所以 又 ,根据函数的单调性,有

由 A ? B ? ? ,所以直线 与圆面 无公共点。因此有 ,解得 。 评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这是解题的关 键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。 例 17、设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 (1)f(1);(2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。 分析:由题设可猜测 f(x)是对数函数 解:(1)∵ (2) 即 的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。 ,∴f(1)=0。 ,从而有 f(x)+f(x-8)≤f(9), ,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故 ,求:

,解之得:8<x≤9。 例 18、已知函数 f(x)的奇偶性。 解:取 所以 因为 ;再取 为非零函数,所以 得: 则 为偶函数。 幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。 对任意不等于零的实数 ,所以 都有 ;又取 ,即 ; 得: ,试判断函数 ,

4、幂函数型抽象函数

例 19、已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)·f(y),且 f(-1)=1,f(27)=9,当 时, (3)若 。(1)判断 f(x)的奇偶性;(2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; ,求 a 的取值范围。

分析:由题设可知 f(x)是幂函数 的抽象函数,从而可猜想 f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上递增. 解:(1)令 y=-1,则 f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴ f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。

(2)设

,∴







时,

,∴

,∴f(x1)<f(x2),故 f(x)在 0,+∞)上是增函数。 ,

(3)∵f(27)=9,又 ∴ ∵ 六、跟踪练习 ,∴ ,∵ ,∴ ,∴ ,又 ,故 , 。

1. 已知函数 y = f (x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数 x1 , x2 ,恒有 f( x1 x2 )=f( x1 )+f( x2 ), 试判断 f(x)的奇偶性。 2 已知定义在[—2,2]上的偶函数,f (x)在区间[0,2]上单调递减,若 f (1—m)<f (m),求实数 m 的取值范围 3. 设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+3) =—f(x),求 f(1998)的值。 1 1 ? 1? 4. 设函数 f(x)对任意 x1 , x 2 ? ?0, ? 都有 f( x1 ? x2 ) =f( x1 ) ? f ( x2 ) ,知 f(1)=2,求 f( 2 ), f ( 4 ); ? 2? 5. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足:f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x) ,f(1)=1997,求 f(2001)的值。 6. 设 f(x)是定义 R 在上的函数,对任意 x,y∈R,有 f(x+y)+f(x—y)=2f(x)f(y)且 f(0)≠0. (1)求证 f(0)=1; (2)求证:y=f(x)为偶函数. 7. 已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)的一个递增区间为(2,6) ,试判断(4,8)是 y=f(2—x)的递增区间还是递 减区间? 8. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 (1).若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2).若 f(k ? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2) <0 对 x∈[-1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围。 9.已知函数 f ( x) 是定义在(—∞,3]上的减函数,已知 f (a2 ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos2 x) 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。 10.已知函数 f ( x ), 当 x, y ? R 时,恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1)求证: f ( x) 是奇函数;(2)若 f (?3) ? a, 试用a表示f (24) .
f ( a ) ? f (b ) >0 a?b

11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ? R, 都满足: f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) . (1)求 f (0), f (1) 的值;(2)判断 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f (2) ? 2 , un ?

f (2? n ) (n ? N * ) ,求数列{ u n }的前 n 项和 s n . n

12.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( f ( x) ? x2 ? x)) ? f ( x) ? x2 ? x . (1)若 f (2) ? 3, 求f (1); 又f (0) ? a, 求f (a); (2)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x) 的解析表达式. 13.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ?

1 1 1 ,且 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时, 2 2 2

f ( x) >0.(1)求 f (1) ;(2)求和 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) (n ? N * ) ;
14.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 . (1)证明: f (0) ? 1, 且x ? 0时,f(x)>1 ;(2)证明: f ( x) 在 R 上单调递减; (3)设 A= {( x, y ) f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)} ,B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R }, 若 A ? B = ? ,试确定 a 的取值范围. 15. 已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>0, f(-1)=-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。 16. 已知函数 f(x)对任意 ,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当 x>0 时,f(x)>2, 的解。 ,且对任意的实数 x,y∈R,有

f(3)=5,求不等式
17.设函数

的定义域为全体 R,当 x<0 时,

成立,数列

满足

,且

(n∈N*)

(Ⅰ)求证:

是 R 上的减函数;(Ⅱ)求数列

的通项公式;

(Ⅲ)若不等式

对一切 n∈N*均成立,求 k 的最大值.

18、设函数

满足

,且对任意 .(Ⅰ)求

,都有: 的解析式; ),且 , 求数列 的通项;

(Ⅱ)若数列

满足:



(Ⅲ)求证:

跟踪练习参考答案: 1. 解:令 x = —1, x =x,得 f (—x)= f (—1)+ f (x) ??①为了求 f (—1)的值,令 x =1, x =—1,则 1 2 1 2

f(—1)=f(1)+f(—1),即 f(1)=0,再令 x = x =—1 得 f(1)=f(—1)+f(—1)=2f(—1) ∴f(—1)=0 代入①式得 1 2 f(—x)=f(x),可得 f(x)是一个偶函数。 2. 分析:根据函数的定义域,—m,m∈[—2,2],但是 1— m 和 m 分别在[—2,0]和[0,2]的哪个区间内呢?如果 就此讨论,将十分复杂,如果注意到偶函数,则 f (x)有性质 f(—x)= f (x)=f ( |x| ),就可避免一场大规模
讨论。 解: ∵f (x)是偶函数, f (1—m)<f(m) 可得

f (1 ? m ) ? f ( m )

, ∴f(x)在[0, 2]上是单调递减的, 于是

?1 ? m ? m ? ?0 ? 1 ? m ? 2 ? ?0 ? m ? 2





?1 ? 2m ? m 2 ? m 2 ? ?? 2 ? 1 ? m ? 2 ?? 2 ? m ? 2 ?

化简得—1≤m< 1 。

2

3. 解: 因为 f(x+3) =—f(x), 所以 f(x+6)=f((x+3)+3) =—f(x+3)=f(x), 故 6 是函数 f(x)的一个周期。 又 f(x) 是奇函数,且在 x=0 处有定义,所以 f(x)=0 从而 f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。 4. 解 : 由 f ( =f( , 知 f(x)=f( x x ≥ 0 , x ? ?0,1? ? 1? x1 ? x2 ) x1 ) ? f ( x2 ) )? f ( ) x1 , x 2 ? ?0, ? 2 2 ? 2?
1 1 同理可得 1 1 1 1 1 , ∴f(1)=2, 1 1 4 2 ? f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )] 2 f ( ) ? 2 ?f( )?2 . 2 2 2 2 2 4 2

5.解:从自变量值 2001 和 1 进行比较及根据已知条件来看,易联想到函数 f(x)是周期函数。由条件得 f(x)≠1, 故 f(x+2)= 1 ? f ( x) f(x+4)= 1 ? f ( x) 1?
1 ? f ( x) ,

.

所以 f(x+8)=

1 1 ? f ( x) ?? 1 ? f ( x) f ( x) 1? 1 ? f ( x)

?

. 1 ? f ( x) f ( x ? 4)

所以 f(x)是以 8 为周期的周期函数,从而 f(2001)=f(1)=1997. 说明:这类问题出现应紧扣已知条件,需用数值或变量来迭代变换,经过有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代 过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 6.证明: (1)问题为求函数值,只需令 x=y=0 即可得。 (2)问题中令 x=0 即得 f(y)+f(— y)=2f(0)f(y) , 且 f(0)=1.所以 f(y)+f(—y)=2f(y) ,因此 y=f(x)为偶函数. (说明:这类问题应抓住 f(x)与 f(—x)的关系,通过已知条件中等式进行变量赋值) 7. 解:由 y=f(x)是偶函数且在(2,6)上递增可知,y=f(x)在(-6,-2)上递减。令 u=2—x,则当 x∈(4,8) 时,u 是减函数且 u∈(—6,—2),而 f(u)在(-6,-2)上递减,故 y=f(2—x)在(4,8)上递增。所以(4,8) 是 y=f(2—x)的单调递增区间。 8. 解: (1).因为 a>b,所以 a—b>0,由题意得 , f ( a ) ? f ( ?b) >0,所以 f(a)+f(-b)>0,又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-b)=-f(b) a?b f(a)-f(b)>0,即 f(a)>f(b)

(2) .由 (1) 知f (x) 在 R 上是单调递增函数, 又f 故 k ? 3 x < 9 x ? 3 x ? 2 ,所以 k< 令 t=

得f (k ? 3 x ) +f (3 x ? 9 x ? 2) <0, (k ? 3 x ) <f (9 x ? 3 x ? 2) ,

3x ?

2 ? 1. 3x

1 ,所以 k<t+ 2 ,而 t+ 2 ≥2 2 ,即 k<2 ?1 3 x ? [ ,3] t 3 t

2

-1

9.解:

f (a2 ? sin x) ? f (a ?1 ? cos2 x) 等价于
2

? ? ?a ? sin x ? 3 ?a ? 3 ? sin x ? a 2 ? 3 ? ?1 ? ? ? 2 ? ?a ? 2 ? ? cos 2 x ? ?a ? 2 ? 0 ?a ? 1 ? cos x ? 3 ?a 2 ? sin x ? a ? 1 ? cos 2 x ?a 2 ? a ? 1 ? cos 2 x ? sin x ? 5 ? ? ?a 2 ? a ? 1 ? ? 4
2

? ?? 2 ? a ? 2 ? 1 ? 10 ? ?? 2?a? ?a ? 2 2 ? ?a ? 1 ? 10 或a ? 1 ? 10 ? ? 2 2

10.(1)证明:令 y ? ? x ,得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f (0) 令 x ? y ? 0 ,则 f (0) ? 2 f (0) ? f ? 0? ? 0 ∴ f ( x) ? f ( ? x ) ? 0 f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数。

(2)∵ f (24) ? f (3) ? f (21) ? 2 f (3) ? f (18) ? ... ? 8 f (3) 又∵ f (?3) ? a ? f (3) ? ?a ? f (24) ? ?8a 11.(1)解:令 a ? b ? 0 ,则 f (0) ? 0 ;令 a ? b ? 1 ,则 f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ? 0 (2)证明:令 a ? b ? ?1 ,则 f (1) ? 2 f (?1) ,∵ f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? 0 令 a ? x, b ? ?1 ,则 f (? x) ? xf (?1) ? f ( x) ? ? f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数。 (3)当 ab ? 0 时, f (a ? b)

ab

?

f (b) f (a) ,令 f ( x ) ,则 g (a ? b) ? g (a) ? g (b) ? g ( x) ? x b a

故 g (a n ) ? ng (a) ,所以 f (an ) ? an ? g (an ) ? nan g (a) ? nan?1 f (a) ∴

un ?

f (2? n ) ? 1 ? ?? ? n ?2?

n ?1

1 ? f( ) 2



1 ?1? 1 f (2) ? 2, f (1) ? f (2 ? ) ? 2 f ? ? ? f ? 2 ? ? 0 2 ?2? 2
n ?1 1 1 ,故 ?1? ? 1? ?1? f ? ? ? ? f (2) ? ? un ? ? ? ? ? ? ? ? n ? N ?? 4 2 ?2? ? 2? ?2?
n 1? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? n 2? ? ?2? ? ? ?1? sn ? ? ? ? ? 1? n ? N ? ? 1 ?2? 1? 2





12.解:(1)∵对任意 x ? R ,函数 f ( x) 满足 f ( f ( x) ? x2 ? x)) ? f ( x) ? x2 ? x ,且 f (2) ? 2 ∴

f ( f (2) ? 22 ? 2) ? f (2) ? 22 ? 2, 则f (1) ? 1

2 ∵ f (0) ? a ,∴ f ( f (0) ? 02 ? 0) ? f (0) ? 02 ? 0 = a ? 0 ? 0 ? f(a)=a

(2) ∵对任意 x ? R ,函数 f ( x) 满足 f ( f ( x) ? x2 ? x)) ? f ( x) ? x2 ? x ,有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ∴对任意 x ? R ,有

f ( x) ? x2 ? x ? x0 f ( x0 ) ? x02 ? x0 ? x0

上式中,令 x ? x ,则
0

∵ f ( x ) ? x ,故 x0 ? x02 ? 0 ? x0 ? 0或x0 ? 1 0 0 若 x ?0, 则 f ( x) ? x2 ? x ? 0 , 则 f ( x) ? x2 ? x , 但方程 x 2 ? x ? x 有两个不相同的实根与题设茅盾, 故x ?0 0 0 若 x ? 1 ,则 f ( x) ? x 2 ? x ? 1,则 f ( x) ? x 2 ? x ? 1,此时方程 2 x ? x ? 1 ? x ? ( x ?1)2 ? 0 有两个相等的实根, 0 即有且仅有一个实数 x ,使得 f ( x ) ? x 0 0 0 ∴

f ( x) ? x2 ? x ?1? x ? R ?
m?n? 1 ,则 1 1 1 1 1 f ( ? ) ? 2 f ( ) ? ? f (1) ? 2 2 2 2 2 2

13.(1)解:令

(2)∵

1 1 1 1 f (1) ? , f (n ? 1) ? f (1) ? f (n) ? ? ? f (n) ? ? f (n) ? 1 2 2 2 2

∴ f (n ? 1) ? f (n) ? 1 ∴数列

? f (n)? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,故
2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) = n n(n ? 1) = n 2 ? ? 2 2 2

(3)任取

x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则
1 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 2 2


f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ?
1 f ( x2 ? x1 ? ) ? 0 2


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x) 是 R 上的单调增函数.

14、(1)证明:令 m ? 0, n ? 1 ,则 f (0 ? 1) ? f (0) ? f (1) ∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 ,∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ∴当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则

f (? x ? x) ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ?

f (0) 1 ? ?1 f (? x) f ( ? x)

(2)证明: 任取 x , x ? R, 且x ? x ,则 1 2 1 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 )
∵ x ? x ? 0 ,∴0< 0 ? f ( x ? x ) ? 1 ,故 f ( x ? x ) ?1 <0,又∵ f ( x ) ? 0, 2 1 2 1 2 1 1 ∴ [ f ( x ? x ) ?1] f ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) ? f ( x ) 1 2 2 1 1 ∴函数 f ( x) 是 R 上的单调减函数. (3) ∵

A ? ( x, y) f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1) ? ( x, y) f ( x 2 ? y 2 ) ? f (1)

?

? ?

?

由(2)知, f ( x) 是 R 上的减函数,∴ x 2 ? y 2 ? 1 ∵B={

( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R

}=

?? x, y ? ax ? y ? 2 ? 0, a ? R?

又∵ A ? B ? ? , ∴方程组

? x2 ? y 2 ? 1 ? ?ax ? y ? 2 ? 0
?1

无解,即直线 ax ? y ? 2 ? 0与单位圆x2 ? y 2 ? 1 的内部无公共点



2 a2 ? 1

? a2 ? 3 ? ? 3 ? a ? 3 ,故 a 的取值范围是— 3 ? a ? 3

15、 解:设 ∵ ∴

,∵当 , ,即

,∴



,∴f(x)为增函数。

在条件中,令 y=-x,则

,再令 x=y=0,则 f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0,故 f(-x)

=f(x),f(x)为奇函数, ∴ f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。 16、解 : 设 , ∵ 当 , , 即 ∴f(x)为单调增函数。 ∵ 又∵f(3)=5,∴f(1)=3.∴ 的解为-1 < a < 3。 17、 解析: (Ⅰ) 令 当 设 时, 且 , ,则 , 得 , 由题意知 ,进而得 , . 即 ,所以 是 R 上的减函数. . , 所以 , 故 . ,∴ , 即 ∴ , , ,解得不等式 , 则

(Ⅱ)由





所以

.因为

是 R 上的减函数,所以





, 进而



所以

是以 1 为首项,2 为公差的等差数列.

所以



所以

.

(Ⅲ)由

对一切 n∈N 均成立.

*



对一切 n∈N*均成立.















为关于 n 的单调增函数,



所以

,k 的最大值为

18、设函数

满足

,且对任意 .(Ⅰ)求

,都有 的解析式; ),且 , 求数列 的通项;

(Ⅱ)若数列

满足:



(Ⅲ)求证:

解析:(Ⅰ)因 再令 (Ⅱ)∵ ∴ ∴ 得

. 若令

得 ∴ 的解析式为 , ∴数列 . 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, .

,∴ 又 ,即

(Ⅲ)∵

,∴T=

? 另一方面:因为 ,

所以

综上可得命题成立.


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