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2015年上海高三年级十三校第一次联考数学试卷(答案)

2015 年高三年级十三校第一次联考数学试卷参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格 4 分。 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 4} ,则 A
2

B?

。 [2,3)

1 2 3.已知 { an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ? a9 ? 18 , a4 ? 7 ,则 S10 ?
2.函数 f ( x) ? sin x cos x 的最大值是 。 4.已知函数 f ( x) ? 1 ? log a x, (a ? 0, a ? 1) ,若 y ? f
?1

。100 。2

( x) 过点 (3, 4) ,则 a =

5.已知函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 (?1,2] ,求函数 f ( x) 的定义域是

。 (?3,3]

6.某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储费用 为 2 x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买_______吨。30

5 1 7. 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0 ? x ? 1 时, f ?x ? ? 2 x?1 ? x ? , 则 f (? ) = 。? 2 2 2 2 8.已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9 上的两点存在 P、Q 关于直线 x ? my ? 4 ? 0 对称,那 么m ? 。-1
9.设 F1 , F2 是双曲线 x ?
2

则 ?PF1 F2 的周长

y2 ? 1 的两个焦点, P 是双曲线上的一点,且 3 PF1 ? 4 PF2 , 24
24 。

10.等比数列 {an } 前 n 项和为 Sn ? a ? ? ? , n ? N * ,则 lim(a1 ? a3 ? a5 ? n?? 11.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 , an ? 2 ? ?
2n ? n2 ? n ? 2 2

?1? ? 3?

n

3 ? a2n?1 ) = ? 。 4

?2an , n为偶数, 则数列前 2 n 项和 S2 n ? ?an ? 1, n为奇数,



12. 已 知 函 数 f ( x) ? s i n ? ( x? ? )? (? , 0 ? 0? ? ?的)最 小 正 周 期 为 ? , 且 图 象 过 点

(

? 1 , ), 6 2

函数 g ( x ) ? f ( x ) f ( x ? ) 的单调递增区间

? 4

。[

k? ? k? ? ? , ? ] ( k ? Z) 2 8 2 8

2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0 13.已知 f ? x ? ? ? 2 ,不等式 f ? x ? a ? ? f ? 2a ? x ? 在 ? a, a ? 1? 上恒成立, ? x ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ? 则实数 a 的取值范围是 。 ? ??, ? 2?

14. 对于具有相同定义域 D 的函数 f ( x) 和 g ( x) ,若存在函数 h( x) ? kx ? b ( k , b 为常数) , 对任给的正数 m , 存在相应的 x0 , 使得当 x ? D 且 x ? x0 时, 总有 ?

?0 ? f ? x ? ? h? x ? ? m , ?0 ? h? x ? ? g ? x ? ? m

则称直线 l : y ? kx ? b 为曲线 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的“分渐近线” 。给出定义域均为 D ? (1, ??) 的四组函数如下:
2 ① f ? x ? ? x ,g ? x ? ?

x;

?x ② f ? x ? ? 10 ? 2,g ? x ? ?

2x ? 3 ; x

③ f ?x ? ?

其中,曲线 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 存在“分渐近线”的是
1

x2 ?1 x ln x ? 1 ; ,g ?x ? ? x ln x

④ f ?x ? ?

2x 2 ,g ?x ? ? 2 x ? 1 ? e ? x 。 x ?1
。 ②④

?

?

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每小题 5 分。 15. 已知 sin( A.

?
4

? x) ?

3 25
my 2

3 ,那么 sin 2 x 的值为 5 7 9 B. C. 25 25

( B D.



18 25

16. 双曲线 x 2

1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于 ( D ) 1 1 A. B. C. 2 D. 4 4 2 17 . 如 果 函 数 y ? f ( x) 图 像 上 任 意 一 点 的 坐 标 ( x , y) 都 满 足 方 程 , 那 么 正 确 的 选 项 是 lg( x ? y) ? lg x ? lg y ( C ) A. y ? f ( x) 是区间 (0 , ??) 上的减函数,且 x ? y ? 4 , B. y ? f ( x) 是区间 (1, ??) 上的增函数,且 x ? y ? 4 , C. y ? f ( x) 是区间 (1, ??) 上的减函数,且 x ? y ? 4 , D. y ? f ( x) 是区间 (1, ??) 上的减函数,且 x ? y ? 4 。
18 . 设 等 比 数 列 {a n } 的 公 比 为 q , 其 前 n 项 的 积 为 Tn , 并 且 满 足 条 件

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论: a100 ? 1 ① 0 ? q ? 1;② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ; ③ T100 的值是 Tn 中最大的;④ 使 Tn ? 1 成立的 最大自然数 n 等于 198。
a1 ? 1 , a99 a100 ? 1 ? 0 ,
其中正确的结论是 A.①③ B.①④ 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 已知 p : ( B ) C.②③ D.②④

x?2 ? 0 , q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 ( m ? 0 ),且 p 是 q 的必要不充分条件, 10 ? x

求实数 m 的取值范围。
解 由
x?2 ? 0 ,得 ?2 ? x ? 10 ,即 p : ?2 ? x ? 10 ; …………………………………………………2 分 10 ? x 由 q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 ,得 [ x ? (1 ? m)][ x ? (1 ? m)] ? 0 ,……………………………………………4 分

∵ m ? 0 ,∴ q :1 ? m ? x ? 1 ? m ,

……………………………………………6 分

?1 ? m ? ?2 p 是 q 的必要不充分条件,所以 ? ,解得 0 ? m ? 3 ; …………………………………10 分 ?1 ? m ? 10 所以实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 3 。 …………………………………12 分

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。

已知 ?ABC 的三个内角分别为 A , B , C ,且 2sin ( B ? C ) ?
2

3 sin 2 A 。

(1)求 A 的度数; (2)若 BC ? 7 , AC ? 5 ,求 ?ABC 的面积 S 。
解: (1)

2sin2 (B ? C) ? 3sin 2 A. ? 2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

sin A ? 0,?sin A ? 3cos A,? tan A ? 3 , 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °。 ………………………7 分 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos 60 , BC ? 7, AC ? 5, (2)在 ?ABC 中,
? 49 ? AB 2 ? 25 ? 5 AB, ? AB 2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),

? S?ABC ?

1 1 3 AB ? AC ? sin 60 ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 。 2 2 2
2

………………………14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分。

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点, O 是坐标原点。 4 (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由。
已知 A , B , C 是椭圆 W :
解: (1)由椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1 知 B (2 , 0) ,∴线段 OB 的垂直平分线为 x ? 1 ,. ………………………2 分 4 x2 3 , ………………………4 分 ? y 2 ? 1 ,得 y ? ? 2 4

在菱形 OABC 中, AC ? OB ,将 x ? 1 代入

1 ∴ AC ?| y1 ? y2 |? 3 ,菱形的面积 S ? OB ? AC ? 3 。 ………………………6 分 2 (2)假设四边形 OABC 为菱形.∵点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,∴可设 AC 的方程为 y ? kx ? m ( k ? 0 , m ? 0) , ………………………8 分

? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 由? 消 y 并整理得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 , ? ? y ? kx ? m x ?x 4km y ? y2 x ? x2 m ?k 1 ?m? 设 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,则 1 2 ? ? , 1 , 2 1 ? 4k 2 2 2 1 ? 4k 2 4km m , ), ∴线段 AC 中点 M ( ? ………………………10 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 1 1 ∵ M 为 AC 和 OB 交点,∴ kOB ? ? , k ? (? ) ? ? ? ?1 , 4k 4k 4 ∴ AC 和 OB 不垂直.∴ OABC 不是菱形,这与假设矛盾。 ………………………12 分 综上,四边形 OABC 不是菱形。 ………………………14 分

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分。

1? x (0 ? a ? 1) 。 1? x (1)求函数 f ( x) 的定义域 D ,并判断 f ( x) 的奇偶性;
已知函数 f ( x) ? log a (2)如果当 x ? (?1, a) 时, f ( x) 的值域是 ? ??,1? ,求 a 的值; (3)对任意的 m , n ? D ,是否存在 t ? D ,使得 f (m) ? f (n) ? f (t ) ,若存在,求出 t ; 若不存在,请说明理由。
解: (1)令
1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? 1? x
?1

……………2 分

对任意 x ? D , f (? x) ? log a

1? x ?1? x ? ?1? x ? ? log a ? ? ? ? log a ? ? ? ? f ( x) ,所以函数 f ( x ) 是奇函数。…4 分 1? x 1 ? x ? ? ?1? x ? 1? x 2 1? x ? ?1 ? (2)由 知,函数 g ( x) ? 在 ? ?1,1? 上单调递减, 1? x x ?1 1? x 因为 0 ? a ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数 ……………………… 6 分

又因为 x ? (?1, a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,所以 (?1, a) ? (?1,1) , 且 g ( x) ?
1? x 1? a ?a 在 ( ?1, a ) 的值域是 (a, ??) ,故 g ( a ) ? 1? x 1? a

……………8 分

a 2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1 ( ? 2 ? 1 舍去) .所以 a ? 2 ? 1 。……………………10 分 1? m 1? n 1? t ? log a ? log a (3)假设存在 t ? (?1,1) 使得 f (m) ? f (n) ? f (t ) ,即 log a 1? m 1? n 1? t 1? m 1? n 1? t 1? m 1? n 1? t m?n log a ( ? ) ? log a ? ? ? ,解得 t ? , …………………12 分 1? m 1? n 1? t 1? m 1? n 1? t 1 ? mn

下证: t ?

m?n ? m?n ? ? (?1,1) ,即 ? ? ?1。 1 ? mn ? 1 ? mn ?
2

2

(m ? n) 2 ? (1 ? mn) 2 m 2 ? n 2 ? 1 ? m 2n 2 (1 ? m 2 )(1 ? n 2 ) ? m?n ? ? ?? 证明: ? ? ?1 ? 2 2 (1 ? mn) (1 ? mn) (1 ? mn) 2 ? 1 ? mn ?
2 m , n ? ( ?1, 1) ,∴ 1 ? m2 ? 0 , 1 ? n2 ? 0 , (1 ? mn) ? 0

3



(1 ? m2 )(1 ? n 2 ) ? m?n ? ? m?n ? ? 0 ,即 ? ? ? 1 ? 0 ,∴ ? ? ?1, (1 ? mn)2 ? 1 ? mn ? ? 1 ? mn ?
m?n ? (?1,1) ,使得 f (m) ? f (n) ? f (t ) 1 ? mn

2

2

所以存在 t ?

……………16 分

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 9 分,第 3 小题 5 分。 对于各项均为正数的无穷数列 { an } ,记 bn ?

an ?1 ( n ? N* ) ,给出下列定义: an
*

①若存在实数 M ,使 an ? M 成立,则称数列 { an } 为“有上界数列” ; ②若数列 { an } 为有上界数列,且存在 n0 ( n0 ? N ) ,使 an0 ? M 成立,则称数列 { an } 为“有最大值数列” ; ③若 bn ?1 ? bn ? 0 ,则称数列 { an } 为“比减小数列” 。 (1)根据上述定义,判断数列 { } 是何种数列? (2)若数列 { an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2 ? an ,求证:数列 { an } 既是有上界数列又 是比减小数列; (3)若数列 { an } 是单调递增数列,且是有上界数列,但不是有最大值数列,求证:存 在 n ? N * , bn ?1 ? bn ? 0 。
解: (1) an ?
1 1 1 1 n n ?1 n 1 , bn ? , bn ?1 ? bn ? / ? ? ? ? 0 ,且显然 an ? ? 1 , n n n ? 1 n (n ? 1) (n ? 2) (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

1 n

1 且存在 n ? 1 , a1 ? 1 ,所以数列 { } 既是有上界数列,又是有最大值数列。 n

………4 分

(2)下面证明 2 ? an ? an ?1 ? 2 : 显 然
2 ? a1 ? 2 , 假 设 n ? k 时 命 题 成 立 , 即 2 ? ak ? 2 , 当 n ? k ? 1 时 ,

2 ak ?1 ? 2 ? ak ? 2 ? 2 ?,

ak ?1 ? 2 ? ak ? 2 ? 2 ? 2 ,所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立,即 2 ? an ? 2 ;
2 2 2 2 2 a ? an …7 分 an ?1 ? an ? an ? 2 ? an ? ?(an ? 2)(an ? 1) ,因为 2 ? an ? 2 ,所以 an ?1 ? an ? 0 ,即 n ?1

? an ? 2 ? 2 ? an ?1 2 2 因为 an ,所以,要证 bn ?1 ? bn ,即证 ? ? ? 2 ? 2 ? an ?1 , an ?1 ? 2 ? an ,两式相除得: ? 2 ? an ? an ?1 ?
?a ? an ? 2 an ?1 2 ? an ?1 an ?1 a ,只需证明 n ? 2 ? ? n ? 2 ? , 。 ? ? an ?1 an 2 ? an an an ?1 ? an ?1 ?
∵ an ?1 ? an ,∴ 要证
2

2

?a ? a ?a ?a ?a ? a an ? 2 a ? 1, n ?1 ? 1 , ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? 1? n ? 2 ? 0 ,即 ? n ? 2 ? ? n ? 2 …10 分 an ?1 an an ?1 ? an ?1 ? ? an ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? an ?1

2

2

2 ? an ?1 an ?1 ,只需证 (2 ? an ?1 )an ? (2 ? an )an ?1 ,即 2an ? 2an ?1 ,而 2an ? 2an ?1 已证明成立, ? 2 ? an an
2

?a ? a 2 ? an ?1 an ?1 所以 n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? ,即 bn ?1 ? bn , bn ?1 ? bn ? 0 。 ? an ?1 ? an ?1 ? 2 ? an an 所以,数列 {an } 既是比减少数列又是有上界数列。
(3)用反证法,假设对于 ?n ? N ? , bn ?1 ? bn ,即

………12 分 ………13 分 ………15 分

an ? 2 an ?1 ? ? an ?1 an

?

a2 ?t , a1 ?

因为无穷数列 {an } 各项为正且单调递增,所以 t ? 1 。 当n?

an a a ? n ? n ?1 ? a1 an ?1 an ? 2

a2 ? t n ?1 ,所以 an ? a1t n ?1 ; a1

ln M ? ln a1 ? 1 时, an ? M ,所以无穷数列 {an } 不是有上界数列,与已知矛盾,假设不成立, ln t 因此,对于数列 {an } ,存在 n ? N ? , bn ?1 ? bn ? 0 . ………18 分

命题:JCLM 4


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