当前位置:首页 >> 高三数学 >>

山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷+Word版含解析

山东、湖北部分重点中学 2018 年第二次联考(理)
数学试题(理工农医类)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (原创,容易)已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? ?3 ? i ,则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 【答案】B 【解析】 (1 ? i) z ? ?3 ? i ? z ? 【考点】复数运算及几何意义. 2. (原创,容易)已知全集 U ? x ? Z | x 2 ? 5x ? 6 ? 0 , A ? ?x ? Z ?1 ? x ? 2? , B ? ?2,3,5? , 则 ? UA ?B? A. ?2, 3, 5? 【答案】B 【解析】 U ? ?0,1, 2,3, 4,5? , A ? ?0,1, 2? ,则 ? U A ? B ? ?3, 5? . 【考点】二次不等式及集合运算. 3.(原创,容易)在等差数列 ?an ? 中, S7 =14 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? ( A. 2 【答案】C 【解析】 S7 =14 ? 7a4 ? 14 ? a4 ? 2 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? 3a4 ? 6 . 【考点】等差数列性质. 4.(原创,容易)如图,网格纸上的小正方形边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的表面积为( A. 8+4 3 B. 8+2 3 ) C. 4+4 3 D. 4+2 3 B. 4 C. 6 D. 8 ) B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限

?3 ? i ? ?2 ? i ,则 z ? ?2 ? i .故选 B 1? i

?

?

?

?



) B. ?3, 5? C. ?2, 3, 4, 5? D. ?3, 4, 5?

?

?

【答案】A 【解析】三视图还原为三棱锥 A ? BCD ,如左下图所示,

-1-

则三棱锥 A ? BCD 的表面积为 S A? BCD ?

1 3 ? 4? 2? 2 ? ? (2 2)2 ? 2 ? 8 ? 4 3 2 4
【考点】三视图还原及三棱锥的表面积. 5.(原创,中档)已知 a ? 21.1 , b ? 30.6 , c ? log 1 3 ,则 a, b, c 的大小
2

为( ) A. b ? c ? a 【答案】D 【解析】 a ? 2
1.1

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. a ? b ? c

? 0, b ? 30.6 ? 0, c ? log 1 3 ? 0 , a ? 21.1 ? 2, b ? 30.6 ? 5 33 ? 2 ? 5 32
2

【考点】指数函数对数函数的性质. 6.(原创,中档)若函数 f ( x) ? sin(2 x ? 再向左平移

?
3

) 图象的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变,


? 得到函数 g ( x) 的图象,则有( 6
B. g ( x) ? sin x

A. g ( x) ? cos x 【答案】A

C. g ( x) ? cos( x ?

?
3

)

D. g ( x ) ? sin( x ?

?
3

)

【解析】 : y ? sin(2 x ?

?
3

横坐标变为2 倍 ) ????? ? y ? sin( x ?

?
3

6 ) ??? ? y ? sin( x ?

左移

?

?
2
?

) ? cos x .

【考点】正余弦型函数的图象变换. 7.(原创,中档)已知命题 p : 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b ,命题 q : 若 a ? b ? 2, a ? b ,则

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?2 b ? 1 ,则有(
A. p 为真 【答案】D

) B. ? q 为真 C. p ? q 为真 D. p ? q 为真

【解析】p 为假,a ? b ? 2, a ? b ? b ? 2 ? b ? b ? 1 ? b ? 1 ,q 为真. 则 p ? q 为 真,故选 D 【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑.

?

?

?

?

?? ?

?? ?

?? ?

?2

-2-

8.(原创,中档)若

2 cos 2? cos(

?
4
2 3

? 3 sin 2? ,则 sin 2? ? (



??)
D. ?

A.

1 3

B.

2 3

C. ?

1 3

【答案】C

2(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 3 sin 2? ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 3 sin 2? ? 【解析】 cos ? ? sin ?
2 4 ? 4sin 2? ? 3sin 2 2? ? sin 2? ? ? 或 sin 2? ? 2 (舍),故选 C 3
考点:三角函数恒等变形. 9.(原创,中档)如图所示,扇形 AOB 的半径为 2 ,圆心角为 90? ,若扇形 AOB 绕 OA 旋转 一周,则图中阴影部分绕 OA 旋转一周所得几何体的体积为( ) A. 3? 【答案】C 【解析】扇形 AOB 绕 OA 旋转一周所得几何体的体积为球体积的 B. 5? C.

8? 3

D.

16? 3

1 2 3 16 ? ,?AOB 绕 OA 旋转一周所得几何体的 ,则 V ? ? r ? 2 3 3 1 8? 8? 3 体积为 ? ? r ? ,阴影部分旋转所得几何体的体积为 , 3 3 3
故选 C 【考点】旋转体体积、割与补. 10.(原创,中档)函数 f ( x) ?

2x ? x2 的图象大致为( 4x ? 1



A

B

-3-

C

D

【答案】A

2x ? x2 x2 ? ? f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 为奇函数,排除 B; 【解析】 f ( x) ? x 4 ? 1 2 x ? 2? x
2 1 2 1 x ? ?? ? f ( x) ? 0 ;排除 D; f (1 ) = ,f ( ) ? ? f ( ) ? f (1) ,排除 C;故选 A 3 2 4 2
【考点】函数性质及图象. 11.(原创,中档)已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为 1,第二行 为 3,5,第三行为 7,9,11,第四行为 13,15,17,19,如图所 示,在宝塔形数表中位于第 i 行,第 j 列的数记为 ai , j ,比如 ) a3, 2 ? 9, a4, 2 ? 15, a5, 4 ? 23 ,若 ai , j ? 2017 ,则 i ? j ? ( A. 64 【答案】D 【解析】奇数数列 an ? 2n ? 1 ? 2017 ? n ? 1009 , 按照蛇形排列, 第 1 行到第 i 行末共有 1 ? 2 ? ? ? i ? B. 65 C. 71 D. 72

i(1 ? i) 个奇数,则第 1 行到第 44 行末共 2

有 990 个奇数;第 1 行到第 45 行末共有 1035 个奇数;则 2017 位于第 45 行;而第 45 行是从 右到左依次递增,且共有 45 个奇数;故 2017 位于第 45 行,从右到左第 19 列,则

i ? 45, j ? 27 ? i ? j ? 72 ,故选 D
【考点】等差数列与归纳推理. 12.(原创,难)已知函数 f ( x) ?

2 cos 2 x cos( x ?

?
4

) ,给出下列命题:①函数 f ( x) 的最 3? , 0) 对称; ④函数 f ( x ) 4

小正周期为 2? ; ②函数 f ( x ) 关于 x ? 的值域为 [? A. 1

?
4

对称; ③函数 f ( x ) 关于 (

4 6 4 6 , ] ,则其中正确的命题个数为( 9 9
B. 2 C. 3

) D. 4

-4-

【答案】D 【解析】 f ( x) ?

2 cos 2 x cos( x ?

?
4

) 的周期显然为 2? ; 2 ) ? 2 sin 2 x sin x ;

f( f(

?
?
4 4

? x) ? 2 cos(2 x ?

?
2

) cos( x ? 2

?

? x) ? 2 cos(?2 x ?

?

) cos(? x ?

?
2

) ? 2 sin 2 x sin x ; f (

?
4

? x) ? f (

?
4

? x) ,故②

正确. f (

3? 3? ? x) ? 2 cos(2 x ? ) cos( x ? ? ) ? ? 2 sin 2 x cos x 4 2 3? 3? 3? 3? f ( ? x) ? 2 cos(?2 x ? ) cos(? x ? ? ) ? 2 sin 2 x cos x ;f ( ? x) ? ? f ( ? x) , 4 2 4 4

故③正确. f ( x) ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x)2 , 设 cos x ? sin x ? t ? (cos x ? sin x)2 ? 2 ? t 2 ,则 t ? [? 2, 2] , y ? 2t ? t 3

y ? ? 2 ? 3t 2 ? 0 ? t ? ?

6 4 6 4 6 ,故④正确 ? ymin ? ? , ymax ? 3 9 9

【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(原创,容易)若 a ? ( x, 2), b ? ( x ? 1,1) ,若 (a ? b) ? (a ? b) ,则 x ? 【答案】 ?1 【解析】 (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? x ? ?1 【考点】向量坐标运算及向量垂直.

?

?

? ?

? ?



?

?

?

?

?2

?2

? x ? y ?1 ? 0 ? 14.(原创,容易)已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? 2y 的最小值为 ? x?0 ?
【答案】 5 【解析】由题意可得可行域为如图所示(含边界),
1 1 z ? x ? 2 y ? y ? ? x ? z ,则在点 A(1, 2) 处取得最小值 5 2 2



【考点】基本型的线性规划 15.(原创,中档)已知在数列 ?an ? 的前 n 项之和为 Sn ,若 a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n?1 ? 1 ,则

S10 ?



-5-

【答案】 1078 【解析】 a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n?1 ? 1 ? an?1 ? an ? 2n?1 ? 1

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ?
an ? 2n?2 ? 2n?3 ? ?? 2 ?1 ? n ?1? a1 .
? 1 ? 2n ?1 ? n ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ? n . 1? 2
10 ? 11 ? 1078 . 2

S10 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 29 ?

【考点】等差等比数列及均值不等式 16.(原创,难)四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 SAD 是以 SD 为斜边的等腰直角三角形, 若 2 2 ? SC ? 4 , 则四棱锥 S ? ABCD 的体积取值范围为 【答案】 [ .

4 3 8 , ] 3 3

【解析】如图所示,四棱锥 S ? ABCD 中,可得:

AD ? SA; AD ? AB ? AD ? 平面 SAB ? 平面 SAB ? 平面

ABCD ,过 S 作 SO ? AB 于 O ,则 SO ? 平面 ABCD ,故
VS ? ABCD ? 1 4 S ABCD ? SO ? SO ,在 ?SAB 中, SA ? AB ? 2 ,设 ?SAB ? ? ,则有, 3 3 1 1 ? 2? SC ? 2 3 ? 2cos? ,又 2 2 ? SC ? 4 ? ? ? cos ? ? ? ? ? [ , ] ,则 2 2 3 3

SO ? 2sin ? ? [ 3, 2],四棱锥 S ? ABCD 的体积取值范围为 [
【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围.

4 3 8 , ] 3 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分) (原创, 容易) 已知单调的等比数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn , 若 S3 ? 39 , 且 3a4 是 a6 , ?a5 的 等差中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

-6-

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log3 a2 n?1 ,且 ?bn ? 前 n 项的和为 Tn ,求 【答案】(Ⅰ) an ? 3n ;(Ⅱ)

1 1 1 1 ? ? ??? . T1 T2 T3 Tn

4 3

(18)解:(Ⅰ) 6a4 ? a6 ? a5 ? q2 ? q ? 6 ? 0 ? q ? 3 或 q ? ?2 (舍) ;………………3 分

a1 (1 ? q3 ) S3 ? ? 39 ? a1 ? 3 …………………5 分 1? q
an ? 3n ……………………6 分
(Ⅱ) bn ? log3 32n?1 ? 2n ? 1 ;………………7 分

Tn ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1 ? n(n ? 2) ………………8 分
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ………………10 分 Tn n(n ? 2) 2 n n ? 2

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? )? ? ( ? ) T1 T2 T3 Tn 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 n n?2 1 1 1 1 1 3 1 1 ? ? ??? ? ( ? ? ) ……………………12 分 T1 T2 T3 Tn 2 2 n ? 1 n ? 2

?

【考点】等比数列基本量运算、数列求和 18. (本题满分 12 分) (原创,中档)设函数 f ( x) ? 2sin( x ? (Ⅰ) 求 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ) 已知 ?ABC 的内角分别为 A, B, C ,若 f ( ) ? 为 ? ,求 AB ? AC 的最小值. 【答案】(Ⅰ) [?

?
3

) cos x ?

3 2

A 2

3 ,且 ?ABC 能够盖住的最大圆面积 2

??? ? ????

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z ;(Ⅱ) 6 12 12

(18)解:(Ⅰ) f ( x) ? 2sin( x ?

?
3

) cos x ?

3 1 3 ? sin 2x ? cos 2x ……3 分 2 2 2

-7-

? s i n (x2 ? ?

?
3

) …………… 4分

?

?2k? ?2 x ? 2 3

?

f ( x) 的单调增区间为 [?

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z ……6 分 12 12

? 2

?

? 2k ?

5 ? ? ? k ? ? 12

x?

?

? ? k? , k ………… Z ? 5分 12

(Ⅱ) 由余弦定理可知: a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ……7 分 由题意可知: ?ABC 的内切圆半径为 1 ……8 分

?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则 b ? c ? a ? 2 3 ……9 分

(b ? c ? 2 3)2 ? b2 ? c2 ? bc ……………10 分 ? 4 3 ? 3bc ? 4(b ? c) ? 8 bc ? bc ? 12 或 bc ?
??? ? ???? 1 AB ? AC ? bc ? [6, ??) , 2
当且仅当 b ? c 时, AB ? AC 的最小值为 6 .……………12 分 令也可以这样转化: r ? 1 ? a ? b ? c ?

4 (舍)……11 分 3

??? ? ????

3 bc ……9 分 2

代入 (b ? c ?

3 bc)2 ? b2 ? c 2 ? bc ;……………10 分 2
4 (舍) ;……………11 分 3

? 4 3 ? 3bc ? 4(b ? c) ? 8 bc ? bc ? 12 或 bc ?
??? ? ???? 1 AB ? AC ? bc ? [6, ??) , 2

当且仅当 b ? c 时, AB ? AC 的最小值为 6 .……………12 分 【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值. 19.(本题满分 12 分) (原创,中档)如图,三棱台 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 A 1C1CA 是全等的梯形, 1B 1 BA 与侧面 A 若A 1 A ? AB, A 1A ? A 1C1 ,且 AB ? 2 A 1B 1 ? 4A 1A .

??? ? ????

DE ∥平面 BCC1 B1 ; (Ⅰ)若 CD ? 2DA 1 , AE ? 2 EB ,证明:
(Ⅱ) 若二面角 C1 ? AA 1 ?B为 所成的锐二面角的余弦值.

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

? , 求平面 A 1 BC 1B 1 BA 与平面 C1 B 3

-8-

19.(Ⅰ)证明:连接 AC1 , BC1 ,梯形 A 1C1CA , AC ? 2 A 1C1 , 易知: AC1 ? AC ? D, AD ? 2DC1 ……2 分; 1 又 AE ? 2 EB ,则 DE ∥ BC1 ……4 分;

????

???? ?

??? ?

??? ?

BC1 ? 平面 BCC1 B1 , DE ? 平面 BCC1 B1 ,
可得: DE ∥平面 BCC1 B1 ……6 分; (Ⅱ)侧面 A 1C1CA 是梯形, A 1 A ? AC 1 1,

? AA1 ? AC , A1 A ? AB ,
?BAC ? 则 ?BAC 为二面角 C1 ? AA 1 ? B 的平面角,

? ……7 分; 3

? ?ABC, ?A1 B1C1 均为正三角形,在平面 ABC 内,过点 A 作 AC 的垂线,如图建立空间直
角坐标系,不妨设 AA 1 ? 1 ,则 A 1B 1 ? AC 1 1 ? 2,

AC ? AC ? 4 ,故点 A1 (0,0,1) , C (0,4,0),

B(2 3,2,0), B1 ( 3,1,1) ……9 分;
设平面 A 1B 1 BA 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则有:

??

?? ??? ? ?? ? ? 3x1 ? y1 ? 0 ? m ? AB ? 0 ? ?? ? m ? (1, ? 3, 0) ……10 分; ? ??? ???? ?m ? AB1 ? 0 ? ? 3x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? ? 设平面 C1 B1 BC 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则有: ?? ??? ? ? ? ? 3x2 ? y2 ? 0 ? m ? CB ? 0 ? ? ? n ? (1, 3, 2 3) ……11 分; ?? ???? ? ? m ? CB ? 0 3 x ? 3 y ? z ? 0 ? ? ? 1 ? 2 2 2 ?? ? ?? ? m?n 1 ? ?? , cos ? m, n ?? ????? 4 mn
故平面 A 1 BC 所成的锐二面角的余弦值为 1B 1 BA 与平面 C1 B 【考点】线面平行证明及二面角计算. 20. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2( x ? 2)e ? ax ? 2ax ? 3 ? b
x 2

1 ……12 分; 4

-9-

(原创,中档) (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 0 处的法线(经过切点且垂直于切线的直线)的方程为

x ? 2 y ? 4 ? 0 ,求实数 a , b 的值;
(原创,难) (Ⅱ)若 x ? 1 是 f ( x ) 的极小值点,求实数 a 的取值范围. (Ⅰ)解: f ?( x) ? 2( x ? 1)ex ? 2ax ? 2a ;……………………2 分; 由题意可知: f ?(0) ? 2 ;……………………3 分;

f ?(0) ? ?2 ? 2a ? 2 ? a ? 2 ;………………4 分;
易得切点坐标为 (0, ?2) ,则有 f (0) ? ?2 ? b ? 1 ;………………5 分; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: f ?( x) ? 2( x ? 1)e x ? 2ax ? 2a ? 2( x ? 1)(e x ? a) ;………………6 分; (1)当 a ? 0 时, ex ? a ? 0 ? f ?( x) ? 0 ? x ? 1, x ? (??,1) ? f ?( x) ? 0 ;

x ? (1, ??) ? f ?( x) ? 0 ; x ? 1 是 f ( x) 的极小值点,∴ a ? 0 适合题意;………………7 分;
(2)当 0 ? a ? e 时, f ?( x) ? 0 ? x1 ? 1 或 x2 ? ln a ,且 ln a ? 1;

x ? (??, ln a) ? f ?( x) ? 0 ; x ? (ln a,1) ? f ?( x) ? 0 ; x ? (1, ??) ? f ?( x) ? 0 ;

x ? 1 是 f ( x) 的极小值点,∴ 0 ? a ? e 适合题意;………………9 分;
(2)当 a ? e 时, f ?( x) ? 0 ? x1 ? 1 或 x2 ? ln a ,且 ln a ? 1;

x ? (??,1) ? f ?( x) ? 0 ; x ? (1,ln a) ? f ?( x) ? 0 ; x ? (ln a, ??) ? f ?( x) ? 0 ;

x ? 1 是 f ( x) 的极大值点,∴ a ? e 不适合题意;…………11 分
综上,实数 a 的取值范围为 a ? e ;………………12 分; 【考点】函数切线及函数极值. 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (ln x ? ax ? 1) ? ax ? 1 . (原创,中档) (Ⅰ)若 f ( x ) 在 [1, ??) 上是减函数,求实数 a 的取值范围. (原创,难) (Ⅱ)若 f ( x ) 的最大值为 2 ,求实数 a 的值. (Ⅰ) f ?( x) ? ln x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 在 [1, ??) 恒成立……1 分;

- 10 -

?a?

2 ? ln x 在 [1, ??) 恒成立……2 分; 1 ? 2x

1 ? 2 ? 2ln x 2 ? ln x , x ? [1, ??) ,则 g ?( x ) ? x 设 g ( x) ? ,由 x ? 1 得: g ?( x) ? 0 ……3 分; 1 ? 2x (1 ? 2 x) 2
g ( x) 在 [1, ??) 上为增函数 ? x ? 1 , g ( x) 有最小值 g (1) ? ?2 . ∴ a ? ?2 ;……4 分;
(Ⅱ)注意到 f (1) ? 2 ,又 f ( x ) 的最大值为 2 ,则 f ?(1) ? 0

? a ? 2 ? 0 ? a ? ?2 ;………………6 分
下面证明: a ? ?2 时, f ( x) ? 2 ,即 f ( x) ? x ? (ln x ? 2 x ? 1) ? 2 x ? 1 ? 0 ,

1 ? 3 ? 0 ;……………7 分 x 1 设 h( x) ? ln x ? 2 x ? ? 3, x ? (0, ??) ;……………8 分 x ? ln x ? 2 x ?

1 1 ?2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)(1 ? x) h?( x) ? ? 2 ? 2 ? ? ……………9 分 x x x2 x2
x ? (0,1) ? h?( x) ? 0 ? h( x) 在 (0,1] 上为增函数; x ? (1, ??) ? h?( x) ? 0 ? h( x) 在 [1, ??) 上为减函数;……………10 分

x ? 1 ? h( x) 有最大值 h(1) ? 0 ;……………11 分
h( x) ? h(1) ? 0 ? f ( x) ? x ? (ln x ? 2 x ? 1) ? 2 x ? 1 ? 0
∴ a ? ?2 适合题意;……………12 分 【考点】导函数单调性、函数最值及不等式证明. 选做题(请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分) 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 (原创,容易)已知直线 l 的参数方程为 ?

? x?t ?t为参数? .以原点为极点, x 轴的正半 ?y ? a ? t

轴为极轴,建立极坐标系, 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? . (Ⅰ)求直线 l 与圆 C 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 分圆 C 所得的弧长之比为 3 : 1 ,求实数 a 的值. 解:(Ⅰ)由题意知: ? ? 4cos? ? ? ? 4? cos? ? x ? 4 x ? y ? 0 …………3 分,
2 2 2

- 11 -

? x?t ? x ? y ? a ? x ? y ? a ? 0 ;…………5 分 ? ?y ? a ? t
(Ⅱ) x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ;…………6 分, 直线 l 分圆 C 所得的弧长之比为 3 :1 ? 弦长为 2 2 ;…………8 分,

? d ? r 2 ? 2 ? 2 ;…………9 分,

?d ?

a?2 2

? 2 ? a ? 0 或 a ? 4 ;…………10 分,

【考点】方程互化、圆弦长. 23.(本小题满分 10 分) 【选修 4—5:不等式选讲】 (原创,容易)已知函数 f ( x) ? 2x ? 4 ? x ? 1 , (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 9 ;
2 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 2 x ? a 的解集为 A , B ? x x ? 3x ? 0 ,且满足 B ? A ,求实数 a

?

?

的取值范围. 23. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 9 可化为 2x ? 4 ? x ? 1 ? 9

? x?2 ??1 ? x ? 2 ? x ? ?1 ,或 ? ,或 ? ;…………………………2 分 ? ? 5? x ? 9 ??3x ? 3 ? 9 ?3x ? 3 ? 9
2 ? x ? 4 ,或 ?1 ? x ? 2 ,或 ?2 ? x ? ?1 ; ……………………4 分
不等式的解集为 [?2, 4] ;……………………………5 分 (Ⅱ)易知 B ? (0,3) ;…………………………6 分 所以 B ? A ,又 2x ? 4 ? x ? 1 ? 2x ? a 在 x ? (0,3) 恒成立;…………………………7 分

? 2x ? 4 ? x ? a ? 1在 x ? (0,3) 恒成立;…………………………8 分
? ? x ? a ? 1 ? 2 x ? 4 ? x ? a ? 1 在 x ? (0,3) 恒成立;…………………………9 分
? a ? x ? 3在x ? (0,3)恒成立 ?a ? 0 ?? ? a ? ? ………………………10 分 ? ? a ? ?3 x ? 5在x ? (0,3)恒成立 ?a ? 5
【考点】绝对值不等式解法、不等式恒成立.

- 12 -

- 13 -

齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学 2018 届高三第二次调研联考 数学(理)参考答案及评分标准
1. 【答案】B 2. 【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】D 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】A 11.【答案】D 12.【答案】D 13.【答案】 ?1 14.【答案】 5 15.【答案】 1078 16.【答案】 [

4 3 8 , ] 3 3
4 3

17.【答案】(Ⅰ) an ? 3n ;(Ⅱ)

解:(Ⅰ) 6a4 ? a6 ? a5 ? q 2 ? q ? 6 ? 0 ? q ? 3 或 q ? ?2 (舍) ;………………3 分

S3 ?

a1 (1 ? q3 ) ? 39 ? a1 ? 3 …………………5 分 1? q

an ? 3n ……………………6 分
(Ⅱ) bn ? log3 32n?1 ? 2n ? 1 ;………………7 分

Tn ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1 ? n(n ? 2) ………………8 分

- 14 -

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ………………10 分 Tn n(n ? 2) 2 n n ? 2 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? )? ? ( ? ) T1 T2 T3 Tn 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 n n?2 1 1 1 1 1 3 1 1 ? ? ??? ? ( ? ? ) ……………………12 分 T1 T2 T3 Tn 2 2 n ? 1 n ? 2

?

【考点】等比数列基本量运算、数列求和 18. 【答案】(Ⅰ) [?

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z ;(Ⅱ) 6 12 12

解:(Ⅰ) f ( x) ? 2sin( x ?

?
3

) cos x ?

3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ……3 分 2 2 2

? s i n (x2 ? ?

?
3

) …………… 4分

?

?2k? ?2 x ? 2 3

?

f ( x) 的单调增区间为 [?

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z ……6 分 12 12

? 2

?

? 2k ?

5 ? ? ? k ? ? 12

x?

?

? ? k? , k ………… Z ? 5分 12

(Ⅱ) 由余弦定理可知: a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ……7 分 由题意可知: ?ABC 的内切圆半径为 1 ……8 分

?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则 b ? c ? a ? 2 3 ……9 分

(b ? c ? 2 3)2 ? b2 ? c2 ? bc ……………10 分 ? 4 3 ? 3bc ? 4(b ? c) ? 8 bc ? bc ? 12 或 bc ?
??? ? ???? 1 AB ? AC ? bc ? [6, ??) , 2
当且仅当 b ? c 时, AB ? AC 的最小值为 6 .……………12 分 令也可以这样转化: r ? 1 ? a ? b ? c ?

4 (舍)……11 分 3

??? ? ????

3 bc ……9 分 2

代入 (b ? c ?

3 bc)2 ? b2 ? c 2 ? bc ;……………10 分 2
4 (舍) ;……………11 分 3

? 4 3 ? 3bc ? 4(b ? c) ? 8 bc ? bc ? 12 或 bc ?

- 15 -

??? ? ???? 1 AB ? AC ? bc ? [6, ??) , 2
当且仅当 b ? c 时, AB ? AC 的最小值为 6 .……………12 分 19. 19.(Ⅰ)证明:连接 AC1 , BC1 ,梯形 A 1C1CA , AC ? 2 A 1C1 , 易知: AC1 ? AC ? D, AD ? 2DC1 ……2 分; 1 又 AE ? 2 EB ,则 DE ∥ BC1 ……4 分;

??? ? ????

????

???? ?

??? ?

??? ?

BC1 ? 平面 BCC1 B1 , DE ? 平面 BCC1 B1 ,
可得: DE ∥平面 BCC1 B1 ……6 分; (Ⅱ)侧面 A 1C1CA 是梯形, A 1 A ? AC 1 1,

? AA1 ? AC , A1 A ? AB ,
?BAC ? 则 ?BAC 为二面角 C1 ? AA 1 ? B 的平面角,

? ……7 分; 3

? ?ABC, ?A1 B1C1 均为正三角形,在平面 ABC 内,过点 A 作 AC 的垂线,如图建立空间直
角坐标系,不妨设 AA 1 ? 1 ,则 A 1B 1 ? AC 1 1 ? 2,

AC ? AC ? 4 ,故点 A1 (0,0,1) , C (0,4,0),

B(2 3,2,0), B1 ( 3,1,1) ……9 分;
设平面 A 1B 1 BA 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则有:

??

?? ??? ? ?? ? m ? AB ? 0 ? 3x1 ? y1 ? 0 ? ? ? ? m ? (1, ? 3, 0) ……10 分; ?? ???? ? ? ? m ? AB ? 0 3 x ? y ? z ? 0 ? ? ? 1 ? 1 1 1 ? 设平面 C1 B1 BC 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则有: ?? ??? ? ? ? ? 3x2 ? y2 ? 0 ? m ? CB ? 0 ? ?? ? n ? (1, 3, 2 3) ……11 分; ? ?? ???? ?m ? CB1 ? 0 ? ? 3x2 ? 3 y2 ? z2 ? 0 ? ?? ? ?? ? m?n 1 ? ?? , cos ? m, n ?? ????? 4 mn
故平面 A 1 BC 所成的锐二面角的余弦值为 1B 1 BA 与平面 C1 B

1 ……12 分; 4

- 16 -

20. (Ⅰ)解: f ?( x) ? 2( x ? 1)ex ? 2ax ? 2a ;……………………2 分; 由题意可知: f ?(0) ? 2 ;……………………3 分;

f ?(0) ? ?2 ? 2a ? 2 ? a ? 2 ;………………4 分;
易得切点坐标为 (0, ?2) ,则有 f (0) ? ?2 ? b ? 1 ;………………5 分; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: f ?( x) ? 2( x ? 1)e x ? 2ax ? 2a ? 2( x ? 1)(e x ? a) ;………………6 分; (1)当 a ? 0 时, ex ? a ? 0 ? f ?( x) ? 0 ? x ? 1, x ? (??,1) ? f ?( x) ? 0 ;

x ? (1, ??) ? f ?( x) ? 0 ; x ? 1 是 f ( x) 的极小值点,∴ a ? 0 适合题意;………………7 分;
(2)当 0 ? a ? e 时, f ?( x) ? 0 ? x1 ? 1 或 x2 ? ln a ,且 ln a ? 1;

x ? (??, ln a) ? f ?( x) ? 0 ; x ? (ln a,1) ? f ?( x) ? 0 ; x ? (1, ??) ? f ?( x) ? 0 ;

x ? 1 是 f ( x) 的极小值点,∴ 0 ? a ? e 适合题意;………………9 分;
(2)当 a ? e 时, f ?( x) ? 0 ? x1 ? 1 或 x2 ? ln a ,且 ln a ? 1;

x ? (??,1) ? f ?( x) ? 0 ; x ? (1,ln a) ? f ?( x) ? 0 ; x ? (ln a, ??) ? f ?( x) ? 0 ;

x ? 1 是 f ( x) 的极大值点,∴ a ? e 不适合题意;…………11 分
综上,实数 a 的取值范围为 a ? e ;………………12 分; 21. (Ⅰ) f ?( x) ? ln x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 在 [1, ??) 恒成立……1 分;

?a?

2 ? ln x 在 [1, ??) 恒成立……2 分; 1 ? 2x

1 ? 2 ? 2ln x 2 ? ln x , x ? [1, ??) ,则 g ?( x ) ? x 设 g ( x) ? ,由 x ? 1 得: g ?( x) ? 0 ……3 分; 1 ? 2x (1 ? 2 x) 2
g ( x) 在 [1, ??) 上为增函数 ? x ? 1 , g ( x) 有最小值 g (1) ? ?2 . ∴ a ? ?2 ;……4 分;
(Ⅱ)注意到 f (1) ? 2 ,又 f ( x ) 的最大值为 2 ,则 f ?(1) ? 0

? a ? 2 ? 0 ? a ? ?2 ;………………6 分
下面证明: a ? ?2 时, f ( x) ? 2 ,即 f ( x) ? x ? (ln x ? 2 x ? 1) ? 2 x ? 1 ? 0 ,

- 17 -

1 ? 3 ? 0 ;……………7 分 x 1 设 h( x) ? ln x ? 2 x ? ? 3, x ? (0, ??) ;……………8 分 x ? ln x ? 2 x ?

h?( x) ?

1 1 ?2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)(1 ? x) ?2? 2 ? ? ……………9 分 x x x2 x2

x ? (0,1) ? h?( x) ? 0 ? h( x) 在 (0,1] 上为增函数;
x ? (1, ??) ? h?( x) ? 0 ? h( x) 在 [1, ??) 上为减函数;……………10 分

x ? 1 ? h( x) 有最大值 h(1) ? 0 ;……………11 分
h( x) ? h(1) ? 0 ? f ( x) ? x ? (ln x ? 2 x ? 1) ? 2 x ? 1 ? 0
∴ a ? ?2 适合题意;……………12 分 22. 解:(Ⅰ)由题意知: ? ? 4cos? ? ? 2 ? 4? cos? ? x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 …………3 分,

? x?t ? x ? y ? a ? x ? y ? a ? 0 ;…………5 分 ? ?y ? a ? t
(Ⅱ) x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ;…………6 分, 直线 l 分圆 C 所得的弧长之比为 3 :1 ? 弦长为 2 2 ;…………8 分,

? d ? r 2 ? 2 ? 2 ;…………9 分,

?d ?

a?2 2

? 2 ? a ? 0 或 a ? 4 ;…………10 分,

23. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 9 可化为 2x ? 4 ? x ? 1 ? 9

? x?2 ??1 ? x ? 2 ? x ? ?1 ,或 ? ,或 ? ;…………………………2 分 ? ? 5? x ? 9 ??3x ? 3 ? 9 ?3x ? 3 ? 9
2 ? x ? 4 ,或 ?1 ? x ? 2 ,或 ?2 ? x ? ?1 ; ……………………4 分
不等式的解集为 [?2, 4] ;……………………………5 分 (Ⅱ)易知 B ? (0,3) ;…………………………6 分 所以 B ? A ,又 2x ? 4 ? x ? 1 ? 2x ? a 在 x ? (0,3) 恒成立;…………………………7 分

? 2x ? 4 ? x ? a ? 1在 x ? (0,3) 恒成立;…………………………8 分

- 18 -

? ? x ? a ? 1 ? 2 x ? 4 ? x ? a ? 1 在 x ? (0,3) 恒成立;…………………………9 分

? a ? x ? 3在x ? (0,3)恒成立 ?a ? 0 ?? ? a ? ? ………………………10 分 ? ? a ? ?3 x ? 5在x ? (0,3)恒成立 ?a ? 5

- 19 -


相关文章:
山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联....doc
山东省湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷+Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东省湖北省部分重点中学2018届高三第二...
...湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷 ....doc
山东省湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷 Word版含解析_学习总结_总结/汇报_实用文档。山东省湖北省部分重点中学2018届高三第二次(...
...2019届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷Word版含解....doc
山东省湖北省部分重点中学2019届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷Word版含解析 - 山东省湖北省部分重点中学 2019 届高三第二次(12 月)联考 数学(理)...
...省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(文)....doc
湖北省、山东省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(文)试题+Word版含解析 - 山东、湖北部分重点中学 2018 届高三第二次联考 数学(文)试题 本试卷共 ...
山东省、湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次(12....doc
山东省、湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次(12月)联考数学(文)试题+Word版含解析 - 山东、湖北部分重点中学 2018 届高三第二次联考 数学(文)试题 命题...
湖北省、山东省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)....doc
湖北省山东省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试题 Word版含解析_高中教育_教育专区。2018届高三高考冲刺模拟考试试题 Word版含解析 ...
...2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试题Word版含解....doc
湖北省、山东省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试题Word版含解析 - 山东、湖北部分重点中学 2018 年第二次联考(理) 数学试题(理工农医类) ...
...部分重点中学高三上学期第二次(12月)联考数学(理)试....doc
2018届山东省、湖北省部分重点中学高三上学期第二次(12月)联考数学(理)试题 Word版含解析 - 山东、湖北部分重点中学 2018 年第二次联考(理) 数学试题(理工农...
...湖北省部分重点中学高三第二次(12月)联考数学(文)试....doc
2018届山东省、湖北省部分重点中学高三第二次(12月)联考数学(文)试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东、湖北部分重点中学 2018 届高三第二次联考数学(文)...
...高三上学期第二次(12月)联考数学(文)试题Word版含解....doc
山东省、湖北省部分重点中学高三上学期第二次(12月)联考数学(文)试题Word版含解析 - 山东、湖北部分重点中学 2018 届高三第二次联考 数学(文)试题 命题学校:...
(齐鲁名校教科研协作体)山东省、湖北省部分重点中学201....pdf
(齐鲁名校教科研协作体)山东省湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)(解析版) - 齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学 2018 届高三...
...高三第二次(12月)联考数学(理)---精校解析 Word版.doc
湖北省、山东省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)---精校解析 Word版 - 山东、湖北部分重点中学 2018 年第二次联考(理) 数学试题(理工农医类...
山东省湖北省部分重点中学2018届高三数学第二次12月联....pdf
山东省湖北省部分重点中学2018届高三数学第二次12月联考试题文2018081601112 - 山东省湖北省部分重点中学 2018 届高三数学第二次(12 月)联考 试题 文 本试卷共...
湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次联考数学(理....doc
湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次联考数学(理)试题(Word版含答案) - 湖北省部分重点中学 2018 届高三第二次联考 高三数学试卷(理科) 第Ⅰ卷(共 60 ...
...湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考物理....doc
【精选】山东省湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考物理试卷Word版含解析-物理知识点总结 - 高中数学数学课件、高中数学教案、数学试卷试题、数学...
...湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考生物....doc
山东省湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考生物试卷Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学 2018 届高三...
...湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考历史....doc
【精选】山东省湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考历史试卷Word版含解析-历史知识点总结 - 齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学 2018 届...
...湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考历史....doc
山东省湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考历史试卷Word版含解析_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。价值高 齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北...
山东省、湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次(12....doc
山东省湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次(12月)联考生物试题 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学 2018...
...省部分重点中学高三第二次(12月)联考数学(理)试卷(....doc
2019届山东省湖北省部分重点中学高三第二次(12月)联考数学(理)试卷(解析