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湖南省浏阳一中2011届高三第三次月考文科数学试题

浏阳一中高三第三次月考试题 数 学(文科) 文科) 分钟。 全卷满分 l50 分,考试时间 l20 分钟。
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集 U = R, A = {x | x ( x + 3) < 0}, B = {x | x < ?1}, 则下图中阴影部分表示的集合为 ( ) B. {x | ?3 < x < 0} D. {x | x < ?1} ( C. )

A. {x | ?3 < x < ?1} C.{x|x>0}

2. f ( x ) = sin x cos x 最小值是 A.-1 B. ?

1 2

1 2

D.1

3.曲线 y = x 2 ? 2 x + 1 在点(1,0)处的切线方程为 (A) y = x ? 1 (C) y = 2 x ? 2 (B) y = ? x + 1 (D) y = ?2 x + 2
( )

? ?log2x,x>0, 1 4. 已知函数 f(x)=? x 若 f(a)= ,则 a= 2 ? ?2 ,x≤0.

A.-1 C.-1 或 2
2

B. 2 D.1 或- 2 )

5. “|x|<2”是“ x ? x ? 6 < 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

6.函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=log0.5f(x)的图象大致是

第 1 页 共 7 页

7.已知函数 f ( x) = 3 sin ω x + cos ω x(ω > 0) , y = f ( x) 的图像与直线 y = 2 的两个相邻交点 的距离等于 π ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 A. [ kπ ? π , kπ + 5π ], k ∈ Z 12 12 C. [ kπ ? π , kπ + π ], k ∈ Z 3 6 B. [ kπ + 5π , kπ + 11π ], k ∈ Z 12 12 D. [ kπ + π , kπ + 2π ], k ∈ Z 6 3

x , x ∈ [0, +∞)( x1 ≠ x2 ) , 有 8. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 满 足 : 对 任 意 的 1 2
f ( x2 ) ? f ( x1 ) <0 x2 ? x1 . 则
A. f (3) < f ( ?2) < f (1) C. f ( ?2) < f (1) < f (3) B. f (1) < f ( ?2) < f (3) D. f (3) < f (1) < f ( ?2)

(

)

二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡的相应位置 填空题:本大题共7小题,每小题5 35分 9. sin 585 °的值为________. 10.若函数 f ( x ) =

x2 + a 在 x = 1 处取极值,则 a = x +1

11.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则 a+b=________. 12.已知命题 p : ?x ∈ R , x + 2ax + a ≤ 0 .
2

若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是 13.已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + φ ) 的图像如图所示,则 f ?



? 7π ? 12

? ?= ?



? (a≤b), ?a, 14.对于任意实数 a、b,定义 min{a,b}=? 设函数 f(x)=-x+3,g(x)= ? ?b, (a>b). log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________. 15. 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

r A 2 5 uuu uuur = , AB ? AC = 3 . 2 5

则 ?ABC 的面积________.

第 2 页 共 7 页

三、解答题:本大题共 6 小题.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内。

16.(本小题满分12分 16.(本小题满分12分)已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 本小题满分12

π θ ∈ (0, ) .
2
(1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ? ? ) =

10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2

x x x 本小题满分 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = sin cos + cos 2 ? 2. 2 2 2
(Ⅰ)将函数 f ( x ) 化简成 A sin(ω x + ? ) + B ( A > 0, ? > 0, ? ∈ [0, 2π )) 的形式,并指出

f ( x) 的最小正周期;
(Ⅱ)求函数 f ( x )在[π ,

17π ] 上的最大值和最小值 12

18.(本小题满分 B=45° 边上的一点, 18.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. AD=10,AC=14,DC=6, 的长.

19.(本小题满分 19.(本小题满分 12 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每
辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将 会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

第 3 页 共 7 页

20.(本小题满分 20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) = x 3 ? 3ax 2 ? bx ,其中 a, b 为实数.
(Ⅰ) 若 (Ⅱ)若

f ( x ) 在 x = 1 处取得的极值为 2 ,求 a, b 的值; f ( x ) 在区间 [? 1, 2] 上为减函数,且 b = 9a ,求 a 的取值范围.

21.(本小题满分 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ax3 + bx 2 ? 3 x 在 x = ±1 处取得极值。
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间 [ ?1,1] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≤ 4 ; (Ⅲ)若过点 A(1, m) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围。


1----15 ABAC,ACCA



?

2 ,3,-7,0<a<1,0,1,2 2
第 4 页 共 7 页

1 7 解 (Ⅰ) f(x)=

1 1 + cos x 1 3 2 π 3 ? 2 = (sin x + cos x) ? = sinx+ sin( x + ) ? . 2 2 2 2 2 4 2

故 f(x)的最小正周期为 2π{k∈Z 且 k≠0} 。 (Ⅱ)由π≤x≤

17π 5π π 5π 2 π 3 ,得 ≤ x+ ≤ .因为 f(x)= sin( x + ) ? 在 12 4 4 3 2 4 2

[π ,

5π 5π 17π 5π 3+ 2 , ]上是减函数, 在[ ]上是增函数, 故当 x= 时, (x)有最小值- f ; 4 4 12 4 2 17 6+ 6 π)=- <-2,所以当 x=π时,f(x)有最大值-2. 12 4

而 f(π)=-2,f( 18 解

在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,

由余弦定理得 cos ∠

AD 2 + DC 2 ? AC 2 100 + 36 ? 196 1 = =? , 2 AD DC 2 × 10 × 6 2

∴ ∠ ADC=120°, ∠ ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, ∠ B=45°, ∠ ADB=60°, AB AD 由正弦定理得 = , sin ∠ADB sin B

AD sin ∠ADB 10 sin 60° ∴ AB= = = sin B sin 45°

10 × 2 2

3 2 =5 6.

第 5 页 共 7 页

19 解: 当每辆车的月租金定为 3600 元时, (1) 未租出的车辆数为: 所以这时租出了 88 辆车.

3600 ? 3000 =12, 50 x ? 3000 ) 50

(2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为:f(x)=(100-

1 x ? 3000 x2 2 (x-150) - ×50, 整理得: =- (x) f +162x-21000=- (x-4050)+307050. 50 50 50
所以,当 x=4050 时,f(x)最大,其最大值为 f(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307050 元.
20 解 (Ⅰ)由题设可知:

f ′(1) = 0 且 f (1) = 2 ,
即?

……………… 2 分

?3 ? 6a ? b = 0 4 ,解得 a = , b = ?5. 3 ?1 ? 3a ? b = 2
f ′( x ) = 3 x 2 ? 6ax ? b = 3 x 2 ? 6ax ? 9a ,

………………

4分

(Ⅱ)Q 又

………………

5分

f ( x ) 在 [? 1, 2] 上为减函数,
……………… 6 分

∴ f ′( x ) ≤ 0 对 x ∈ [? 1, 2] 恒成立,
即 3x
2

? 6ax ? 9a ≤ 0 对 x ∈ [? 1, 2] 恒成立.
……………… 10 分

∴ f ′(? 1) ≤ 0 且 f (2) ≤ 0 ,

?a ≥ 1 ?3 + 6a ? 9a ≤ 0 ? 即? ?? 3 ? a ≥1, ?12 ? 12a ? 9a ≤ 0 ?a ≥ 7 ? ∴ a 的取值范围是 a ≥ 1.
21 ( Ⅰ )
……………… 12 分

f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx ? 3











f ' (1) = f ' (?1) = 0 ,


…………………………………1 分

?3a + 2b ? 3 = 0 ? ?3a ? 2b ? 3 = 0







a = 1, b = 0,∴ f ( x) = x 3 ? 3 x
经检验符合。

…………………………………3 分

(Ⅱ)Q f ( x) = x 3 ? 3 x,∴ f ' ( x ) = 3 x 3 ? 3 = 3( x + 1)( x ? 1) 当 ?1 < x < 1 时, f ' ( x ) < 0 ,故 f ( x ) 在区间 [ ?1,1] 上为减函数,

第 6 页 共 7 页

f max ( x) = f (?1) = 2, f min ( x) = f (1) = ?2
…………5 分

……………………

整理得 2 x0 ? 3 x0 + m + 3 = 0 。
3 2

∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, ∴ 根。
3 2





x0







3 2 2 x 0 ? 3 x0 + m + 3 = 0









…………………………………9 分
2

设 g ( x0 ) = 2 x0 ? 3 x0 + m + 3 ,则 g ′( x0 ) = gx0 ? 6 x0 , 由 g ′( x0 ) = 0 ,得 x0 = 0 或 x0 = 1

∴ g ( x0 ) 在 (?∞, 0), (1, +∞) 上单调递增,在(0,1)上单调递减。
∴ 函 数
3 2 g ( x 0 ) = 2 x0 ? 3 x 0 + m + 3











x0 = 0



x0 = 1

…………………………………11 分
3 2

∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3 x0 + m + 3 = 0 有三个实根的充要条件是

? g ( 0) > 0 ,解得 ?3 < m < ?2 ? ? g (1) < 0
故 所 求 的 实 数

?3 < m < ?2

a 的 取 值 范 …………………………………14 分





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