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江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


江苏省南通中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分)若角 120°的终边上有一点(﹣4,a) ,则 a 的值是 .

2. (5 分)若 f(x)=sin(ωx﹣

)的最小正周期是 π,其中 ω>0,则 ω 的值是.

3. (5 分)化简:sin13°cos17°+sin17°cos13°=.

4. (5 分)已知向量

=(14,0) ,

=(



) ,则



的夹角的大小为.

5. (5 分)已知 cosθ?tanθ<0,那么角 θ 是第象限角.

6. (5 分)已知向量 =(1,1) , =(2,n) ,若| + |=| ﹣ |,则 n=.

7. (5 分) (1+tan1°) (1+tan44°)=. 8. (5 分)把函数 y=3sin(2x+ (x)=. 9. (5 分)函数 f(x)=sinx﹣a 在区间[ ,π]上有 2 个零点,则实数 a 的取值范围. )的图象向右平移 个单位长度得到的函数图象解析式为 f

10. (5 分)已知函数 f(x)=asinx+btanx+1,满足 f(

)=7,则 f(﹣

)=.

11. (5 分)在△ ABC 中,有命题: ① ② ﹣ + = + + ; = ; )?( ﹣ )=0,则△ ABC 为等腰三角形; ? =0.

③若(

④若△ ABC 为直角三角形,则 上述命题正确的是(填序号) .

12. (5 分)已知函数 y=tan +

,则函数的定义域是.

13. (5 分)已知



, 与 的夹角为 45°,要使

与 垂直,则 λ=.

14. (5 分)在△ ABC 中,∠B= ﹣
2

π,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) ,且

2

+

2

=

?

﹣2

?

,则∠A 等于.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知向量 =(cosα,﹣1) , =(2,1+sinα) ,且 ? =﹣1. (1)求 tanα 的值; (2)求 的值.

16. (14 分)已知 =(1,2) , =(﹣3,2) ,当 k 为何值时: (1)k + 与 ﹣3 垂直; (2)k + 与 ﹣3 平行,平行时它们是同向还是反向?

17. (14 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|< (1)求出函数 f(x)的解析式; (2)若将函数 f(x)的图象向右移动 的单调增区间及对称中心.

)的图象如图所示,

个单位得到函数 y=g(x)的图象,求出函数 y=g(x)

18. (16 分)已知 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,且| ﹣ |= (1)求 sin( ﹣α)cos(2π﹣β)﹣sin(π+α)cos(β﹣ ,求 β 的值.



)的值;

(2)若 cosα= ,且 0<β<α<

19. (16 分)某休闲农庄有一块长方形鱼塘 ABCD,AB=50 米,BC=25 米,为了便于游客 休闲散步,该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊 OE、EF 和 OF,考虑到整体规划, 要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且∠EOF=90°. (1)设∠BOE=α,试将△ OEF 的周长 l 表示成 α 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条走廊每米建设费用均为 4000 元,试问如何设计才能使建设总费用最低并 求出最低总费用.

20. (16 分)如图,已知扇形周长 2+ π,面积为 (1)求∠AOB 的大小; (2)如图所示,当点 C 在以 O 为圆心的圆弧 xy 的最大值与最小值的和; (3)若点 C、D 在以 O 为圆心的圆上,且 值最大?并求出这个最大值. =

,且|

+

|=1.

上变动.若

=x

+y

,其中 x、y∈R,求

.问



的夹角 θ 取何值时,

?



江苏省南通中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

1. (5 分)若角 120°的终边上有一点(﹣4,a) ,则 a 的值是 4 . 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 利用任意角的三角函数的定义,求出它的正切值,即可得到 a 的值. 解答: 解:由题意可知:tan120°= ,所以 a=4

故答案为:4 点评: 本题是基础题,考查任意角的三角函数的定义,考查计算能力.

2. (5 分)若 f(x)=sin(ωx﹣

)的最小正周期是 π,其中 ω>0,则 ω 的值是 2.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期公式进行求解即可. 解答: 解:∵f(x)=sin(ωx﹣ ∴T= ,解得 ω=2, )的最小正周期是 π,

故答案为:2 点评: 本题主要考查三角函数的周期的计算,根据周期公式是解决本题的关键.

3. (5 分)化简:sin13°cos17°+sin17°cos13°= .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 利用两角和的正弦函数公式的逆应用,即可得到特殊角的三角函数值即可. 解答: 解:sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin30°= ; 故答案为: . 点评: 本题是基础题,考查两角和的正弦函数的应用,送分题.

4. (5 分)已知向量

=(14,0) ,

=(



) ,则



的夹角的大小为



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的坐标表示,以及向量的夹角公式,由夹角的范围计算即可得到. 解答: 解:由向量 =(14,0) , =( , ) ,

可得 则 cos<

=14 ,

,| >=

|=14,|

|= =

=2, = ,

由 0≤< 可得 与



>≤π, 的夹角的大小为 . .

故答案为:

点评: 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的夹角公式,主要考查夹角的大小,属于 基础题. 5. (5 分)已知 cosθ?tanθ<0,那么角 θ 是第第三或第四象限角. 考点: 象限角、轴线角;任意角的三角函数的定义;弦切互化. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查了正、余弦函数与正切函数转化关系以及由三角函数值判断角所在的象 限.根据 cosθ?tanθ<0,结合同角三角函数关系运算,及三角函数在各象限中的符号,我们不 难得到结论. 解答: 且 cosθ≠0

∴角 θ 是第三或第四象限角 故答案为:第三或第四 点评: 准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键,其口决是“第一象限全为 正,第二象限负余弦,第三象限负正切,第四象限负正弦.”

6. (5 分)已知向量 =(1,1) , =(2,n) ,若| + |=| ﹣ |,则 n=﹣2.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 运用向量的平方即为模的平方的性质,可得 示,计算即可得到. 解答: 解:若| + |=| ﹣ |, 则( + ) =( ﹣ ) , 即有 即为 +2 =0, = ﹣2 ,
2 2

=0,再由向量的或塑料件的坐标表

由向量 =(1,1) , =(2,n) , 则 2+n=0, 解得 n=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质,主要考查向量的平方即为模的平方,属 于基础题. 7. (5 分) (1+tan1°) (1+tan44°)=2. 考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用两角和的正切公式求得(1+tan1°) (1+tan44°)=2. 解答: 解:∵(1+tan1°) (1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°?tan44° =1+tan(1°+44°)[1﹣tan1°?tan44°]+tan1°?tan44°=2. 故答案为:2. 点评: 本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于中档题.

8. (5 分)把函数 y=3sin(2x+ (x)=3sin2x.

)的图象向右平移

个单位长度得到的函数图象解析式为 f

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 解答: 解:把函数 y=3sin(2x+ 为:f(x)=3sin[2(x﹣ )+ )的图象向右平移 + 个单位长度得到的函数图象解析式

]=3sin(2x﹣

)=3sin2x.

故答案为:3sin2x. 点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 9. (5 分)函数 f(x)=sinx﹣a 在区间[ ,π]上有 2 个零点,则实数 a 的取值范围 ≤a<1.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=sinx﹣a 在区间[ 不同的交点,作图象求解. 解答: 解:作函数 y=sinx 在区间[ ,π]上的图象如下, ,π]上有 2 个零点可转化为函数 y=sinx 与 y=a 有两个

从而可得,sin 即 ≤a<1;

≤a<1;

故答案为:

≤a<1.

点评: 本题考查了函数零点与函数图象的应用,属于基础题.

10. (5 分)已知函数 f(x)=asinx+btanx+1,满足 f(

)=7,则 f(﹣

)=﹣5.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据解析式得出 f(x)+f(﹣x)=2,求解即可. 解答: 解:∵f(x)=asinx+btanx+1, ∴f(﹣x)=﹣asinx﹣btanx+1 f(x)+f(﹣x)=2 ∵f( ∴f(﹣ )=7, )=2﹣7=﹣5,

故答案为:﹣5 点评: 本题考查了函数的性质,整体的运用,属于中档题,注意观察,得出函数性质. 11. (5 分)在△ ABC 中,有命题: ① ② ﹣ + = + + ; = ; )?( ﹣ )=0,则△ ABC 为等腰三角形; ? =0.

③若(

④若△ ABC 为直角三角形,则

上述命题正确的是②③(填序号) . 考点: 平面向量数量积的运算;向量的三角形法则. 专题: 平面向量及应用.

分析: 在△ ABC 中,有命题: ① ﹣ = ,即可判断出正误; + + = ,正确; ,即可判断出正误; ? =0 不一定正确.

②由向量的加法可知: ③由( + )?( ﹣

)=0,可得

④虽然△ ABC 为直角三角形,但是没有给出哪一个角为直角,因此 解答: 解:在△ ABC 中,有命题: ① ② ﹣ + = + + ,因此不正确 = ,正确; )?( ﹣ )=0,则 ;

③若(

,因此△ ABC 为等腰三角形,正确; ? =0 不一定正确.

④若△ ABC 为直角三角形,没有给出哪一个角为直角,因此

综上可得:只有②③. 故答案为:②③. 点评: 本题考查了向量的三角形法则及其运算、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关 系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. ,k∈Z}.

12. (5 分)已知函数 y=tan +

,则函数的定义域是{x|﹣4≤x≤4 且 x≠kπ+

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据三角函数的性质,结合二次根式的性质得到不等式组,解出即可.

解答: 解:由题意得:



解得:﹣4≤x≤4 且 x≠kπ+

, (k=﹣1,0, ) , , (k=﹣1,0)}.

故答案为:{x|﹣4≤x≤4 且 x≠kπ+

点评: 本题考查了三角函数的性质,考查了二次根式的性质,是一道基础题.

13. (5 分)已知



, 与 的夹角为 45°,要使

与 垂直,则 λ=2.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 计算题.

分析: 由已知中 以计算出 ? 值,又由



, 与 的夹角为 45°,代入向量数量积公式,我们可 与 垂直,即( )? =0,我们可以构造出一个关于 λ

的方程,解方程即可求出满足条件的 λ 值. 解答: 解:∵ ∴ ? =2? 若 则( ?cos45°=2 与 垂直, )? =λ( ? )﹣ =2λ﹣4=0 , , 与 的夹角为 45°,

解得 λ=2 故答案为:2 点评: 本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系,平面向量数量积的性质 及其运算,其中根据 与 垂直,则其数量积( )? =0,构造出一个关于 λ

的方程,是解答本题的关键. 14. (5 分)在△ ABC 中,∠B= ﹣
2 2 2

π,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) ,且

+

=

?

﹣2 .

?

,则∠A 等于

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 作 AO⊥BC,垂足为 O,以 BC 所在直线为 x 轴,以 OA 所在直线为 y 轴,建 立直角坐标系.设 A(0,a) ,B(b,0) ,C (c,0) ,D(d,0) .由 ﹣2 ? ,可得
2 2

+

2



2

=

?

+

2

﹣2

?

=

,化为

,化简可得 b=

﹣c,进而得出. 解答: 解:作 AO⊥BC,垂足为 O, 以 BC 所在直线为 x 轴,以 OA 所在直线为 y 轴,建立直角坐标系. 设 A(0,a) ,B(b,0) ,C (c,0) ,D(d,0) . ∵ ∴ ∴
2

+ +

2

﹣ ﹣2

2

= ?

? = ,

﹣2

?

, ,

2

2

∴b +a =d +a +(d﹣b) (c﹣d) , 即(b﹣d) (b+d)=(d﹣b) (d﹣c) , 又 b﹣d≠0, ∴b+d=d﹣c, ∴b=﹣c, ∴点 B(b,0)和 C(c,0)关于原点对称, ∴△ABC 为等腰三角形. ∴AB=AC,∵∠B= ∴∠A=π﹣ 故答案为: . = , .

2

2

2

2

点评: 本题考查了向量的数量积运算性质、余弦定理、等腰三角形的性质,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知向量 =(cosα,﹣1) , =(2,1+sinα) ,且 ? =﹣1. (1)求 tanα 的值; (2)求 的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1,利用平面向量的数量积运算法则列出 关系式,整理求出 tanα 的值即可; (2)原式分子分母除以 cosα,利用同角三角函数间基本关系化简,把 tanα 的值代入计算即可 求出值. 解答: 解: (1)∵向量 =(cosα,﹣1) , =(2,1+sinα) ,且 ? =﹣1, ∴2cosα﹣1﹣sinα=﹣1,即 2cosα=sinα, 则 tanα=2;

(2)∵tanα=2, ∴原式= = =﹣1.

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

16. (14 分)已知 =(1,2) , =(﹣3,2) ,当 k 为何值时: (1)k + 与 ﹣3 垂直; (2)k + 与 ﹣3 平行,平行时它们是同向还是反向?

考点: 平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)由题意可得 k + 量积等于 0,由此解得 k 的值. (2)由 k + 根据 k + 与 ﹣3 平行的性质,可得(k﹣3) (﹣4)﹣(2k+2)×10=0,解得 k 的值.再 与 ﹣3 方向相反. 和 ﹣3 的坐标,由 k + 与 ﹣3 垂直可得它们的数

和 ﹣3

的坐标,可得 k +

解答: 解: (1)由题意可得 k + =(k﹣3,2k+2) , ﹣3 =(10,﹣4) , 由 k + 与 ﹣3 垂直可得 (k﹣3,2k+2)?(10,﹣4)=10(k﹣3)+(2k+2) (﹣4)=0,

解得 k=19. (2)由 k + 与 ﹣3 平行,可得(k﹣3) (﹣4)﹣(2k+2)×10=0,解得 k=﹣ , , ) , ﹣3 =(10,﹣4) ,显然 k + 与 ﹣3 方向相反.

此时,k + =﹣

+ =(﹣

点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量共线、垂直的性质,属于中 档题.

17. (14 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|< (1)求出函数 f(x)的解析式; (2)若将函数 f(x)的图象向右移动 的单调增区间及对称中心.

)的图象如图所示,

个单位得到函数 y=g(x)的图象,求出函数 y=g(x)

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)通过函数的图象求出振幅,周期,以及 b.求出函数 f(x)的解析式; (2)利用平移变换的运算求出函数 y=g(x)的解析式,通过正弦函数的单调增区间求解函数 单调增区间及对称中心. 解答: 解: (1)由题意 ∴ T=4π, ∴ x=﹣ ∵|φ|< , 时,y=2,可得:2= ,∴φ= , . , ,k∈Z, ,k∈Z; ,k∈Z, ,k∈Z; 解得 k∈Z ,k∈Z. , , , ,

函数的解析式为: (2) 增区间 即 增区间 当 对称中心

点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,平移变换以及正弦函数的单调区间,对称中心 的求法,考查计算能力.

18. (16 分)已知 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,且| ﹣ |= (1)求 sin( ﹣α)cos(2π﹣β)﹣sin(π+α)cos(β﹣ ,求 β 的值.



)的值;

(2)若 cosα= ,且 0<β<α<

考点: 运用诱导公式化简求值;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: (1)利用数量积运算性质、模的计算公式、两角和差的余弦公式即可得出; (2)由 0<β<α< ﹣β)= ﹣β)即可得出. 解答: 解: (1)∵ =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) , ∴ =(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ) , , = . )=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α﹣β)= . , , ,可得 , ,sin(α

.利用 sinβ=sin[α﹣(α﹣β)]=sinαcos(α﹣β)﹣cosαsin(α

∵| ﹣ |= ∴

化为 cos(α﹣β)= ∴sin(

﹣α)cos(2π﹣β)﹣sin(π+α)cos(β﹣ , , = , = .

(2)∵0<β<α< ∴ ∴sin(α﹣β)=



∴sinβ=sin[α﹣(α﹣β)] =sinαcos(α﹣β)﹣cosαsin(α﹣β) = = ∴ . . ﹣

点评: 本题考查了数量积运算性质、模的计算公式、两角和差的正弦余弦公式、同角三角 函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19. (16 分)某休闲农庄有一块长方形鱼塘 ABCD,AB=50 米,BC=25 米,为了便于游客 休闲散步,该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊 OE、EF 和 OF,考虑到整体规划, 要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且∠EOF=90°. (1)设∠BOE=α,试将△ OEF 的周长 l 表示成 α 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条走廊每米建设费用均为 4000 元,试问如何设计才能使建设总费用最低并 求出最低总费用.

考点: 函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)要将△ OEF 的周长 l 表示成 α 的函数关系式,需把△ OEF 的三边分别用含有 α 的关系式来表示,而 OE, OF,分别可以在 Rt△ OBE,Rt△ OAF 中求解,利用勾股定理可求 EF,从而可求. (2)要求铺路总费用最低,只要求△ OEF 的周长 l 的最小值即可.由(1)得 l= ,α∈[ , ],

利用换元,设 sinα+cosα=t,则 sinαcosα=

,从而转化为求函数在闭区间上的最小值.

解答: 解: (1)∵在 Rt△ BOE 中,OB=25,∠B=90°,∠BOE=α, ∴OE= 在 Rt△ AOF 中,OA=25,∠A=90°,∠AFO=α, ∴OF= .

又∠EOF=90°, ∴EF= ∴l=OE+OF+EF= = , . ; .

当点 F 在点 D 时,这时角 α 最小,此时 α=

当点 E 在 C 点时,这时角 α 最大,求得此时 α= 故此函数的定义域为[ , ];

(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求△ OEF 的周长 l 的最小值即可. 由(1)得,l= ,α ∈ [ , ],

设 sinα+cosα=t,则 sinαcosα= ∴l= 由 t=sinα+cosα= 又 ∴ 从而当 α= ≤α+ ≤ sin(α+ ,得 , = ) ,





,即 BE=25 时,lmin=50(

+1) ,

所以当 BE=AF=25 米时,铺路总费用最低,最低总费用为 200000( +1)元. 点评: 本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用,考查了利用数学知 识解决实际问题的能力,及推理运算的能力.

20. (16 分)如图,已知扇形周长 2+ π,面积为 (1)求∠AOB 的大小; (2)如图所示,当点 C 在以 O 为圆心的圆弧 xy 的最大值与最小值的和; (3)若点 C、D 在以 O 为圆心的圆上,且 值最大?并求出这个最大值. =

,且|

+

|=1.

上变动.若

=x

+y

,其中 x、y∈R,求

.问



的夹角 θ 取何值时,

?



考点: 平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义;弧度制的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)设扇形的半径为 r,∠AOB=θ.利用扇形面积计算公式与弧长公式可得

,解得即可;

(2)如图所示,建立直角坐标系.则 A(1,0) ,B

.设 C(cosα,

sinα).

.由于

=x

+y

,可得

,可得

xy=

+ ,即可得出最值. = ,可得 D(﹣cosα,﹣sinα) ,由(2)可得: ?(﹣cosα﹣1,﹣sinα)= ∈ ,当 = , ,取得最大值.此时 = ∈[﹣1, 1]. 可得 , ﹣ . ?

(3)设 C(cosα,sinα) ,由 ? =

由 α∈[0, 2π) , 可得 的最大值为

=

.再利用向量夹角公式可得 cosθ=

=

,即可得出.

解答: 解: (1)设扇形的半径为 r,∠AOB=θ. ∵扇形周长 2+ π,面积为 ,



,解得



∴∠AOB=



(2)如图所示,建立直角坐标系. 则 A(1,0) ,B ∵ =x +y , .设 C(cosα,sinα). .





解得



∴xy=

+

=

+

=

+ ,

∵ ∴

,∴ ∈ ,





∴xy∈[0,1]. ∴xy 的最大值与最小值的和为 1. (3)设 C(cosα,sinα) ,∵ 由(2)可得: = =﹣ = = ∵α∈[0,2π) , ∴ ∴ ∴ 此时 ∴ ? = = , = ∈ ∈[﹣1,1]. 的最大值为 ,当 , = , = = ,即 时,取得最大值. . = . , ﹣ . ﹣ ﹣ ? = ﹣ = ,∴D(﹣cosα,﹣sinα) , ?(﹣cosα﹣1,﹣sinα)

∴cosθ=

=

=



∴ ∴ 与

. 的夹角 θ= , ? 的值最大为 .

点评: 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、扇形的弧长与面积计算公式、三角函 数化简与计算,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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