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2011年高考数学北京卷(理)有答案


1

2011 年高考数学——北京卷(理)
一.选择题
2 1.已知集合 P ? { x | x ? 1} , M ? { a } .若 P ? M ? P ,则 a 的取值范围是 (



A. ( ? ? , ? 1] 2.复数 A. i
i?2 1 ? 2i ? (

B. [1, ? ? ) )

C. [ ? 1,1]

D. ( ? ? , ? 1] ? [1, ? ? )

B. ? i

C. ?

4 5

?

3 5

i

D. ?

4 5

?

3 5

i

3.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是 ( ) ? ? A. (1, ) B. (1, ? ) C. (1, 0)
2 2

D. (1, ? )

开始

i ? 0, s ? 2

4.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 ( A. ? 3 B. ?
1 2

) D. 2
i?4

s?

s ?1 s ?1

C.

1 3

i ? i ?1

输出s

结束

第4题

2

5.如图, A D , A E , B C 分别与圆 O 切于点 D , E , F ,延长 A F 与圆 O 交于另一点 G .给出下列三 个结论: ① AD ? AE ? AB ? BC ? CA ; ② AF ? AG ? AD ? AE ; E ③ △ AFB ∽ △ ADG . 其中正确结论的序号是 ( ) C O A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

G

F A B D
第5题

? c , x ? A, ? ? x 6.根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f ( x ) ? ? ( A ,c 为 c ? ,x ? A ? x ?

常数) ,已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟, 那么 c 和 A 的值分别是( ) A.75, 25 B.75, 16 C.60, 25

D.60,16 )

7.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( A.8 B. 6 2 C.10 D. 8 2

4

4 正(主)视图

3 侧(左)视图

俯视图

3

8.设 A (0, 0) , B ( 4, 0 ) , C ( t ? 4, 4) , D ( t , 4 ) ( t ? R ) .记 N ( t ) 为平行四边形 A B C D 内部(不含边界) 的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N ( t ) 的值域为 ( A. {9,10,11} B. {9,1 0,1 2} C. {9,11,12} D. {1 0,1 1,1 2} )

二.填空题
9.在 △ A B C 中,若 b ? 5 , ? B ?
? ?

?
4

, tan A ? 2 ,则 sin A ? _________; a ? ________.
?

10.已知向量 a ? ( 3 ,1) , b ? (0, ? 1) , c ? ( k , 3 ) .若 a ? 2 b 与 c 共线,则 k ? ______. 11 . 在 等 比 数 列 { a n } 中 , 若 a 1 ?
| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n | ?
1 2

?

?

?

, a4 ? ?4 , 则 公 比 q ?



. 个(用数字作答) .

12.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有

?2 x ? 2, ? , 13.已知函数 f ( x ) ? ? x 若关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围 3 ? ( x ? 1) , x ? 2 . ?




2

14.曲线 C 是平面内与两个定点 F1 ( ? 1, 0 ) 和 F2 (1, 0 ) 的距离的积等于常数 a ( a ? 1 )的点的轨迹,给出 下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则 △ F1 P F 2 的面积不大于 其中,所有正确结论的序号是
1 2 a .
2



三.解答题
15. (13 分)已知函数 f ( x ) ? 4 co s x sin ( x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [ ?
? ?
, 6 4 ] 上的最大值和最小值.

?
6

) ?1.

4

16. (14 分)如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, P A ? 平面 A B C D ,底面 A B C D 是菱形, A B ? 2 ,
? B A D ? 60 .
?

(1)求证 B D ? 平面 P A C ; (2)若 PA ? AB ,求 P B 与 A C 所成角的余弦值; (3)当平面 P B C 与平面 P D C 垂直时,求 P A 的长.

P

D A B C

17. (13 分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确 认,在图中以 X 表示. 甲组
9
1

乙组
0
1
X

9
1

8

9

0

(1)如果 X ? 8 ,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X ? 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数 学期望.

x

18. (13 分)已知函数 f ( x ) ? ( x ? k ) e k .
2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意的 x ? (0, ? ? ) ,都有 f ( x ) ?
1 e

,求 k 的取值范围.

5

19. (14 分)已知椭圆 G :

x

2

? y ? 1 ,过点 ( m , 0 ) 作圆 x ? y ? 1 的切线 l 交椭圆 G 于 A , B 两点.
2

2

2

4

(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | A B | 表示为 m 的函数,并求 | A B | 的最大值.

20. (13 分)若数列 A n : a1 , a 2 , ? , a n ( n ? 2 )满足 | a k ? 1 ? a k |? 1 ( k ? 1, 2, ? , n ? 1 ) ,则称 A n 为 E 数 列.记 S ( An ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n . (1)写出一个满足 a1 ? a 5 ? 0 ,且 S ( A5 ) ? 0 的 E 数列 A5 ; (2)若 a1 ? 1 2 , n ? 2000 .证明: E 数列 A n 是递增数列的充要条件是 a n ? 2 0 1 1 ; (3)对任意给定的整数 n ( n ? 2 ) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 A n ,使得 S ( An ) ? 0 ?若果存在,写出一 个满足条件的 E 数列 A n ;如果不存在,说明理由.

6

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