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2011年高考数学文科试卷(全国1卷-----含答案---新课标卷)


绝密★启用前

2011 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修+选 修 I)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 。

第Ⅰ卷
注意事项:

1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓 名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和 科目. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效. ......... 3.第Ⅰ卷共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
一、选择题

(1)设集合 U= ?1, 2 , 3, 4 ? , M
2 (A) ?1,?

? ?1, 2 , 3? , N ? ? 2 , 3, 4 ? , 则 ?( M I N ) = U

3 (B) ? 2,?

(C) ? 2, 4 ?

(D) ?1, 4 ?

【答案】D 【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】 Q (2)函数 y
M I N ? {2, 3} ,? ?U ( M I N ) ? {1, 4}
x ( x ? 0 ) 的反函数为
2 2

? 2

(A) y

?

x

(x ? R)

(B) y ?

x

( x ? 0)

4

4
2

(C) y ? 4 x
【答案】B

(x ? R)

(D) y ? 4 x

2

( x ? 0)

【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得 x
2

?

y

2

,又原函数的值域为 y

? 0 ,所以函数 y ? 2

x ( x ? 0)

4 x

的反函数为

y ?

( x ? 0) .

4

(3)设向量 a , b 满足 | a |? | b |? 1 , a ? b ? ?

? ?

?

?

r r

1 2

,则 a ? 2 b ?

?

?

-1-

(A) 2

(B) 3

(C) 5

(D) 7

【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法. 【解析】 | a ? 2 b | 2 ? | a | 2
r r r

r r r r ur 1 2 ? 4 a ? b ? 4| b | ? 1 ? 4 ? ( ? ) ? 4 ? 3 ,所以 a ? 2 b ? 2

3

?x ? y ? 6 ? (4)若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? -2 ,则 z = 2 x ? 3 y 的最小值为 ?x ? 1 ?

(A)17

(B)14

(C)5

(D)3

【答案】C 【命题意图】本题主要考查简单的线性规划. 【解析】 作出不等式组表示的可行域,从图中不难观察当直线 z = 2 x ? 3 y 过直线 x=1 与
x-3y=-2 的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为 5.

(5)下面四个条件中,使 a

?b

成立的充分而不必要的条件是

(A) a> b ? 1
【答案】A

(B) a> b ? 1

(C) a

2

>b

2

(D) a > b
3

3

【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质. 【解析】即寻找命题 P ,使 P
? a ?b

,且 a

? b

推不出 P ,逐项验证知可选 A.

(6)设 S n 为等差数列 ? a n ? 的前 n 项和, a 1 若

?1, 公差 d ? 2

,S

k?2

? S k ? 24

, k 则

?

(A)8

(B)7

(C)6

(D)5

【答案】D 【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一
S k ? 2 ? S k ? [( k ? 2 ) ? 1 ? ( k ? 2 )( k ? 1) 2 ? 2] ? [k ? 1 ? k ( k ? 1) 2 ? 2] ? 4k ? 4 ? 24

,解得 k

? 5

.

解法二:

S k ? 2 ? S k ? a k ? 2 ? a k ? 1 ? [1 ? ( k ? 1) ? 2 ] ? (1 ? k ? 2 ) ? 4 k ? 4 ? 2 4
f ( x ) ? co s ? x ( ? ? 0 )

,解得 k

?5

.

(7)设函数

,将 y ?

f (x)

的图像向右平移

?
3

个单位长度后,所

得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

(A)

1 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

【答案】C 【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.

-2-

【解析】由题意将 y
说明了
?
3

? f ( x ) 的图像向右平移

?
3

个单位长度后,所得的图像与原图像重合,
(k ? Z )

是此函数周期的整数倍,得

2?

?

?k ?

?
3

,解得 ?

? 6k

,又 ?

?0

,令 k

? 1 ,得

? m in ? 6

.
?l??

(8)已知直二面角 ? 足,若 A B
(A) 2

,点 A ? ? , A C

? l ,C

为垂足, B ? ? , B D
?

? l ,D

为垂
A

? 2, A C ? B D ? 1 ,则 C D ?

(B) 3

(C) 2

(D)1
l

【答案】C 【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形. 【解析】因为 ?
? BC ? 3
?l??

D C B

?

是直二面角,
2

A C ? l ,∴ A C ?

平面 ? ,?

AC ? BC

,又 B D

? l ,? C D ?

(9) 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有
(A) 12 种 (B) 24 种 (C) 30 种 (D)36 种

【答案】B 【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力. 【解析】第一步选出 2 人选修课程甲有 C 42
? 6 种方法,第二步安排剩余两人从乙、丙中各选

1 门课程有 2 ? 2 种选法,根据分步计数原理,有 6 ? 4 ? 2 4 种选法.

(10) 设

f ( x ) 是周期为

2 的奇函数,当 0 ?

x ? 1 时, f ( x ) ? 2 x (1 ? x ) ,则 f ( ?

5 2

)?

(A) -

1 2

(B) ?

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2

【答案】A 【命题意图】 本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把 通过周期性和奇偶性把自变量 ? 【解析】由
f (? 5 2 ) ? f (? 5 2
f (x)

5 2

转化到区间[0,1]上进行求值.

是周期为 2 的奇函数,利用周期性和奇偶性得:
1 1 1 1 1 ) ? ? f ( ) ? ? 2 ? ? (1 ? ) ? ? 2 2 2 2 2

? 2) ? f (?

(11)设两圆 C 1 、 C 2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,则两圆心的距离 C 1 C 2 = (A)4 (B) 4 2 (C)8 (D) 8 2

-3-

【答案】C 【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式. 【解析】 由题意知圆心在直线 y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为 ( a , a ) (a ?
a ? ( a ? 4 ) ? ( a ? 1)
2 2

0 ),则

, 即 a ? 10a ? 17 ? 0 , 所 以 由 两 点 间 的 距 离 公 式 可 求 出
2

C 1C 2 ?

2[( a 1 ? a 2 ) ? 4 a 1 a 2 ] ?
2

2 ? (1 0 0 ? 4 ? 1 7 ) ? 8 .

(12)已知平面α截一球面得圆 M
N

,过圆心 M

且与α成 6 0 二面角的平面β截该球面得圆
0

.若该球面的半径为 4,圆 M

的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为

(A)7 ?
【答案】D

(B)9 ?

(C)11 ?

(D)13 ?

【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质. 【解析】 如图所示,由圆 M 的面积为 4 ? 知球心 O 到圆 M 的距 离
OM ? 2 3
1 2 OM ?

, 在

Rt?OM N

中 ,
?
2

? O M N ? 30
2

?

,



ON ?

3 ,故圆 N
2

的半径 r

R ? ON

?

1 3 ,∴圆 N

的面积为 S

??r

? 1 3?

.

第Ⅱ卷
注意事项: 1 答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填 写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2 第Ⅱ卷共 2 页, 请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各 题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无 ........ 效。 . 3 第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横 线上.

(注意 :在试卷上作答无效) ........ (13) (1 ? x ) 的二项展开式中, x 的系数与 x 的系数之差为
10
9

.

【答案】0 【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质. 【解析】由 T r ? 1
? C 1 0 ( ? x ) ? ( ? 1) C 1 0 x
r r r r r

得 x 的系数为 ? 1 0 , x 9 的系数为 ? C 190

? ? 1 0 ,所

-4-

以 x 的系数与 x 9 的系数之差为 0. (14)已知 ? 【答案】 ?
? (? , 3? 2
5 5

) , tan ? ? 2

,则 co s ?

?

.

【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围,进而确定
值的符号.

【解析】 ?

? (? ,

3? 2

) , tan ? ? 2

,则 co s ?

? ?

5 5

.

(15)已知正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,E 为 C 1 D 1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦 值为 .
2 3

【答案】

【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线 AE 与 BC 所成的角. 【解析】 A1B1 的中点 M 连接 EM, AE, ? A E M 就是异面直线 AE 与 BC 所成的角。 ? A E M 取 AM, 则 在
中, c o s ? A E M ?
2 ?3 ?5
2 2

2?2?3

?

2 3

.

(16)已知 F1 、 F 2 分别为双曲线 C :

x

2

?

y

2

? 1 的左、右焦点,点 A ? C

,点 M 的坐

9

27
A F 2 |?

标为(2,0), A M 为 ? F1 A F 2 的平分线.则 | 【答案】6

.

【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理,双曲线的第一定义和性质. 【解析】 Q
AM

为 ? F1 A F 2 的平分线,∴

| A F2 | | A F1 |

?

| M F2 | | M F1 |

?

4 8

?

1 2

∴ | A F1 |? 2 | A F 2 |

又点 A ? C ,由双曲线的第一定义得 |

A F1 | ? | A F 2 | ? 2 | A F 2 | ? | A F 2 | ? | A F 2 | ? 2 a ? 6 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. (17)(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
设等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n .已知 a 2 ? 6 , 6 a 1 ? a 3 ? 3 0 , 求 a n 和 S n . 【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1 和公比 q 的方程,求出 a1 和 q,

-5-

然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可。 【解析】设 ? a n ? 的公比为 q,由题设得
a1 q ? 6 ? ? ? 6 a1 ? a1 q ? 3 0
? a1 ? 3 ?q ? 2 ? a1 ? 2 ?q ? 3
n ?1

…………………………………3 分

解得 ?

或?



…………………………………6 分
n

当 a1 ? 3, q ? 2 时, a n ? 3 ? 2 当 a1 ? 2, q ? 3 时, a n ? 2 ? 3

, S n ? 3 ? ( 2 ? 1) ; , Sn ? 3 ?1
n

n ?1

……………………………10 分

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? c sin C ? (Ⅰ)求 B;
0 (Ⅱ)若 A ? 7 5 , b ? 2 , 求 a, c .

2 a sin C ? b sin B .

【思路点拨】第(I)问由正弦定理把正弦转化为边,然后再利用余弦定理即可解决。 (II)在(I)问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解. 【解析】(I)由正弦定理得 a ? c ?
2 2
2 2 2

2ac ? b

2

…………………………3 分

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2 a c co s B .
2 2

故 cos B ?

,因此 B ? 4 5
? ?

?

.…………………………………6 分

(II) sin A ? sin (3 0 ? 4 5 )
? sin 3 0 co s 4 5 ? co s 3 0 sin 4 5
? ? ? ?

?

2 ? 4

6

…………………………………8 分
2 ? 2 6



a ? b?

s in A s in B

?

? 1?

3

c ? b?

s in C s in B

? 2?

s in 6 0 s in 4 5

? ?

?

6 .…………………………………12



(19)(本小题满 分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........

-6-

根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保 险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (II)求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率 及次独立重复试验发生 k 次的概率,考查考生分析问题、解决问题的能力.
【解析】记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险: B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。 C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I) P ( A ) ?

0 .5

,

P ( B ) ? 0 .3

,

C ? A?B

……………………………3 分 ……………………………6 分 ……………………………9 分 ……………………………12 分

P ( C ) ? P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? 0 .8

(II)D= C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, P(E)= C 3 ? 0 .2 ? 0 .8 ? 0 .3 8 4 .
2 2

(20)(本小题满 分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 如图,四棱锥 S ? A B C D 中, A B ∥ C D , B C ? C D ,侧面
S A B 为等边三角形. A B ? B C ? 2, C D ? S D ? 1 .

S

(I) (II)

证明: S D ? 平 面 S A B 求 AB 与平面 SBC 所成角的大小。

D

C

【分析】第(I)问的证明的突破口是利用等边三角形 SAB 这 个条件,找出 AB 的中点 E,连结 SE,DE,就做出了解决这个 问题的关键辅助线。

A S

B

(II)本题直接找线面角不易找出,要找到与 AB 平行的其 它线进行转移求解。

【命题意图】 以四棱锥为载体考查线面垂直证明和 线面角的计算,注重与平面几何的综合. 解法一:(Ⅰ)取 A B 中点 E ,连结 D E ,则四边形 B C D E 为 矩 形 , D E ? C B 2 , 连 结 SE , 则 ?

D F A E

H G B

C

-7-

SE ? AB

, SE

?
2

3

.
2 2

又 SD

? 1 ,故 E D

? SE ? SD

,

所以 ? D S E 为直角. 由
AB ? DE

………………3 分 , DE
I SE ? E

,

AB ? SE

,得

AB ?

平面 S D E ,所以 A B ? S D . S D 与两条相交直线 A B 、 S E 都垂直. 所以 S D ? 平面 S A B . 另解:由已知易求得 S D 理可得 S D (Ⅱ)由 A B 作 SF
? SB
?

………………6 分
2 2

? 1, A D ?
SB ? S

5 , S A ? 2 ,于是 S A ? S D
?

? AD

2

.可知 S D

? SA

,同

,又 S A I

.所以 S D
?

平面 S A B .

………………6 分

平面 S D E 知,平面 A B C D ,垂足为 F ,则 S F
?

平面 S D E .
? SD ? SE DE ? 3 2

? DE

平面 ABCD, S F

.

作 F G ? B C ,垂足为 G ,则 F G 连结 S G .则 S G ? B C . 又 BC 作 FH
FH ?
? FG , SG I FG ? G
? SG , H

? DC ? 1 .

,故 B C
?

?

平面 S F G ,平面 S B C

?

平面 S F G .……9 分

为垂足,则 F H
? 3 7

平面 S B C .
21 7 21 7 d EB 21 7 21 7

SF ? FG SG

,即 F 到平面 S B C 的距离为

.

由于 E D

/ / BC

,所以 E D

/ / 平面 S B C

, E 到平面 S B C 的距离 d 也为

.

设 A B 与平面 S B C 所成的角为 ? ,则 s in ?

?

?

,?

? a rc s in

.……12 分

解法二:以 C 为原点,射线 C D 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系
C ? xyz.

设 D (1, 0 , 0 ) ,则 A ( 2, 2, 0 ) 、 B (0 , 2 , 0 ) . 又设 S ( x , y , z ) ,则 x
uur
? 0, y ? 0, z ? 0

. ,

(Ⅰ) A S 由|

uur uuu r ? ( x ? 2, y ? 2, z ), B S ? ( x , y ? 2, z ), D S ? ( x ? 1, y , z )

uur uur A S |? | B S | 得
2 2 2

( x ? 2) ? ( y ? 2) ? z

?

x ? ( y ? 2) ? z
2 2

2

,

-8-

故x

?1. uuu r 由 | D S |? 1 得 y 2 ? z 2 ? 1 ,

又由 | B S 即 y2
2

uur

|? 2

得 x2

? ( y ? 2) ? z ? 4
2 2

,
3 2

? z ? 4 y ? 1 ? 0 ,故 y ?

1 2

,z ?

.

………………3 分

于是 S (1,

1 2

,

uur r 3 3 uur 3 3 uuu 1 3 ), A S ? ( ? 1, ? , ), B S ? (1, ? , ), D S ? (0 , , ) 2 2 2 2 2 2 2 3

,

uuu uur r uuu uur r D S ? A S ? 0, D S ? B S ? 0

. , ………………6 分 ,

故 DS

? AS , DS ? BS
?

,又 A S

I BS ? S

所以 S D

平面 S A B .

r (Ⅱ)设平面 S B C 的法向量 a ? ( m , n , p )

则a

r

uur r uur r uur r uur ? B S , a ? C B , a ? B S ? 0, a ? C B ? 0 .
3 2 3 2 uur ), C B ? ( 0 , 2 , 0 )

又 BS

uur

? (1, ?

,

,

? 3 3 p ? 0, ?m ? n ? 故? 2 2 ?2n ? 0 ?

………………9 分
uuu r

取p

? 2

得a

r

? (? 3 , 0, 2)

,又 A B
21 7

? ( ? 2, 0, 0 ),

uuu r r cos ? A B , a ? ?

uuu r r AB ? a uuu r r ? | AB | ? | a |

.

故 A B 与平面 S B C 所成的角为 a rc s in

21 7

.

………………12 分

(21)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? (3 ? 6 a ) x +1 2 a ? 4 ? a ? R ?
3 2

(Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 0 处 的 切 线 过 点 ( 2 , 2 ) ;

(Ⅱ)若

f ( x ) 在 x ? x 0 处 取 得 最 小 值 , x 0 ? 1 , 3 ) , a 的取值范围. ( 求

【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义,求出切线的斜率,然后易写出切线方程.

-9-

(II)第(II)问是含参问题,关键是抓住方程 f ? ( x ) ? 0 的判别式进行分类讨论.
2 解: (I) f ? ( x ) ? 3 x ? 6 a x ? 3 ? 6 a

.………………2 分

由 f (0 ) ? 1 2 a ? 4, f ?(0 ) ? 3 ? 6 a 得曲线 y ? f ( x ) 在 x=0 处的切线方程为
y ? (3 ? 6 a ) x ? 1 2 a ? 4

由此知曲线 y ? f ( x ) 在 x=0 处的切线过点(2,2)
2 (II)由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 2 a x ? 1 ? 2 a ? 0 .

.………………6 分

(i)当 ? 2 ? 1 ? a ? (ii)当 a ?
x1 ? ? a ?

2 ? 1 时, f ( x ) 没有极小值;

.………………8 分

2 ?1或a ? ?
2

2 ? 1 时,由 f ? ( x ) ? 0 得
a ? 2a ? 1
2

a ? 2 a ? 1, x2 ? ? a ?
2

故 x 0 ? x 2 .由题设知 1 ? ? a ? 当a ?

a ? 2a ? 1 ? 3 , a ? 2 a ? 1 ? 3 无解;
2

2 ? 1 时,不等式 1 ? ? a ?

当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ? a ? 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 ( ?
5 2 ,?

a ? 2a ? 1 ? 3 得?
2

5 2

? a ? ?

2 ?1

2 ? 1)

..………………12 分

(22)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x 斜率为 ? 的直线 l 与 C 交与 .
2

?

y

2

?1在 y

轴正半轴上的焦点,过 F 且

2

2

A

、 B 两点,点 P 满 足

uur uuu uuu r r r OA ? OB ? OP ? 0

(I)证明:点 P 在 C 上; (II)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ,证明: A 、 P 、 B 、 Q 四点在同一圆上. 【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、 点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。
【分析】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路,注意把 O A ? O B ? O P ? 0 . 用坐 标表示后求出 P 点的坐标,然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标也用 A、B 两点的横坐标表示
??? ? ??? ? ??? ?

- 10 -

出来.从而求出点 P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点 P 在 C 上;(II)此问题证明有两种思 路:思路一:关键是证明 ? A P B , ? A Q B 互补.通过证明这两个角的正切值互补即可,再求正 切值时要注意利用到角公式. 思路二: 根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上, 所以根据两条弦的垂直平分线的交 点找出圆心 N,然后证明 N 到四个点 A、B、P、Q 的距离相等即可.

【解析】(I) F ( 0 ,1) , l 的方程为 y
4x ? 2 2x ?1 ? 0 .
2

? ?

2 x ? 1 ,代入 x ?
2

y

2

? 1 并化简得

2

…………………………2 分

设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x 3 , y 3 ) , 则 x1
? 2 ? 4 2 2 6 , x2 ? 2 ? 4 6

,

x1 ? x 2 ?

, y1 ? y 2 ? ?

2 ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 1,

由题意得 x 3

? ? ( x1 ? x 2 ) ? ?

2 2

, y 3 ? ? ( y 1 ? y 2 ) ? ? 1,

所以点 P 的坐标为 ( ?

2 2 2 2

, ? 1) .

经验证点 P 的坐标 ( ?

, ? 1) 满足方程 x ?
2

y

2

? 1 ,故点 P

在椭圆 C 上 …6 分

2
2 2

(II)由 P

(?

2 2

, ? 1) 和题设知, Q (

,1) , P Q

的垂直平分线 l1 的方程为

y ? ?

2 2

x

.



设 A B 的中点为 M ,则 M

(

2 4

,

1 2

)

, A B 的垂直平分线 l 2 的方程为

y ?

2 2

x?

1 4

.



由①、②得 l1 、 l 2 的交点为 N ( ?

2 1 , ). 8 8
- 11 -

…………………………9 分

| N P |?

(?

2 2

?

2 8

) ? (?1 ?
2

1 8

)

2

?

3 11 8

,

| A B |?

1 ? (?

2 ) g| x 2 ? x1 | ?
2

3 2 2

,

| A M |?

3 2 4

,

| M N |?

(

2 4

?

2 8

) ?(
2

1 2

?

1 8

)

2

?

3 3 8

,

| N A |?

| AM | ? | M N | ?
2 2

3 11 8

,

故 又 所以

| N P ? | N A,| | | N P ? | N Q ,| | N A | ? | N B | , | | N A ? | N P | | N ? | | N ,Q | | ? B

由此知 A 、 P 、 B 、 Q 四点在以 N 为圆心, N A 为半径的圆上. ……………12 分
y 1 ? ( ? 1) k PA ? k PB 1 ? k PA k PB x1 ? ( ? 1? 2 ) 2 y 1 ? ( ? 1) 2 2 ? y 2 ? ( ? 1) x2 ? (? ? ) 2 y 2 ? ( ? 1) 2 2 ) 2

(II)法二: ta n ? A P B ?

?

x1 ? ( ?

) x2 ? (?

? 3 x1 x 2 ?

3( x 2 ? x1 ) 3 2 2 ( x1 ? x 2 ) ? 9 2

?

4 ( x 2 ? x1 ) 3

同理
y2 ? 1 kQB ? kQA 1 ? kQA kQB x2 ? 1? 2 ? y1 ? 1 x1 ? ( ? ? 2 ) 2 y1 ? 1 2 2 )

ta n ? A Q B ?

?

2 y2 ? 1 2 2

x2 ?

x1 ? ( ?

- 12 -

? 3 x1 x 2 ?

( x1 ? x 2 ) 2 2 ( x1 ? x 2 ) ? 1 2

? ?

4 ( x 2 ? x1 ) 3

所以 ? A P B , ? A Q B 互补, 因此 A、P、B、Q 四点在同一圆上。
【点评】本题涉及到平面向量,有一定的综合性和计算量,完成有难度. 首先出题位置和平时模拟几乎没有 变化,都保持全卷倒数第二道题的位置,这点考生非常适应的。相对来讲比较容易,是因为这道题最好特点 没有任何的未知参数,我们看这道题椭圆完全给出,直线过了椭圆焦点,并且斜率也给出,平时做题斜率不 给出,需要通过一定条件求出来,或者根本求不出来,这道题都给了,反而同学不知道怎么下手,让我求什 么不知道,给出马上给向量条件,出了两道证明题,这个跟平时做的不太一样,证明题结论给大家,需要大 家严谨推导出来,可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙,非常涉及解析几何本质的内容, 一个证明点在椭圆上的问题,还有一个疑问既然出现四点共圆,这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育 深层次的问题,让学生掌握解析几何的本质,而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题, 最后方法用代数方法研究几何的问题,什么是四点共圆?首先在同一个圆上,首先找到圆心,四个点找圆形 不好找,最简单的两个点怎么找?这是平时的知识,怎么找距离相等的点,一定在中垂线,两个中垂线交点 必然是圆心,找到圆心再距离四个点距离相等,这就是简单的计算问题.方法确定以后计算量其实比往年少.

- 13 -


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