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高中数学三角函数专题专项练习(非常好)


【三角函数疑难点拔】 一、 忽略隐含条件 例 3. 若 正解:

sin x

cos x 1
)

0 ,求 x 的取值范围。
) 2得 2k 2 x 4 4 2k 3 4 (k Z ) ∴ 2k

2 sin( x

4

1 ,由 sin( x

x

2k

4

2

(k

Z)

二、 忽视角的范围,盲目地套用正弦、余弦的有界性 例 4. 设 、 为锐角,且 +

120 1

,讨论函数

y

cos

2

cos
) 1

2

的最值。

错解

y

1

1 2 3 2

(cos 2

cos 2 )

cos( 1 2

) cos(

1 2

cos(

)

,可见,当

cos(

)

1

时,

y max cos(

;当

cos(

)

1 时, ymin )

。分析:由已知得

30

, 1 2

90

,∴

60

60

,则

1 2

)

1 ,∴当 cos(

1,即

60

时,

ymin

,最大值不存在。

三、 忽视应用均值不等式的条件

例 5. 求函数

y a
2 2

a

2 2

b
2

2 2

cos x b
2

sin x
(1 )

(a

b

0,0

x 4ab

) 2
( 2)

的最小值。

错解

y

2 ab sin x cos x

cos x

sin x

sin 2 x
y

4 ab(
2

0
2

sin 2 x
b (1 (a b)
2 2

1) ,∴当 sin 2 x
cot x )
2

1 时, y min
( a tan x
2 2 2

4ab
2

分析:在已知条件下, ( 1) 、 ( 2 )两处不能同时取等号。正解:

a (1 tan x ) a
2

a

2

b

2

b cot x ) ,

b

2

2ab

当且仅当

a tan x

b cot x ,即 tan x

b a

,时,

y min

(a b )

2

【经典题例】 例 4:已知 b 、 c 是实数,函数 f(x)= ( 1)求 f ( 1)的值;( 2)证明: c [ 思路 ]( 1 ) 令α = , 得

x2

bx

c 对任意 α 、β

R 有:

f (sin

)

0 , 且 f (2

cos )

0,

( 3 )设 f (sin 3;

) 的最大值为 0 , 因此 f (1) f ( 3) 5, c

10,求 f (x ) 。 (2 )证明:由已知, 当 0, ; c

f (1)

0, 令β =

, 得

f (1)

1

x

1 时, f ( x)

0,

2
当1

x

3 时, f ( x ) f ( 1)

0 , 通过数形结合的方法可得: 0, 联立方程组可得 b

0, 化简得

( 3)由上述可知, 3;

[-1 , 1] 是

f (x ) 的减区

间,那么

10, 又 f (1)

4 , 所以 f ( x)

x

2

5x

4
2 3 4 3

例 5:关于正弦曲线回答下述问题: ( 1)函数

y
y y

log 1 sin(
2

x 3 4

) 的单调递增区间是?
对称,则

[ 8k

x

8k

]k


Z;

( 2)若函数

sin 2 x sin( 3 x

a cos 2 x 的图象关于直线 x ) 的图象向右平移 4 8

8

a 的值是

1

( 3)把函数

个单位,再将图象上各点的横坐标扩大到原来的

3 倍(纵坐标不变) ,则所得

的函数解析式子是

y sin 2 x 1 sin x cos x
1

sin( x

) 8
x 值。



例 6:函数

f ( x)

, ( 1 )求 f(x) 的定义域;( 2 )求 f(x) 的最大值及对应的

[ 思路 ] (1 ) {x|x

2k

且x sin A cos
条 件
2

2k C 2
等 式

2

k
2

Z} A 2

(2) 设 t=sinx+cosx,

则 y=t-1 y max

2

1, x

2k 4

k

Z

例 7:在 Δ ABC中,已知

sin C cos
降 次

3 2


sin B ( 1 )求证: a、 b 、 c 成等差数列; ( 2)求角 sin A sin C 2 sin B a c 2b

B 的取值范围。 ( 2 )

[





]



1 )





a cos B
14 .设

2

c

2

(

a 2

c

)

2

3(a
3

2

2ac
cos x (0 , sin
,且

c ) 8ac
3

2

2ac

6ac 2 ac 8ac

1 , 2

∴……,得 B 的取值范围

(0,

3

]


x

sin

cos

0 ,则 x 的取值范围是
cos

( 0, 2]

19 .已知

2

) ,证明不存在实数 m

( 0,1) 能使等式 m

x +msin x =m(*) 成立;
能成立;

( 2 )试扩大

x 的取值范围,使对于实数 x 取值范围内,若取 m
tan( x 2 4 )

( 0,1) ,等式 (*) 3 3 ( 2 2 ,

( 3 )在扩大后的

, 求出使等式 (*) 成立的

x 值。

提示:可化为 最值问题典型错例 例 5. 求函数

m

1 ( 2) x

) ( 3) x

6

y

si n x 13 4 cos x
4 y sin 2 x
2

的最大值和最小值。

错解:原函数化为

si n x

9y

1 12

y

视了隐含条件

1 1 , y min 。剖析:若取 y ,所以 y max 12 12 12 2 |si n x| 1 。正解: 原函数化为 4 y si n x sin x 9 y
时 , 解 得

0 ,关于 sin x 的二次方程的判别式 1 1

( 1)

2

4

4y

9y

0 ,即

,将导致

12
0 ,当 y

sin x

0 时,解得

3 的错误结论,此题错在忽 2 si n x 0 ,满足 sin x 1
1 1 144 y 1
2



y

0

sin x

1

1 144 y 8y

2

, 又

sin x

R, |sin x| 1

, 则 有

0 1 144 y
2


1

8y

1 1

144 y 1

2

0 1 144 y 8y
2

,解得
1

1 13

y

1 13

,所以

ymax
难点

1 13

, y min

1 13

化简与求值

【例】已知

< β< α <

3 4

,cos( α -β )=
2

2
2

12 ,sin( α +β )= - 3 , 求 sin2 α 的值 _________. 13 5

[例 1]不查表求 sin 20° +cos 80 ° + 解法一: sin 20° +cos 80 ° +
2 2 2

3 cos20 ° cos80 °的值 .

1 1 (1+cos160 °)+ 3 sin 20 ° cos80 ° = (1 - cos40° )+ 3 sin20 ° cos80 ° 2 2 1 cos40 ° + 1 cos160 ° + 1 cos40 ° + 1 (cos120 ° cos40 ° - sin120 ° =1 - 3 sin20 ° cos(60 ° +20 ° )=1 - 2 2 2 2 1 cos40 ° - 1 cos40 ° - 3 sin40 ° + 3 sin40 ° - sin40 ° )+ 3 sin20 ° (cos60 ° cos20 ° - sin60 ° sin20 ° )=1 - 4 4 2 4 3 sin 20° 2 3 3 (1 - cos40 ° )= 1 =1 - cos40 °-
2

4 解法二:设 x=sin 20 ° +cos 80° + 3 sin20 ° cos80 °, y=cos 20 ° +sin 80°-
2 2 2 2

4

4

3 cos20 ° sin80 °,则

2

1 , - =- cos40 ° +cos160 ° + x y 3 sin100 °=- 2sin100 ° sin60 ° + 3 sin100 ° =0 2 1 1 ∴ x=y = ,即 x=sin 20° +cos 80 ° + 3 sin20 ° cos80 ° = . 4 4 1 的 值,并对此时的 值求 的最大值 . [例 2]关于 x 的函数 y =2cos x- 2acos x - (2 a+1) 的最小值为 f ( a) ,试确定满足 f ( a)= a a y 2 2 a 4a 2 及 cos ∈[- 1, 1 ]得: a 解:由 y=2(cos x - ) - x 2 2
x +y=1+1-

3 sin60 ° =
2

2

2

2

1

(a a2 2a 1 ( 2 (a
2

2) a 2)

f ( a)

2 1 4a

1 , ∴ 1- 4 = 1 ,∵ f ( a)= a 2) 2 2

a=

1 8

[ 2,+ ∞

) ,故-

a

2

- 2a- 1=

2

1 ,解得: =- 1 ,此时, a 2

y=2(cos x+

1 ) + 1 ,当 cos x=1 时,即 x =2kπ , k ∈ Z, y =5. 2 2
max 2

难点训练 1.( ★★★★★ ) 已知方程 x +4ax+3a+1=0( a> 1) 的两根均 tan α、tan β,且α ,β ∈ ( -

2 2
A.

,

) ,则 tan

的值是 (

)

2

1 2

B. - 2

C.

4 3

D.

1 或- 2

2 3 ) ,β ∈ (0 , ) , cos( α- )= 3 , sin( 3 +β )= 5 ,则 sin( α +β )=_________. 3. 设α ∈ ( , 4 4 4 4 5 4 13 2 sin 130 sin 100 ( 1 3 tan 370 ) 4. 不查表求值 : . 1 cos10 3 , ( 17 < < 7 ) ,求 sin 2 x 2 sin x 的值 . 5. 已知 cos( +x)= x 1 tan x 4 5 12 4
7. 扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60 °,四边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点 8. 已知 cos α +sin β = P 的位置,并求此最大面积 .
2

3 ,sin α +cos β的取值范围是 D, x ∈ D,求函数 y= log 1
2

2x 4x

3 10

的最小值,并求取得最小值时

x 的值 .

参考答案 难点磁场 解 法 一 : ∵ < β < α <

3 4

, ∴ 0 < α - β <

. π < α + β <

3 4

, ∴ sin(

α -

2
β )=

4 1 sin (
2

5 5 4 12 3 56 5 ,cos( α +β )= - 4 , β )cos( α +β )+cos( α- β )sin( α +β ) . 。解法二:∵ sin( α -β )= ( ) ( ) 13 5 13 5 65 13 5 72 sin2 α- sin2 β =2cos( α +β )sin( α -β )= - 40 ∴ sin2 α +sin2 β =2sin( α +β )cos( α- β )= - 65 65 1 72 40 56 ∴ sin2 α = ( ) 2 65 65 65
难点训练 一、1. 解析:∵ a> 1,tan α +tan β = - 4a<0 。tan α +tan β =3a+1> 0, 又 α、β∈ ( - , ) ∴ α、β ∈ ( - , θ ), 则

1 cos (

2

)

5 13

, cos(

)

)

4

. ∴ sin2 α =sin [ ( α - β )+( α + β ) ] =sin( α -

2
∈ ( - ,0),

2 2 tan ) 1 tan
2

2 2 2

2 4 , 整 理 得 3

2
2tan
2

tan tan 又 tan( α + β )= 1 tan tan 2 =0. 解得 tan 2

4a 1 ( 3a 1)

4 , 又 tan( 3

2

3 tan

2

=- 2. 答案: B

3

3. 解析: α ∈ (
sin( sin( cos[( cos( 即 sin( ) 4 5 ,

3 ), α - ∈ (0, 4 4 4 ,
( 0 , ). 4 4 3 ) )] ) sin( 4 ) sin( 3 4 ( 3 4 3 4 ) ( 3 4 ]

), 又 cos( α -

)=

3. 5
) 12 13 .

2
3 4 ) 5 13 , cos(

4
3 4

4

, ). sin(

)

sin[( ) (

2

答案:

56 65

4 3 ) cos( 4 4 56 ) 65

4

)

3 5

(

12 13

)

4 5

5 13

56 65

.

5.解 : cos( 4 又 17 12 sin 2 x 1 x
2

x) 7 4 ,

3 5 5 3

, sin 2 x x

cos 2 ( 4 2 , sin( x 2 sin x
2

x) )

7 25

. 4 5 cos x ) cos x sin x

三、 4. 答案: 2

4 sin x cos x 4 5

4

2 sin x tan x

2 sin x cos x 1 x) 7 25 ( 3 5

2 sin x (sin x cos x

sin 2 x sin( cos(

4 x)

)

28 75

4

7. 解:以 OA为 x 轴 . O为原点,建立平面直角坐标系,并设 | PS | =sin θ . 直线 OB的方程为 y=

P 的坐标为 (cos θ ,sin θ ) ,则

( 3 x,直线 PQ 的方程为 y =sin θ . 联立解之得 Q

3 sin θ; sin θ ) ,所以| | =cos θ- PQ 3
2

3 3

sin θ 。 于 是

=sin θ (cos θ - SPQRS

3 3

sin θ )=

3 3

(

3 sin θ cos θ - sin θ )=

3 3

(

3 2

sin2 θ -

3 sin(2 θ + ) - 3 . ∵ 0 < θ < , ∴ < 2 θ + < 5 1< π. ∴ 3 6 6 3 6 6 6 2 3 3 1 sin(2 θ + ) ≤ 1. ∴ sin(2 θ + )=1 时, PQRS 面积最大,且最大面积是 ,此时, θ = ,点 P 为 的中点, P( , ). 6 2 2 6 6 6 8. 解:设 u=sin α +cos β . 则 u +( 3 ) =(sin α +cos β ) +(cos α +sin β ) =2+2sin( α +β ) ≤ 4. ∴ u ≤ 1, - 1≤ u≤ 1. 即 D = [-
2 2 2 2 2

1 cos 2 )= 3 ( 3 sin2 θ + 1 cos2 θ - 1 )= 3 2 2 2 2

1,1



,

设 M 2x 4x

t=
3 10 4 t 2t t
2

2x
4

3
1 2t 4 t

, 1

∵ 2 8 .



1



x



1,



1



t



4 2 2 8

5 . x=

t

2

3 2

.

当且仅当 2t y min log 0.5

, 即t 2

2时 , M max log 0 .5 2

.

y

log 0.5 M 在 M

0时是减函数 , 3 2,x 1 2 .

8

log 0.5 8

5 时 此时 , t 2

2 , 2x

[ 提高训练 C 组 ] 一、选择题 5 已知

sin
A B C D 若 若 若 若

sin , , , ,

,那么下列命题成立的是( 是第一象限角,则 是第二象限角,则 是第三象限角,则 是第四象限角,则



cos tan cos tan

cos tan cos tan

二、填空题

1

已知角

的终边与函数

5 x 12 y

0, ( x

0 ) 决定的函数图象重合,

cos

1 tan

1 sin

的值为 _________

2 4

若 如果

是第三象限的角,

是第二象限的角,则

是第

象限的角 象限

tan

sin

0, 且 0

sin

cos

2 1, 那么

的终边在第 4

5

若集合

A

x|k

3

x

k

,k

Z



B

x| 2

x

2

,则

A

B =_______________________

三、解答题 1 角 的终边上的点

P 与 A ( a , b) 关于 x 轴对称 ( a
1 cos sin


0, b

0 ) ,角

的终边上的点

Q 与 A 关于直线 y

x 对称,求

sin cos
求1

tan tan
sin
6 4

3

cos cos

6

的值
4

1 sin
参考答案 一、选择题

5 D 画出单位圆中的三角函数线 二、填空题 1 2

77 13
一、或三

在角 2 k1

的终边上取点 2 k1

P ( 12,5), r
3 2 ,( k 1

13,cos
2 2

12 13
2k 2

, tan
,( k 2

5 12

,sin
k2 )

5 13
4 2 (k1 k2 ) 2

Z ), 2k 2

Z ), (k1

4



tan sin

sin

2

cos
b a
2

0,cos

0,sin

0
a a
2

三、解答题 1 解:
P (a , b),sin b
2

,cos a

a
2

b

2

, tan
2

b a
2

Q (b , a ),sin

b

2

,cos

b a
2

b

2

, tan

a b

sin cos
3 解: 1 sin

tan tan
6 4

1 cos sin cos 4 cos
6

1
2

b a

2 2

a
2

b a
2

0
4 2 2

1 (sin

1 sin
【练习】 一 1

cos )(sin sin cos 2 2 1 (1 2sin cos )


cos

4

)

1 (1 3sin 1 (1 2sin

2 2

cos cos

2 2

) )

3 2

选 的 值 域 C. 是 [0,2] (

择 ) D.[0,1]

、 A.

函 [ -

数 1 ,

1]

B.[-2,2]

5











3 、 已 知 f ( x ) = asinx - bcosx 且 x =

为 f ( x) 的 一条 对称 轴, 则 a: b 的 值为

.

4 、 若 函 数 答 一 1 、选 B. 、 案 选 与 择 解 题 析 :

,当 x ≥ 0 时,- 2 ≤ 2sinx ≤ 2 即- 2≤ y ≤ 2;当 x<0 时, y = 0 包含于 [ - 2, 2]. 于是可知所求函数

值域为 [ - 2, 2] ,故应选 B.

5、选 C. 解析:由 f(x) 在区间 [ -



] 上递增及 f ( x )为奇函数,知

f(x) 在区间 [ -



]































f



x











期. 5

,应选











3、答案: a: b =- 1。解析:由题设得

,又 x =

为 f ( x )的一条对称轴,∴

当 x=

时 f(x) 取得最值 ,∴

即 , ∴ a:b= - 1 。

4、答案:

,解析:

,∴由

① , 注

意 到

, 由① 得:

② , 再注 意到 当 且仅当













6


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