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2017年暑假高二课程--直线与圆方程

2017 年高三总复习课程
专题四 直线与圆方程

[题型分析· 高考展望] 直线与圆是解析几何的基础, 在高考中, 除对本部分知识单独考查外, 更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时,一般为选择题、填 空题,难度不大,属低中档题.直线的方程,圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本 部分的重点.

体验高考
1.(2015· 广东)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 2.(2015· 课标全国Ⅱ)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M、N 两点,则|MN| 等于( ) )

A.2 6 B.8C.4 6 D.10 3.(2016· 课标全国甲)圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a 等于( )

4 3 A.- B.- C. 3 D.2 3 4 4. (2016· 上海)已知平行直线 l1: 2x+y-1=0, l2: 2x+y+1=0, 则 l1, l2 的距离为________. 5.(2016· 课标全国丙)已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若|AB|=2 3,则|CD|=________.

高考必会题型
题型一 直线方程的求法与应用 例1 (1)若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点, 则弦 MN 所在直线的方程为( B.x-2y+1=0C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 ) )

A.2x+y-3=0

(2)直线 l 过点(2,2),且点(5,1)到直线 l 的距离为 10,则直线 l 的方程是( A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0

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变式训练 1 已知直线 l 经过直线 3x+4y-2=0 与直线 2x+y+2=0 的交点 P,且垂直于直 线 x-2y-1=0. (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 关于原点 O 对称的直线方程.

题型二 圆的方程 例2 (1)(2015· 湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B

在 A 的上方),且|AB|=2. ①圆 C 的标准方程为________________. ②圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为________.

(2)已知圆 C 经过点 A(2,-1),并且圆心在直线 l1:y=-2x 上,且该圆与直线 l2:y=-x +1 相切. ①求圆 C 的方程; 5? ②求以圆 C 内一点 B? ?2,-2?为中点的弦所在直线 l3 的方程.

2

变式训练 2 已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90° ,求线段 PQ 中点的轨迹方程.

题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题 例3 (1)(2015· 重庆)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称 )

轴,过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|等于( A.2 B.4 2C.6 D.2 10

(2)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0. ①写出圆 C 的标准方程,并指出圆心坐标和半径大小; ②是否存在斜率为 1 的直线 m, 使 m 被圆 C 截得的弦为 AB, 且 OA⊥OB(O 为坐标原点). 若 存在,求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

2 变式训练 3 已知以点 C(t, )(t∈R, t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A, 与 y 轴交于点 O, t B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程.

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高考题型精练
1.已知 x,y 满足 x+2y-5=0,则(x-1)2+(y-1)2 的最小值为( 4 2 2 5 A. B. C. 5 5 5 D. 10 5 )

2.“m=3”是“直线 l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0 与直线 l2:(m-3)x+2y-5=0 垂 直”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到 原点的距离的最小值为( A.3 2 B.2 2C.3 3 ) D.4 2

4.(2016· 山东)已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2,则 圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 → 5.已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有|OA 3→ → +OB|≥ |AB|,那么 k 的取值范围是( 3 A.( 3,+∞) ) D.[ 3,2 2) )

B.[ 2,+∞)C.[ 2,2 2)

6.(2015· 课标全国Ⅱ)已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的圆心到原 点的距离为( )

5 21 2 5 4 A. B. C. D. 3 3 3 3 7. (2016· 山东)在[-1,1]上随机地取一个数 k, 则事件“直线 y=kx 与圆(x-5)2+y2=9 相交” 发生的概率为________. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少 存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有三个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的值为________. 10.已知直线 l 过点(-2,0),当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围 是________________.

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11.已知过点 A(0,1),且方向向量为 a=(1,k)的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 相交于 M,N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; → → (2)若 O 为坐标原点,且OM· ON=12,求 k 的值.

12.已知圆 M∶x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1)若 Q(1,0),求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 面积的最小值; (3)若|AB|= 4 2 ,求直线 MQ 的方程. 3

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直线与圆 一、选择题 1.直线 l 过点(-1,2),且与直线 2x-3y-1=0 垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0
2 2

)

2.设向量 a=(a,1),b=(1,b)(ab≠0),若 a⊥b,则直线 b x+y=0 与直线 x-a y=0 的 位置关系是( A.平行 C.相交但不垂直
2 2

) B.相交且垂直 D.重合
2 2

3.已知圆 C1:(x-a) +(y+2) =4 与圆 C2:(x+b) +(y+2) =1 相外切,则 ab 的最大值 为( A. ) 6 2 3 B. 2 9 C. 4 D.2 3
2 2

4.已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,

a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=(
A.2 B.4 2 C.6 D.2 10

)

5.(2016?湖北武汉模拟)设定点 A(3,1),B 是 x 轴上的动点,C 是直线 y=x 上的动点,则 △ABC 周长的最小值是( A.3 5 B. 6 ) D. 10

C.2 5

6.已知圆的方程为(x-1) +(y-1) =9,点 P(2,2)是该圆内一点,过点 P 的最长弦和最短 弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积是( A.3 5 C.5 7 ) B.4 5 D.6 7

2

2

二、填空题 7.(2016?湖南四校联考)已知点 A(-1,0),过点 A 可作圆 x +y +mx+1=0 的两条切线, 则 m 的取值范围是________. 8.(2016?黑龙江哈尔滨六中模拟)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等的四段弧,则 a +b =________. 9.(2016?河北衡水中学调研)已知圆 C:(x-3) +(y-4) =1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m >0),若圆上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的取值范围是________.
2 2 2 2 2 2 2 2

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三、解答题 11.已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
2 2

12.已知圆 M 的方程为 x +y -2x-2y-6=0.以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴交于 E, F 两点, 圆 O 内有一动点 D, 使得|DE|, |DO|, |DF|成等比数列, → → 求DE?DF的取值范围.

2

2

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名校模拟 1.(2016?湖南衡阳八中模拟)将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线方程是( A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 2.(2016?云南师大附中模拟)已知圆 C 过坐标原点,面积为 2π ,且与直线 l:x-y+2=0 相切,则圆 C 的方程是(
2 2 2 2

)

)

A.(x+1) +(y+1) =2 B.(x-1) +(y-1) =2 或(x+1) +(y-1) =2 C.(x-1) +(y-1) =2 或(x+1) +(y+1) =2 D.(x-1) +(y-1) =2 3.(2016?江西南昌模拟)已知圆 C 经过点 A(2,-1)和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y =-2x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)已知直线 l 经过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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2017 年暑假高二课程
专题四 直线与圆方程

[题型分析· 高考展望] 直线与圆是解析几何的基础, 在高考中, 除对本部分知识单独考查外, 更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时,一般为选择题、填 空题,难度不大,属低中档题.直线的方程,圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本 部分的重点.

体验高考
1.(2015· 广东)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 答案 A |0+0+c| 解析 设所求直线方程为 2x+y+c=0,依题意有 2 = 5,解得 c=± 5, 2 +12 所以所求直线方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0, 故选 A. 2.(2015· 课标全国Ⅱ)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M、N 两点,则|MN| 等于( ) )

A.2 6 B.8C.4 6 D.10 → → 答案 C 解析 由已知,得AB=(3,-1),BC=(-3,-9), → → → → 则AB· BC=3?(-3)+(-1)?(-9)=0,所以AB⊥BC,即 AB⊥BC, 故过三点 A,B,C 的圆以 AC 为直径,得其方程为(x-1)2+(y+2)2=25, 令 x=0 得(y+2)2=24,解得 y1=-2-2 6,y2=-2+2 6, 所以|MN|=|y1-y2|=4 6,选 C. 3.(2016· 课标全国甲)圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a 等于( )

4 3 A.- B.- C. 3 D.2 3 4 答案 A 解析 由圆的方程 x2+y2-2x-8y+13=0 得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得 d |1?a+4-1| 4 = =1,解之得 a=- . 2 3 1+a
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4. (2016· 上海)已知平行直线 l1: 2x+y-1=0, l2: 2x+y+1=0, 则 l1, l2 的距离为________. 答案 |1+1| 2 5 2 5 解析 d= 2 = . 2 5 5 2 +1

6.(2016· 课标全国丙)已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若|AB|=2 3,则|CD|=________. 答案 4 解析 设 AB 的中点为 M,由题意知, 圆的半径 R=2 3,|AB|=2 3,所以|OM|=3,解得 m=- 3 , 3

?x- 3y+6=0, 由? 2 2 解得 A(-3, 3),B(0,2 3), ?x +y =12
则 AC 的直线方程为 y- 3=- 3(x+3),BD 的直线方程为 y-2 3=- 3x, 令 y=0,解得 C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4.

高考必会题型
题型一 直线方程的求法与应用 例1 (1)若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点, 则弦 MN 所在直线的方程为( B.x-2y+1=0C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 ) )

A.2x+y-3=0

(2)直线 l 过点(2,2),且点(5,1)到直线 l 的距离为 10,则直线 l 的方程是( A.3x+y+4=0 答案 (1)D (2)C 1 解析 (1)由题意知圆心 C(3,0),kCP=- . 2 由 kCP· kMN=-1,得 kMN=2, 所以弦 MN 所在直线的方程是 2x-y-1=0. B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0

|5k-1+2-2k| (2)由已知, 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-2), 即 kx-y+2-2k=0, 所以 = 10, k2+?-1?2 解得 k=3,所以直线 l 的方程为 3x-y-4=0,故选 C. 变式训练 1 已知直线 l 经过直线 3x+4y-2=0 与直线 2x+y+2=0 的交点 P,且垂直于直 线 x-2y-1=0. (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 关于原点 O 对称的直线方程.
? ? ?3x+4y-2=0, ?x=-2, 解 (1)由? 解得? ?2x+y+2=0 ?y=2. ? ?

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1 1 1 所以点 P 的坐标是(-2,2),又因为直线 x-2y-1=0,即 y= x- 的斜率为 k′= , 2 2 2 1 由直线 l 与 x-2y-1=0 垂直可得 kl=- =-2, k′ 故直线 l 的方程为:y-2=-2(x+2),即 2x+y+2=0. (2)直线 l 的方程 2x+y+2=0 在 x 轴、y 轴上的截距分别是-1 与-2, 则直线 l 关于原点对称的直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 1 与 2, x y 所求直线方程为 + =1,即 2x+y-2=0. 1 2 题型二 圆的方程 例2 (1)(2015· 湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B

在 A 的上方),且|AB|=2. ①圆 C 的标准方程为________________. ②圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为________.

答案 ①(x-1)2+(y- 2)2=2

②- 2-1

解析 ①由题意,设圆心 C(1,r)(r 为圆 C 的半径), |AB|?2 2 则 r2=? ? 2 ? +1 =2,解得 r= 2. 所以圆 C 的方程为(x-1)2+(y- 2)2=2. ②方法一 令 x=0,得 y= 2± 1,所以点 B(0, 2+1).又点 C(1, 2),所以直线 BC 的斜

率为 kBC=-1,所以过点 B 的切线方程为 y-( 2+1)=x-0,即 y=x+( 2+1). 令 y=0,得切线在 x 轴上的截距为- 2-1. 方法二 令 x=0,得 y= 2± 1,所以点 B(0, 2+1).又点 C(1, 2),设过点 B 的切线方 程为 y-( 2+1)=kx, 即 kx-y+( 2+1)=0.由题意,得圆心 C(1, 2)到直线 kx-y+( 2+ |k- 2+ 2+1| 1)=0 的距离 d= =r= 2,解得 k=1.故切线方程为 x-y+( 2+1)=0.令 y k2+1 =0,得切线在 x 轴上的截距为- 2-1.

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(2)已知圆 C 经过点 A(2,-1),并且圆心在直线 l1:y=-2x 上,且该圆与直线 l2:y=-x +1 相切. ①求圆 C 的方程; 5? ②求以圆 C 内一点 B? ?2,-2?为中点的弦所在直线 l3 的方程. 解 ①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

? ?b=-2a, 则? |a+b-1| ? ? 2 =r,

?2-a?2+?-1-b?2=r2,

?a=1, ? 解得?b=-2, ? ?r= 2.

故圆 C 的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. ②由①知圆心 C 的坐标为(1,-2), 5 - -?-2? 2 1 则 kCB= =- .设直线 l3 的斜率为 k3, 由 k3· kCB=-1, 可得 k3=2.故直线 l3 的方程 2 2-1 5 为 y+ = 2 2(x-2),即 4x-2y-13=0. 点评 求圆的方程的两种方法 (1)几何法:通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方 程. (2)代数法:用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数. 变式训练 2 已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90° ,求线段 PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设 AP 的中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x-2,2y). 因为 P 点在圆 x2+y2=4 上, 所以(2x-2)2+(2y)2=4, 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y),连接 BN. 在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|. 设 O 为坐标原点,连接 ON,则 ON⊥PQ, 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以 x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
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故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0.

题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题 例3 (1)(2015· 重庆)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称 )

轴,过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|等于( A.2 答案 C 解析 根据直线与圆的位置关系求解. 由于直线 x+ay-1=0 是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴, ∴圆心 C(2,1)在直线 x+ay-1=0 上, ∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1). ∴|AC|2=36+4=40.又 r=2,∴|AB|2=40-4=36.∴|AB|=6. (2)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0. ①写出圆 C 的标准方程,并指出圆心坐标和半径大小; B.4 2C.6 D.2 10

②是否存在斜率为 1 的直线 m, 使 m 被圆 C 截得的弦为 AB, 且 OA⊥OB(O 为坐标原点). 若 存在,求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)圆 C 的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9, 则圆心 C 的坐标为(1,-2),半径为 3. (2)假设存在这样的直线 m, 根据题意可设直线 m:y=x+b.
2 2 ? ?x +y -2x+4y-4=0, ? 联立直线与圆的方程 ?y=x+b ?

得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 因为直线与圆相交,所以 Δ>0, 即 b2+6b-9<0, 且满足 x1+x2=-b-1,x1x2= 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1=x1+b,y2=x2+b, → → 由 OA⊥OB 得OA· OB=x1x2+y1y2=0, 所以 x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, 即 b2+3b-4=0 得 b=-4 或 b=1, 且均满足 b2+6b-9<0, 故所求的直线 m 存在, b2+4b-4 , 2

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方程为 y=x-4 或 y=x+1. 2 变式训练 3 已知以点 C(t, )(t∈R, t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A, 与 y 轴交于点 O, t B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 4 (1)证明 ∵圆 C 过原点 O,且|OC|2=t2+ 2. t 2 4 ∴圆 C 的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ 2, t t 4 令 x=0,得 y1=0,y2= ; t 令 y=0,得 x1=0,x2=2t, 1 1 4 ∴S△OAB= |OA|· |OB|= ?| |?|2t|=4, 2 2 t 即△OAB 的面积为定值. (2)解 ∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|, ∴OC 垂直平分线段 MN. 1 ∵kMN=-2,∴kOC= . 2 2 1 ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),|OC|= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时, 圆心 C 的坐标为(-2,-1),|OC|= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 9 > 5. 5 1 < 5, 5

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高考题型精练
1.已知 x,y 满足 x+2y-5=0,则(x-1)2+(y-1)2 的最小值为( 4 2 2 5 A. B. C. 5 5 5 答案 A 解析 (x-1)2+(y-1)2 表示点 P(x,y)到点 Q(1,1)的距离的平方.由已知可得点 P 在直线 l: x+2y-5=0 上,所以|PQ|的最小值为点 Q 到直线 l 的距离, |1+2?1-5| 2 5 4 即 d= = ,所以(x-1)2+(y-1)2 的最小值为 d2= .故选 A. 2 5 5 1+2 2.“m=3”是“直线 l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0 与直线 l2:(m-3)x+2y-5=0 垂 直”的( ) D. 10 5 )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 l1⊥l2 得 2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0, ∴m=3 或 m=-2.∴m=3 是 l1⊥l2 的充分不必要条件. 3.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到 原点的距离的最小值为( A.3 2 B.2 2C.3 3 答案 A 解析 依题意知 AB 的中点 M 的集合是与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 的距离都 相等的直线, 则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离, 设点 M 所在直线的方程为 l:x+y+m=0, 根据平行线间的距离公式得 |m+7| |m+5| = ?|m+7|=|m+5|?m=-6,即 l:x+y-6=0, 2 2 ) D.4 2

|-6| 根据点到直线的距离公式,得 M 到原点的距离的最小值为 =3 2. 2 4.(2016· 山东)已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2,则 圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 答案 B 解析 ∵圆 M:x2+(y-a)2=a2, ∴圆心坐标为 M(0,a),半径 r1=a,
15

)

圆心 M 到直线 x+y=0 的距离 d= ∴M(0,2),r1=2.

|a| |a| ,由几何知识得? ?2+( 2)2=a2,解得 a=2. ? 2? 2

又圆 N 的圆心坐标 N(1,1),半径 r2=1, ∴|MN|= ?1-0?2+?1-2?2= 2,r1+r2=3,r1-r2=1. ∴r1-r2<|MN|<r1+r2,∴两圆相交,故选 B. → 5.已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有|OA 3→ → +OB|≥ |AB|,那么 k 的取值范围是( 3 A.( 3,+∞) 答案 C 3→ → → 解析 当|OA+OB|= |AB|时,O,A,B 三点为等腰三角形的三个 3 顶点,其中|OA|=|OB|,∠AOB=120° ,从而圆心 O 到直线 x+y-k 3→ → → =0(k>0)的距离为 1,此时 k= 2;当 k> 2时,|OA+OB|> |AB|, 3 又直线与圆 x2+y2=4 存在两交点,故 k<2 2,综上,k 的取值范围 是[ 2,2 2),故选 C. 6.(2015· 课标全国Ⅱ)已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的圆心到原 点的距离为( ) ) D.[ 3,2 2)

B.[ 2,+∞)C.[ 2,2 2)

5 21 2 5 4 A. B. C. D. 3 3 3 3 答案 B 解析 由点 B(0, 3),C(2, 3),得线段 BC 的垂直平分线方程为 x=1,① 由点 A(1,0),B(0, 3),得线段 AB 的垂直平分线方程为 y- 1 2 3 3 x- ?,②联立①②,解得△ABC 外接圆的圆心坐标为?1, 3?, = ? ? 3 ? 2 3 ? 2? 2 ?2 21 12+? ?3 3? = 3 .故选 B.

其到原点的距离为

7. (2016· 山东)在[-1,1]上随机地取一个数 k, 则事件“直线 y=kx 与圆(x-5)2+y2=9 相交” 发生的概率为________. 答案 3 解析 由已知得,圆心(5,0)到直线 y=kx 的距离小于半径, 4

3 ? 3? - - 4 ? 4? 3 |5k| 3 3 ∴ 2 <3,解得- <k< ,由几何概型得 P= = . 4 4 1-?-1? 4 k +1 8.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少
16

存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 答案 4 3

解析 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2,即 4 4 得 3k2-4k≤0.解得 0≤k≤ .故 k 的最大值是 . 3 3 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有三个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的值为________. 答案 ± 13 |c| |c| 解析 因为圆心到直线 12x-5y+c=0 的距离为 ,所以由题意得 =1,c=± 13. 13 13 10.已知直线 l 过点(-2,0),当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围 是________________. 答案 (- 2 2 , ) 4 4 |4k-2| ≤2.整理, k2+1

解析 因为已知直线过点(-2,0), 那么圆的方程 x2+y2=2x 配方为(x-1)2+y2=1, 表示的是圆心为(1,0),半径为 1 的圆, 设过点(-2,0)的直线的斜率为 k, 则直线方程为 y=k(x+2), 则点到直线距离等于圆的半径 1, |k-0+2k| 有 d= =1,化简得 8k2=1, k2+1 2 所以 k=± , 4 然后可知此时有一个交点, 那么当满足题意的时候, 可知斜率的取值范围是(- 故答案为(- 2 2 , ). 4 4 2 2 , ), 4 4

11.已知过点 A(0,1),且方向向量为 a=(1,k)的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 相交于

17

M,N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; → → (2)若 O 为坐标原点,且OM· ON=12,求 k 的值. 解 (1)∵直线 l 过点 A(0,1)且方向向量为 a=(1,k), |2k-3+1| 4- 7 4+ 7 ∴直线 l 的方程为 y=kx+1.由 <1,得 <k< . 2 3 3 k +1 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2), 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0, 4?1+k? 7 → → ∴x1+x2= ,x1x2= ,∴OM· ON=x1x2+y1y2 1+k2 1+k2 4k?1+k? =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1= +8=12, 1+k2 4k?1+k? ∴ =4,解得 k=1. 1+k2 12.已知圆 M∶x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1)若 Q(1,0),求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 面积的最小值; (3)若|AB|= 4 2 ,求直线 MQ 的方程. 3

解 (1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1, 则圆心 M 到切线的距离为 1,∴ |2m+1|
2

4 =1,∴m=- 或 0, 3 m +1

∴切线 QA,QB 的方程分别为 3x+4y-3=0 和 x=1. (2)∵MA⊥AQ, ∴S 四边形 MAQB=|MA|· |QA|=|QA|= |MQ|2-|MA|2= |MQ|2-1≥ |MO|2-1= 3. ∴四边形 QAMB 面积的最小值为 3. (3)设 AB 与 MQ 交于点 P,则 MP⊥AB. ∵MB⊥BQ,∴|MP|= 2 2?2 1 1-? = . ? 3 ? 3

1 在 Rt△MBQ 中,|MB|2=|MP|· |MQ|,即 1= |MQ|,∴|MQ|=3. 3 设 Q(x,0),则 x2+22=9,∴x=± 5,∴Q(± 5,0), ∴直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0.

直线与圆 一、选择题
18

1.直线 l 过点(-1,2),且与直线 2x-3y-1=0 垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0

)

3 答案:A 解析:解法一:由题意可得,l 的斜率为- ,所以直线 l 的方程为 y-2=- 2 3 (x+1),即 3x+2y-1=0. 2 解法二:设直线 l 的方程为 3x+2y+C=0,将点(-1,2)代入,得 C=-1,所以 l 的方 程是 3x+2y-1=0. 2.设向量 a=(a,1),b=(1,b)(ab≠0),若 a⊥b,则直线 b x+y=0 与直线 x-a y=0 的 位置关系是( A.平行 C.相交但不垂直 ) B.相交且垂直 D.重合
2 2

答案:B 解析:由题意知,两直线都经过点(0,0). ∵a⊥b,∴a?b=a+b=0,∴a=-b, 由于直线 b x+y=0 的斜率为-b , 1 1 2 2 直线 x-a y=0 的斜率为 2,则(-b )? 2=-1,
2 2

a

a

故两直线垂直. 3.已知圆 C1:(x-a) +(y+2) =4 与圆 C2:(x+b) +(y+2) =1 相外切,则 ab 的最大值 为( A. ) 6 2 3 B. 2 9 C. 4 D.2 3
2 2 2 2 2 2 2

答案:C 解析:由两圆外切,得 ?a+b? +?-2+2? =2+1,即(a+b) =9,∴

ab≤?

?a+b?2=9. ? ? 2 ? 4
2 2

4.已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,

a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=(
A.2 B.4 2 C.6 D.2 10

)

答案:C 解析:由于直线 x+ay-1=0 是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴,∴圆 心 C(2,1)在直线 x+ay-1=0 上,∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1),∴|AC| =36 +4=40.又 r=2,∴|AB| =40-4=36,∴|AB|=6.
2 2

2

2

5.(2016?湖北武汉模拟)设定点 A(3,1),B 是 x 轴上的动点,C 是直线 y=x 上的动点,则 △ABC 周长的最小值是( )

19

A.3 5

B. 6

C.2 5

D. 10

答案: C 解析: 设点 P, Q 分别为点 A 关于直线 y=x 和 x 轴的对称点, 则 P(1,3), Q(3, -1), 根据对称性知△ABC 的周长为 L=|AB|+|BC|+|CA|=|QB|+|BC|+|PC|, 则当 P, B,

C , Q 在 同 一 直 线 上 时 , △ ABC 的 周 长 L 取 得 最 小 值 , 其 最 小 值 为 L = |PQ| =
?1-3? +?3+1? =2 5,故选 C.
2 2

6.已知圆的方程为(x-1) +(y-1) =9,点 P(2,2)是该圆内一点,过点 P 的最长弦和最短 弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积是( A.3 5 C.5 7 ) B.4 5 D.6 7

2

2

答案:D 解析:依题意,圆的最长弦为直径,最短弦为过点 P 垂直于直径的弦,所以 |AC| = 2 ? 3 = 6. 因 为 圆 心 到 BD 的 距 离 为 ?2-1? +?2-1? = 2 , 所 以 |BD| = 1 1 2 2 2 3 -? 2? =2 7.则四边形 ABCD 的面积为 S= ?|AC|?|BD|= ?6?2 7=6 7.故选 2 2 D. 二、填空题 7.(2016?湖南四校联考)已知点 A(-1,0),过点 A 可作圆 x +y +mx+1=0 的两条切线, 则 m 的取值范围是________. 答案:(-∞,-2) 解析:点 A(-1,0)在圆外,∴1-m+1>0,∴m<2.又∵?x+ ? ? 2? +y = -1 表示圆, 4 ∴ -1>0,∴m>2 或 m<-2,∴m<-2. 4 8.(2016?黑龙江哈尔滨六中模拟)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等的四段弧,则 a +b =________.
20
2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

m?2

m2

m2

答案:2 解析:由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周 1 |a| |b| 2 2 2 的 ,∴ = = ,∴a +b =2. 4 2 2 2 9.(2016?河北衡水中学调研)已知圆 C:(x-3) +(y-4) =1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m >0),若圆上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的取值范围是________. 答案:[4,6] 解析:由已知,以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点,AB 中点为原点,|AB| =2m, 则|m-1|≤ ?0-3? +?0-4? ≤m+1,解得 4≤m≤6. 10.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方), 且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为____________________; (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为________.
2 2 2 2

答案:(1)(x-1) +(y- 2) =2

2

2

(2)- 2-1

解析:(1)取 AB 的中点 D,连接 CD,则 CD⊥AB. 由题意|AD|=|CD|=1. 故|AC|= |CD| +|AD| = 2,即圆 C 的半径为 2.又因为圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) 所以圆心 C 的坐标为(1, 2),故圆 C 的标准方程为(x-1) +(y- 2) =2. (2)令(x-1) +(y- 2) =2 中的 x=0,解得 y= 2±1,故 B(0, 2+1).直线 BC 的 斜率为 2+1- 2 =-1,故切线的斜率为 1,切线方程为 y=x+ 2+1.令 y=0,解得 x 0-1
2 2 2 2 2 2

=- 2-1,故所求截距为- 2-1.

三、解答题

21

11.已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程. 解:(1)如图所示,|AB|=4 3,将圆 C 的方程化为标准方程(x+2) +(y-6) =16,
2 2

2

2

所以圆 C 的圆心坐标为(-2,6),半径 r=4,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB, 所以|AD|=2 3, 又|AC|=4,所以在 Rt△ACD 中,|CD|=2. 若直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式 |-2k-6+5|
2

3 =2,得 k= . 4 k +?-1?
2

故直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. 所以所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → → 则 CD⊥PD,即CD?PD=0, 所以(x+2,y-6)?(x,y-5)=0, 化简得,所求轨迹方程为 x +y +2x-11y+30=0. 12.已知圆 M 的方程为 x +y -2x-2y-6=0.以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴交于 E, F 两点, 圆 O 内有一动点 D, 使得|DE|, |DO|, |DF|成等比数列, → → 求DE?DF的取值范围. 解:(1)圆 M 的方程可整理为(x-1) +(y-1) =8, 故圆心 M(1,1),半径 R=2 2.
22
2 2 2 2 2 2

圆 O 的圆心 O(0,0), 因为|MO|= 2<2 2, 所以点 O 在圆 M 内,故圆 O 只能内切于圆 M. 设圆 O 的半径为 r, 因为圆 O 内切于圆 M, 所以|MO|=R-r, 即 2=2 2-r,解得 r= 2. 所以圆 O 的方程为 x +y =2. (2)不妨设 E(m,0),F(n,0),且 m<n.
? ?x +y =2, 由? ?y=0, ?
2 2 2 2

解得?

?x= 2, ?y=0,

或?

?x=- 2, ?y=0,

故 E(- 2,0),F( 2,0). 设 D(x,y),由|DE|,|DO|,|DF|成等比数列, 得|DE|?|DF|=|DO| , 即 ?x+ 2? +y ? ?x- 2? +y =x +y , 整理得 x -y =1. → → 而DE=(- 2-x,-y),DF=( 2-x,-y), → → 所以DE?DF=(- 2-x)( 2-x)+(-y)(-y) =x +y -2=2y -1. 由于点 D 在圆 O 内,故有
?x +y <2, ? ? 2 2 ?x -y =1, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 得y< , 2

所以-1≤2y -1<0, → → 故DE?DF∈[-1,0).

23

名校模拟 1.(2016?湖南衡阳八中模拟)将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线方程是( A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 答案:C 解析:由题可知,圆心(1,2)在直线上,代入验证即可知选 C. 2.(2016?云南师大附中模拟)已知圆 C 过坐标原点,面积为 2π ,且与直线 l:x-y+2=0 相切,则圆 C 的方程是(
2 2 2 2

)

)

A.(x+1) +(y+1) =2 B.(x-1) +(y-1) =2 或(x+1) +(y-1) =2 C.(x-1) +(y-1) =2 或(x+1) +(y+1) =2 D.(x-1) +(y-1) =2 答案:C 解析:依题设知,圆 C 的半径为 2,圆心在直线 y=x 上,圆心为(1,1)或(- 1,-1),故选 C. 3.(2016?江西南昌模拟)已知圆 C 经过点 A(2,-1)和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y =-2x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)已知直线 l 经过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程. 解:(1)设圆心的坐标为 C(a,-2a), |a-2a-1| 2 2 则 ?a-2? +?-2a+1? = , 2 化简得 a -2a+1=0,解得 a=1. ∴C(1,-2),半径 r=|AC|= ?1-2? +?-2+1? = 2. ∴圆 C 的方程为(x-1) +(y+2) =2. (2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=0,此时直线 l 被圆 C 截得的弦长 为 2,满足条件. ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx, 由题意得, |k+2| 3 =1,解得 k=- , 4 1+k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 ∴直线 l 的方程为 y=- x. 4 3 综上所述,直线 l 的方程为 x=0 或 y=- x. 4

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