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直线与平面平行的判定定理教案设计

§2.2.1 直线与平面平行的判定
(选自 人教 A 版必修② 第二章第二节第一课时) 一、教材分析 本节教材选自人教 A 版数学必修②第二章第二节第一课时, 主要内容是直线 与平面平行的判定定理的探究与发现、归纳概括、练习与应用。它是在前面已学 空间点、线、面的位置关系的基础上,结合有关的实物模型,通过直观感知、操 作确认(合情推理,不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。学线面平行 判定是三大平行判定(线线平行、线面平行、面面平行)的核心,也是高考的高 频考点之一,学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内 容,具有良好的示范作用,同时,它在立体几何学习中起着承上启下的作用,具 有重要的意义与地位。 本节课的学习对培养学生空间想象能力与逻辑推理能力起 到重要作用。 线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合与化归与转化 思想。 二、学情分析 本节课的教学对象是高一的学生, 他们具备一定的由形象思维转化为逻辑思 维的能力。学生在此前已经学习了直线与直线平行的性质及判定、直线与平面平 行的定义,对直线与平面平行有了一定的认识,这些都为学生学习本节课做了准 备。同时,由于本节课与生活实际相结合,学生的学习兴趣、参与度会比较大。 但是由于学生处于学习空间立体几何的初始阶段, 学习立体几何所具备的语言表 达及空间感与空间想象能力不够,特别是对线面平行(空间立体)转化为线线平 行(平面)的化归与转化思想,这是学生首次接触的思想方法,应加以必要的强 化与引导。 三、教学目标 (一)知识技能目标 (1)理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用; (2)培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力。 (二)过程方法目标 (1)启发式:以实物(门、书、直角梯形卡纸)为媒介,启发、诱导 学生逐步经历定理的直观感知过程;
1

(2)指导学生进行合情推理。对于立体几何的学习,学生已初步入门, 让学生自己主动地去获取知识、发现问题,教师予以指导,帮助学生合情推 理、澄清概念、加深认识。 (三)情感态度价值观目标 (1)让学生亲身经历数学研究的过程,体验创造的激情,享受成功的 喜悦,感受数学的魅力; (2)在培养学生逻辑思维能力的同时,帮助学生养成办事认真仔细的 习惯。 四、教学重点 通过直观感知、操作确认,归纳出判定定理。 五、教学难点 灵活运用判定定理解决问题。 六、教学方法与手段 启发式与探究式教学相结合,多媒体投影、计算机、实物(门、书、直角梯 形卡纸)辅助教学。 七、教学设计思想 普通高中课程标准指出,培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、 运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力, 是高中阶段数学必修系列课程 的基本要求。在判定定理得出的过程中,注重对典型实例的观察,分析,给学生 提供动手操作的机会,引导学生进行归纳概括活动。另外,通过观察、思考、探 究向学生提出问题,以问题引导学生的思维活动,经历从实际背景中抽象出数学 模型,从现实生活空间抽象出几何图形和几何问题的过程。 八、教学过程 (一)知识回顾(5min) 师:在上节课我们学习了直线与平面的位置关系。那么,直线与平面的位置 关系有几种呢?是以什么作为划分的标准的呢? 生:三种。 (学生回答完之后用多媒体幻灯片陆续出现如下表格的内容)

2

位置关系 直线在平面内 公共点 有无数个公共点

直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α =A
a

直线与平面平行 没有公共点 a||α

符号表示 a? α

a

图形表示

a α

α α

(二)新课引入(20min) 师: 今天我们针对上节课直线与平面平行的位置关系进行探究。那么怎么样判定 直线与平面平行呢?从上节课我们学过的知识中,我们知道,根据定义,判 定直线与平面是否平行,只需要判定直线与平面有没有公共点。但是,直线 无限延长,平面无限延展,怎么样才能保证直线与平面没有公共点呢?(抛 出疑问让学生思考,引起学生注意力。) (1)实例感受 师:生活中门的两边是平行的,现在我们把教室门打开,当门绕着一边转动时, 门上靠近把手的边与门框所在的平面没有公共点, 这时门扇转动的一边与门 框所在的平面让大家觉得是平行的。(教师一边解说,一边实践演示) 师:现在大家动手操作,将课本平放在桌面上,慢慢地翻开课本的封面。我们观 察一下封面的上边缘与桌面的关系是怎么样的呢?(学生亲自动手实践,增 强学生动手能力。) 生:封面的上边缘与桌面也是平行的呢! 师:好的,我们再来看看这个。(取出预先准备好的直角梯形卡纸演示。)老师 把下底边放在桌面上并转动。同学们,你们觉得上底边与桌面的位置关系是 怎样的呀? 生:也是平行的。 师:对,类似刚才书的那个例子,上底边与桌面的位置给人以平行的感觉。那如 果我们把直角腰放在桌面上并转动,这时这条腰还与桌面平行吗?(老师用 手指着非直角腰问学生) 生:不平行。
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师:是的,这个时候这条腰与桌面给人的印象就不平行了。 (设计意图: 设置这样动手实践的情境,通过对比让学生更清楚地看到线面平行 与否的关键因素是什么,使学生学在情境中,思在情理中,感悟在内心中,学自 己身边的数学,领悟空间观念与空间图形性质。) (2)探究思考 师:好,现在大家思考一下,刚才演示的直线与平面位置关系为什么会有这么大 的不同呢?是什么关键因素起了作用呢? 生 1:平面内的一条直线。 生 2:平面外的一条直线。 生 3:这两条直线平行。 (3)得出结论

a

α

师:根据上面的三个条件,我们能判断这个图中的直线 a 与平面α 平行吗? 生:不能。

a

b α

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师: 如果平面内有直线 b 与直线 a 平行, 直线 a 与平面α 的位置关系又怎么样呢? 可以保证直线 a 与平面α 平行吗? (给出教材图 2.2-3,引导学生从生活的实例回到书本的实例,从而让学生根 据平面外与平面内对应线段,直接判断出线面平行。 )
a

b

α

师:再看这个图,(给出教材图 2.2-4)如果平面α 外的直线 a 与平面α 内的一 条直线 b 平行,那么,直线 a、b 共面吗?直线 a 与平面α 相交吗? (学生会发现 a、b 共面(共面直线包括相交直线和平行直线),直线 a 与平 面α 不可能相交,亦即直线 a 与平面α 平行。)于是我们可以得出 直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 用数学符号表示直线与平面平行的判定定理:

a ? ?? ? b ? ? ? ? a || ? a || b ? ?
(三)巩固新知(10min) (1)选择题(提问学生) 下列说法正确的是( ) A.若直线 a 在平面 ? 外,则 a// ? ; B.若直线 a//b,b ? ? ,则 a// ? ; C.若直线 a//b,a ? ? , b ? ? ,则 a// ? ; D.若直线 a 平行于平面 ? 内的无数条直线,则 a// ? 。 解析:A 直线与平面相交也属于在平面外,即不符合 a//b;

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B 少了条件 a ? ? ; C 正确,三个条件都具备; D 同 B,当 a 在平面内时,也符合。 (2)典型例题(例 1) 求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两 边的平面。 (先讲文字叙述转化成数学符号语言) 已知:如图空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的 中点。求证:EF∥平面 BCD。 证明:连接 BD, AE=EB
E B A F D

? EF∥BD
AF=FD EF ? 平面 BCD BD ? 平面 BCD 师:要证 EF∥平面 BCD,关键是在平面 BCD 中找到和 EF 平行的直线,将证明线面平行的问题转化为证明线线平 行的问题。这就是转化的思想。我们现在来复习一下可 以判定线线平行的方法。 生:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行; 同旁内角互补,两直线平行。三角形中位线定理:三角 形的中位线平行于第三边并且等于第三遍的一半。梯形 中位线定理;梯形的中位线平行于两底,并且等于两底 和的一半。公理 4:平行于同一条直线的两直线平行。 (2)随堂练习
①下列命题正确的是(

? EF∥平面 BCD

C

) 。

A. 平行于同一平面的两条直线平行。 B. 若直线 a∥α ,则平面α 内有且仅有一条直线与 a 平行。 C. 若直线 a∥α ,则平面α 内任一条直线都与 a 平行。 D. 若直线 a∥α ,则平面α 内有无数条直线与 a 平行。

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答案:D。 ②如图所示,已知 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,且 SA=SB=SC,SG 为△SAB 上的高,D、E、F 分别是 AC、BC、SC 的中点,试判断 SG 与平面 DEF 的位置关系,并给予证明。 解:SG∥平面 DEF, 证明如下: 连接 CG 交 DE 于点 H, 如图所示。 ∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE∥AB。 在△ACG 中,D 是 AC 的中点, 且 DH∥AG, ∴H 为 CG 的中点, ∴FH 是△SCG 的中位线, ∴FH∥SG。 又 SG ? 平面 DEF,FH ? 平面 DEF, ∴SG∥平面 DEF。 (四)课堂小结(5min) (1)直线与平面平行的判定方法 定义法:证明直线与平面无公共点; 判定定理:证明平面外直线与平面内直线平行。 (2)直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

a ? ?? ? 数学符号表示直线与平面平行判定: b ? ? ? ? a || ? (三个条件缺一不可) a || b ? ?
(3)数学思想方法:空间问题转化成平面问题。 (五)课后作业 P55 1、 P56 2 (六)课后反思 立体几何比较抽象, 所以要尽可能找生活中的实例进行分析。多媒体可以代 替我们抄题,并且展示一些比较难想像的过程,节省教学的时间,所以在今后的 教学中可以适当地运用多媒体进行辅助教学。 另外, 要注意培养学生的动手能力, 引导学生自主分析、 找出规律。 同时, 要注重对过去所学的知识进行及时的复习。 九、板书设计
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§2.2.1 直线与平面平行的判定 一、 直线与平面平行的 判定定理 平面外一条直线与 此平面内的一条直 线平行,则该直线 与此平面平行。 数学符号: a
b α α

例1 证明: 连接 BD, ∵AE=EB,AF=FB ∴EF∥BD (三角形中位 线定理) ∵EF ? 平面 BCD BD ? 平面 BCD ∴由直线与平面平行的 判定定理得: EF∥平面 BCD。

a ? ?? ? b ? ? ? ? a || ? a || b ? ?

十、困难与问题 (一)教师不了解学生整体水平,难以有针对性地进行教学设计; (二)难把握本节课的教学进程。

小组成员:黄琼芳,黄华坤,李慧玲,关莉翎。

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