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江苏省苏州市2018届高三第一次模拟考试 数学含答案

江苏省苏州市 2018 届高三第一次模拟考试 数学
2018 届高三年级第一次模拟考试(五) 数
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 3 3 1. 已知 i 为虚数单位,复数 z= 2 -2i 的模为________. 2. 已知集合 A={1,2a},B={-1,1,4},且 A?B,则正整数 a=________. 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=-8x 的焦点坐标为________. 4. 苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班,其中,列车在车站停留 0.5 分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机的, 则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为________. 5. 已知 4a=2,logax=2a,则正实数 x=________. 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是 比较先进的算法.下面的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入 n,x 的值分别为 3,3,则输出 v 的值为 ________.



(第 6 题) 

 (第 9 题)

0 ≤ x ≤ 3, x+y ≥ 0, y+3 ≤ 0, 则 z=2x-3y 的最大值为________. x - 7. 已知变量 x,y 满足 19 15 8. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且S3=- 8 ,a4-a2=- 8 ,则 a3 的值为________. 9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方 体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经 90°榫卯起来.若正四棱柱的高为 5,底面正方形的边长为 1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为________.(容器 壁的厚度忽略不计,结果保留 π) S6

{

)

10.

如图,两座建筑物 AB,CD 的高度分别是 9

m 和 15

m,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角

∠CAD=45°,则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 BD=________m.

(第 10 题)  11. 则圆 C 的标准方程为________. 1 1

(第 13 题)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 A(2,-1)的圆 C 和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=-2x 上,

1 1 b b 12. 已知正实数 a,b,c 满足a+ =1,a+ +c=1,则 c 的取值范围是________. 13. 如图,△ABC 为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以 A 为圆心,1 为半径的圆分别交 AB,AC → → PB PC 与点 E,F,P 是劣弧 上的一点,则 · 的取值范围是________. 14. 已知直线 y=a 分别与直线 y=2x-2,曲线 y=2ex+x 交于点 A,B,则线段 AB 长度的最小值为 ________. 二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=( 3cosx+sinx)2-2 3sin2x. (1) 求函数 f(x)的最小值,并写出 f(x)取得最小值时自变量 x 的取值集合; π π - , 2 2 ,求函数 f(x)的单调增区间. (2) 若 x∈ ︵ EF

[

]

16. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,已知 E,F,G,H 分别是 A1D1,B1C1,D1D,C1C 的中点.求证: (1) EF∥平面 ABHG; (2) 平面 ABHG⊥平面 CFED.

17. (本小题满分 14 分) 如图,B,C 分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C 之间的距离为 100 km,海岛 π A 在城市 B 的正东方向 50 km 处.从海岛 A 到城市 C,先乘船按北偏西 θ 角(α<θ≤ 2 ,其中锐角 α 的正切值 1 为2)航行到海滨公路 P 处登陆,再换乘汽车到城市 C.已知船速为 25 km/h,车速为 75 km/h. (1) 试建立由 A 经 P 到 C 所用时间与 θ 的函数解析式; (2) 试确定登陆点 P 的位置,使所用时间最少,并说明理由.

18. (本小题满分 16 分) 2 x2 y2 a2 b2 2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆上动点 P 到一个焦点的距离的最小 值为 3( 2-1). (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 已知过点 M(0,-1)的动直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点,并说明 理由.

19. (本小题满分 16 分) 已知各项是正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1) 若 Sn+Sn-1= (n∈N*,n≥2),且 a1=2.

①求数列{an}的通项公式; ②若 Sn≤λ·2n+1 对任意 n∈N*恒成立,求实数 λ 的取值范围; (2) 数列{an}是公比为 q(q>0,q≠1)的等比数列,且{an}的前 n 项积为 10Tn.若存在正整数 k,对任意 n∈N*,使 T(k+1)n 得 Tkn 为定值,求首项 a1 的值.

20. (本小题满分 16 分) -x3+x2,x < 0, { 已知函数 f(x)= ex-ax, x ≥ 0.) (1) 当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间; (2) 若方程 f(-x)+f(x)=ex-3 在区间(0,+∞)上有实数解,求实数 a 的取值范围; a (3) 若存在实数 m,n∈[0,2],且|m-n|≥1,使得 f(m)=f(n),求证:1≤e-1≤e.

2018 届高三年级第一次模拟考试(三) 数学附加题 (本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. [选修 41:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB,AC 与圆 O 分别切于点 B,C,P 为圆 O 上异于点 B,C 的任意一点,PD⊥AB,垂足为 D,PE⊥AC,垂足为 E,PF⊥BC,垂足为 F. 求证:PF2=PD·PE.

B. [选修 42:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 1 2 1 [ ] [ 2 1 已知 M= ,β= 7],求 M4β.

C. [选修 44:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) x=1+t, { 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 y=t-3 )(t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 2cosθ 立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=sin2θ,若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求△AOB 的面积.

D. [选修 45:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a,b,c∈R,a2+b2+c2=1,若|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值 范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面,其交线为 AB,且 AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且 AE∥BP. (1) 求平面 PCD 与平面 ABPE 所成的二面角的余弦值; 2 (2) 线段 PD 上是否存在一点 N,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于5?若存在,试确定点 N 的位置; 若不存在,请说明理由.

23. (本小题满分 10 分) 在正整数集上定义函数 y=f(n),满足 f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且 f(1)=2. 9 (1) 求证:f(3)-f(2)=10; 1 a - -b 2 (2) 是否存在实数 a,b,使 f(n)= +1,对任意正整数 n 恒成立,并证明你的结论.

( )

3n

2018 届苏州高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 1 1 9 1. 3 2. 2 3. (-2,0) 4. 10 5. 2 6. 48 7. -9 8. 4 9. 30π 10. 18 1, ] 3 11. (x-1)2+(y+2)2=2  12. ( 4 13. [-11,-9]  15. 3+ln2 14. 2

解析:(1) f(x)=( 3cosx+sinx)2-2 3sin2x =3cos2x+2 3sinxcosx+sin2x-2 3sin2x 3(1+cos2x) = 2 + 1-cos2x 2 - 3sin2x(2 分)

π 2x+ 3 3 +2.(4 分) =cos2x- sin2x+2=2cos π π 当 2x+ 3 =2kπ+π,即 x=kπ+ 3 (k∈Z)时,f(x)取得最小值 0, x x=kπ+ ,k ∈ Z)} 3 此时自变量 x 的取值集合为{ | .(7 分) π 2x+ ) ( 3 +2. (2) 由(1)知 f(x)=2cos π π 令 π+2kπ≤2x+ 3 ≤2π+2kπ(k∈Z),(8 分) π 5π 3 解得 +kπ≤x≤ 6 +kπ(k∈Z),(10 分) - , ] , ] 2 ,令 k=-1,x∈[- 2 ,- 6 ],令 k=0,x∈[ 3 2 , 又 x∈[ 2 π π π π π π - , ] - ,- ] [ , ] [ [ 2 2 上的单调增区间是 2 6 和 3 2 .(14 分) 所以函数 f(x)在 π π π π π π 16. 解析:(1) 因为 E,F 是 A1D1,B1C1 的中点, 所以 EF∥A1B1. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,A1B1∥AB, 所以 EF∥AB.(3 分) 又 EF?平面 ABHG,AB?平面 ABHG, 所以 EF∥平面 ABHG.(6 分) (2)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,CD⊥平面 BB1C1C, 又 BH?平面 BB1C1C,所以 BH⊥CD.(8 分) 设 BH∩CF=P,易知△BCH≌△CC1F, 所以∠HBC=∠FCC1. 因为∠HBC+∠PHC=90°, 所以∠FCC1+∠PHC=90°. 所以∠HPC=90°,即 BH⊥CF.(11 分) 又 DC∩CF=C,DC,CF?平面 CFED, 所以 BH⊥平面 CFED. 又 BH?平面 ABHG, 所以平面 ABHG⊥平面 CFED.(14 分) 17. 解析:(1) 由题意,轮船航行的方位角为 θ, 所以∠BAP=90°-θ,AB=50, 50 50 50sin(90°-θ) 50cosθ 则 AP=cos(90°-θ)=sinθ,BP=50tan(90°-θ)= cos(90°-θ) = sinθ , 50cosθ 所以 PC=100-BP=100- sinθ .(4 分) AP 2 由 A 到 P 所用的时间为 t1=25=sinθ, 100- 由 P 到 C 所用的时间为 t2= 50cosθ sinθ 4 2cosθ 75 =3-3sinθ,(6 分)

(

)

所以由 A 经 P 到 C 所用时间与 θ 的函数关系为 2 4 2cosθ 6-2cosθ 4 f(θ)=t1+t2=sinθ+3-3sinθ= 3sinθ +3,(8 分)

α, ] 2 ,其中锐角 α 的正切值为2. 函数 f(θ)的定义域为( 6-2cosθ 4 π α, ] ( 3 2 , 3sin θ (2) 由(1)知 f(θ)= + ,θ∈ π 1 6(1-3cosθ) 所以 f′(θ)= . 1 令 f′(θ)=0,解得 cosθ=3.(10 分) 0, ) 2 ,使 cosθ0=3. 设 θ0∈( π 1 当 θ 变化时,f′(θ),f(θ)的变化情况如下表: 9sin2θ

θ f′(θ) f(θ) (12 分)

(α,θ0) - ?

θ0 0 极小值

(θ0, 2 )
π + ?

50cosθ0 25 2 所以当 θ=θ0 时函数 f(θ)取得最小值,此时 BP= sinθ0 = 2 ≈17.68(km). 故在 BC 上选择距离 B 为 17.68km 处为登陆点,所用时间最少.(14 分) 2 c 18. 解析:(1) 由题意知a= 2 ,所以 a= 2c.(1 分) 又椭圆上动点 P 到一个焦点的距离的最小值为 3( 2-1),所以 a-c=3 2-3,(2 分) 解得 c=3,a=3 2,所以 b2=a2-c2=9,(4 分) x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为18+ 9 =1.(6 分) (2) 当直线 l 的斜率为 0 时,令 y=-1,则 x=±4, 此时以 AB 为直径的圆的方程为 x2+(y+1)2=16;(7 分) 当直线 l 的斜率不存在时,以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2=9.(8 分) x2+(y+1)2=16, { )解得 x=0,y=3,即两圆过点 T(0,3). x2+y2=9, 联立 猜想:以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3).(9 分) 对一般情况证明如下: 设过点 M(0,-1)的直线 l 的方程为 y=kx-1,与椭圆 C 交于点 A(x1,y1),B(x2,y2), y=kx-1, { x2 则 +2y2=18,) 消去 y,整理得(1+2k2)x2-4kx-16=0, 4k 16 所以 x1+x2=1+2k2,x1x2=-1+2k2.(12 分) 因为 → TA · → TB =(x1,y1-3)·(x2,y2-3)=x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=x1x2+(kx1-1)(kx2-1) -16(k2+1) -3(kx1-1+kx2-1)+9=(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16= 所以 TA⊥TB. 1+2k2 16k2 -16(1+2k2) 1+2k2 +16=0, -1+2k2+16=

所以存在以 AB 为直径的圆恒过定点 T,且定点 T 的坐标为(0,3).(16 分) 19. 解析:(1) ①当 n≥2 时,Sn+Sn-1= ,

所以 Sn+1+Sn=



1 2 1-a2 n), 两式相减得 an+1+an=3(an+ 即 an+1-an=3,n≥2;(2 分) 当 n=2 时,S2+S1= ,即 a2-3a2-10=0,解得 a2=5 或 a2=-2(舍),

所以 a2-a1=3, 即数列{an}为等差数列,且首项 a1=2, 所以数列{an}的通项公式为 an=3n-1.(5 分) ②由①知 an=3n-1, n(3n-1+2) 3n2+n 所以 Sn= 2 Sn = 2 3n2+n .

由题意可得 λ≥2n+1= 2n+2 对一切 n∈N*恒成立, 3n2+n 3(n-1)2+(n-1) 2n+1 记 cn= 2n+2 ,则 cn-1= -3n2+11n-4 所以 cn-cn-1= 2n+2 ,n≥2,

,n≥2.(8 分) 13 15 7 1 16 16 8 当 n>4 时,cn<cn-1;当 n=4 时,c4= ,且 c3= ,c2= ,c1=2, 15 2 2 所以当 n=3 时,cn= n+ 取得最大值16, ,+∞) 所以实数 λ 的取值范围为[16 .(11 分) 15 (2) 由题意,设 an=a1qn-1(q>0,q≠1), a1·a2·…·an=10Tn,两边取常用对数,得 Tn=lga1+lga2+…+lgan. 令 bn=lgan=nlgq+lga1-lgq, 则数列{bn}是以 lga1 为首项,lgq 为公差的等差数列.(13 分) (k+1)nlga1+ T(k+1)n 若 Tkn 为定值,令 T(k+1)n Tkn =μ,则 (k+1)n[(k+1)n-1] 2 kn(kn-1) 2 lgq lgq 3n2+n

knlga1+

=μ,

即{[(k+1)2-μk2]lgq}n+[(k+1)-μk]· 因为 q>0,q≠1, 所以问题等价于 k+1  

=0 对 n∈N*恒成立,

将 k = μ代入(k+1)-μk=0,解得 μ=0 或 μ=1. 1=q. 因为 k∈N*,所以 μ>0,μ≠1,所以 a2 又 an>0,所以 a1= q.(16 分) 20. -x3+x2,x < 0, 解析:(1) 当 a=-2 时,f(x)= ex-2x, x ≥ 0,

{

)

当 x<0 时,f(x)=-x3+x2,f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2), 2 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=3(舍),

所以当 x<0 时,f′(x)<0, 所以函数 f(x)在区间(-∞,0)上为减函数;(2 分) 当 x≥0 时,f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2, 令 f′(x)=0,解得 x=ln2, 所以当 0<x<ln2 时,f′(x)<0;当 x>ln2 时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在区间(0,ln2)上为减函数,在区间(ln2,+∞)上为增函数,且 f(0)=1>0.(4 分) 综上,函数 f(x)的单调减区间为(-∞,0)和(0,ln2),单调增区间为(ln2,+∞).(5 分) (2) 设 x>0,则-x<0,所以 f(-x)+f(x)=x3+x2+ex-ax. 3 由题意,x3+x2+ex-ax=ex-3 在区间(0,+∞)上有解,等价于 a=x2+x+x在区间(0,+∞)上有解.(6 分) 3 记 g(x)=x2+x+x(x>0), 3 2x3+x2-3 (x-1)(2x2+3x+3) x2 x2 则 g′(x)=2x+1-x2= = ,(7 分) 令 g′(x)=0,因为 x>0,所以 2x2+3x+3>0,故解得 x=1. 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0, 所以函数 g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增, 故函数 g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=5.(9 分) 要使方程 a=g(x)在区间(0,+∞)上有解,当且仅当 a≥g(x)min=g(1)=5, 综上,满足题意的实数 a 的取值范围为[5,+∞).(10 分) (3) 由题意知 f′(x)=ex-a. 当 a≤0 时,f′(x)>0,此时函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 由 f(m)=f(n),可得 m=n,与条件|m-n|≥1 矛盾,所以 a>0.(11 分) 令 f′(x)=0,解得 x=lna. 当 x∈(0,lna)时,f′(x)<0;当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在(0,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增. 若存在 m,n∈[0,2],f(m)=f(n),则 lna 介于 m,n 之间,(12 分) 不妨设 0≤m<lna<n≤2. 因为 f(x)在(m,lna)上单调递减,在(lna,n)上单调递增,且 f(m)=f(n), 所以当 m≤x≤n 时,f(x)≤f(m)=f(n), 由 0≤m<n≤2,|m-n|≥1,可得 1∈[m,n], 所以 f(1)≤f(m)=f(n). 又 f(x)在(m,lna)上单调递减,且 0≤m<lna,所以 f(m)≤f(0), 所以 f(1)≤f(0).同理 f(1)≤f(2),(14 分) e-a ≤ 1, { 即 e-a ≤ e2-2a,)解得 e-1≤a≤e2-e, a 所以 1≤e-1≤e.(16 分) 21. A.解析:连结 PB,PC.因为∠PCF,∠PBD 分别为同弧 BP 上的圆周角和弦切角, 所以∠PCF=∠PBD.(2 分) 因为 PD⊥BD,PF⊥FC, PD PB 所以△PDB∽△PFC,所以PF=PC.(5 分) 同理∠PBF=∠PCE. 又 PE⊥EC,PF⊥FB, PF PB 所以△PFB∽△PEC,所以PE=PC.(8 分)

PD PF 所以PF=PE,即 PF2=PD·PE.(10 分) B. 解析:矩阵 M 的特征多项式为 λ-1 -2 f(λ)= -2 λ-1 =λ2-2λ-3.(2 分)

|

|

令 f(λ)=0,解得 λ1=3,λ2=-1, 1 所以属于 λ1 的一个特征向量为 α1=[1],属于 λ2 的一个特征向量为 α2=[-1].(5 分) 1 1 1 1 [ ] [ [ ] 7 - 1 令 β=mα1+nα2,即 =m +n 1], m+n=1, { 所以 m-n=7,)解得 m=4,n=-3.(7 分) 所以 M4β=M4(4α1-3α2)=4(M4α1)-3(M4α2) 1 1 321 2α2)=4×34 1 -3×(-1)4× -1 = 327 .(10 分) 1α1)-3(λ4 =4(λ4

[]

[ ] [ ]

C. 解析:由题意知曲线 C 的直角坐标方程是 y2=2x,(2 分) 直线 l 的普通方程为 x-y-4=0.(4 分) y2=2x, { y 联立方程组 =x-4,)解得 A(2,-2),B(8,4),所以 AB=6 2,(7 分) |-4| 因为原点到直线 x-y-4=0 的距离 d= 2 =2 2, 1 所以 S△AOB=2×6 2×2 2=12.(10 分) D. 解析:因为 a,b,c∈R,a2+b2+c2=1, 所以由柯西不等式得(a-b+c)2≤(a2+b2+c2)·(1+1+1)=3.(4 分) 因为|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2 对一切实数 a,b,c 恒成立,所以|x-1|+|x+1|≥3. 3 3 当 x<-1 时,-2x≥3,即 x≤-2;当-1≤x≤1 时,2≥3 不成立;当 x>1 时,2x≥3,即 x≥2. 3 -∞,- ] ,+∞) ( [ 2∪2 综上所述,实数 x 的取值范围为 .(10 分) 22. 解析:(1) 因为平面 ABCD⊥平面 ABEP,平面 ABCD∩平面 ABEP=AB,BP⊥AB,所以 BP⊥平面 ABCD. 以 B 为原点,分别以 BA,BP,BC 所在直线为 x 轴,y 轴, 又 AB⊥BC,所以直线 BA,BP,BC 两两垂直, 3

z 轴建立空间直角坐标系,则 P(0,2,0),B(0,0,0),D(2,0,1),E(2,1,0),C(0,0,1). → BC 因为 BC⊥平面 ABPE,所以 =(0,0,1)为平面 ABPE 的一个法向量.(2 分) → PD =(2,-2,1), → CD =(2,0,0),设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),



{

→ n·CD=0, → n·PD=0,

)

2x=0, { 2y+z=0,)令 y=1,则 z=2,故 n=(0,1,2).(4 分) 2x - 即 → n·BC

设平面 PCD 与平面 ABPE 所成的二面角为 θ,则 cosθ=

→ |n|·|BC|

2 =1 ×

2 5 5= 5 ,

2 5 π 显然 0<θ< 2 ,所以平面 PCD 与平面 ABPE 所成二面角的余弦值为 5 .(6 分)

2 (2) 设线段 PD 上存在一点 N,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角 α 的正弦值等于5. 设 → PN =λ → PD =(2λ,-2λ,λ)(0≤λ≤1), → → → BN BP PN = + =(2λ,2-2λ,λ).(7 分)

由(1)知平面 PCD 的一个法向量为 n=(0,1,2), → BN·n 所以 cos〈 → BN → |BN|·|n| ,n〉= = 5 × 2 9λ2-8λ+4=5, 2

1 即 9λ2-8λ-1=0,解得 λ=1 或 λ=-9(舍去).(9 分) 2 当点 N 与点 D 重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为5.(10 分) 4-f(n) 23. 解析:(1) 因为 f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],所以 f(n+1)= f(n)+2 . 4-2 1 由 f(1)=2,代入得 f(2)=2+2=2, 1 4- 2 1 f(3)=2 +2 7 =5,

7 1 9 所以 f(3)-f(2)=5-2=10.(2 分) 1 4 1 (2) 由 f(1)=2,f(2)=2,可得 a=-5,b=5.(3 分) 以下用数学归纳法证明: 1 4 3n 1 4 1 - - - 5+1 成立. 存在实数 a=-5,b=5,使 f(n)= 5 2 ①当 n=1 时,显然成立;(4 分) 1

( )

4 3k 1 4 1 - - - 5+1 成立,(5 分) ②当 n=k 时,假设存在 a=-5,b=5,使得 f(k)= 5 2 1 +1 4- 4 3 k 1 - - - 5 2 5

( )

[

( )

]

1 - - - 5 那么当 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+2= 5 2 3 8 12 k - + 5 1 2 5 1 4-f(k) 4

( )

3k

1

+1+2

( ) 6 3k 1 12 3 k 2 4 3 k+1 1 - - - - - ( 2) 5=1+5( 2) 5= 5(-2) -5+1, =5
1 4 3 k+1 1 4 1 - - - 5+1 成立.(9 分) 即当 n=k+1 时,存在 a=-5,b=5,使得 f(k+1)= 5 2

( )

1 3n 4 1 a - -b 2 由①②可知,存在实数 a=-5,b=5,使 f(n)= +1 对任意正整数 n 恒成立.(10 分)

( )

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