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圆锥曲线的参数方程ppt 人教课标版_图文

参数方程化为普通方程的步骤 步骤: 1、消掉参数(代入消元,三角变形,配 方消元) 2、写出定义域(x的范围) 注意: 在参数方程与普通方程的互化中,必须 使x,y前后的取值范围保持一致。 圆的普通方程 ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r 2 2 2 则圆的参数方程 ? x ? x 0 ? r cos ? (? 为 参 数 ) ? ? y ? y 0 ? r sin ? ?的几何意义:旋转角 圆锥曲线的参数方程 1、椭圆的参数方程 x y 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的 a b ? x ? a cos ? 一个参数方程为 ? (? 为参数) ? y ? b sin ? 这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的 参数方程。 2 2 思考: 类比圆的参数方程中参 数的意义,椭圆的参数 方程中参数?的意义是什么? y A B ? M x o 设以ox为始边,OA为终边的角?,点M的坐标 是( x, y ),那么点A的横坐标为x, 点B的纵坐标为 y,由点A, B均在角?的终边上,由三角函数 的 定义有 x ? OA cos? ? a cos? y ? OB sin ? ? b sin ? 当半径OA绕点O旋转一周时,就得到了点M 的轨迹,它的参数方程是 ? x ? a cos ? (?为参数) ? ? y ? b sin ? 这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆。 在椭圆的参数方程中, 通常规定参数 ?的 范围是? ?[0,2? ) 思考: 椭圆的参数方程中参数?的意义与圆的参数方 ? x ? r cos ? 程? (? 为参数)中参数?的意义类似吗? ? y ? r sin ? 由图可以看出,参数 ?是点M所对应的圆的半 径OA(或OB)的旋转角 (称为点M的离心角 ),不 是OM的旋转角,参数 ?是半径OM的旋转角。 例1、当参数? 变化时,动点P(3cos ? , 2sin ? )所 确定的曲线必过 A、点(2,3) C、点(1,3) ( B ) B、点(3, 0) D、点(0, ) 2 ? 它的焦距是多少? 2 5 练习:已知圆的方程为x 2 ? y 2 ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ? 3cos 2 ? ? 0,(? 为参数),那么圆心的轨迹的普通 方程为 ____________________? 解:方程x ? y ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ? 3cos ? ? 0 2 2 2 可以化为( x ? 2 cos ? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 2 2 ? x ? 2 cos ? 所以圆心的参数方程为 ? (? 为参数) ? y ? sin ? 2 x 2 化为普通方程是 ? y ? 1 4 x2 y 2 例.在椭圆 ? ? 1上求一点M,使点M 到 9 4 直线x ? 2 y ? 10 ? 0的距离最小,并求出最小距离 设P(3cosθ,2cos θ)为椭圆上任意一点, | 3cos ? ? 4sin ? ? 10 | | 5sin(? ? ? ) ? 10 | 则d ? ? 5 5 当且仅当sin(θ+φ)=1时取得最小值 dmin ? 5 ? ? x ? 4 cos ? 例.P是椭圆 ? (? 为参数)上一点,且 ? ? y ? 2 3 sin ? 在第一象限,OP (O为原点)的倾斜角为 ,则 3 ) 点P的坐标为 ( B ? 4 4 A、 (2,3), B、 ( 5, 15 ) 5 5 C、 (2 3, 3), D、 (4,3) 解: OP的倾斜角为 ? kOP ? tan ? 3 3 3 y 2 3 sin ? 又kOP ? ? ? 3 ? sin ? ? 2 cos ? x 4 cos ? 又 sin ? ? cos ? ? 1, 且点P在第一象限 2 2 ? ? 5 2 5 ? cos ? ? ,sin ? ? 从而有 5 5 4 5 4 15 x ? 4 cos ? ? , y ? 2 3 sin ? ? 5 5 4、设P( x, y)是椭圆2 x ? 3 y ? 12上的一个动点, 2 2 求x ? 2 y的取值范围。 x2 y2 解:椭圆的方程可化为 ? ? 1, 6 4 它的一个参数方程为 x ? 6 cos? { (?为参数, 0 ? ? ? 2? ) y ? 2 sin ? ? x ? 2 y ? 6 cos? ? 4 sin ? ? 22 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? [?1,1] ? x ? 2 y ? [? 22, 22] 2.双曲线的参数方程 设M ( x, y) a y A o B ? B' ?M A' x 在?OAA '中,x ? | OA | a | OA ' |? ? ? cos ? cos ? a ? sec ? , b 在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?. ? x ? a sec ? 所以M的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ? x2 y 2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。 说明: (1) 这里参数?叫做双曲线的离心 角与直线OM 的旋转角不同. (2) 双曲线的参数方程可以由方 x2 y 2 2 2 程 2 ? 2 ? 1与三角恒等式 sec ?- tan ? a b ? 1相比较而得到, 所以双曲线的参数 方程的实质也是三角代换. (3) sec ? 跟a走, tan ? 跟b走!不得混淆. x2 y 2 如图,设M 为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0)任意一点,O为原点, a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A

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