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2013年状元360一轮复习理科数学9 (13)_图文

抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 图 形 顶 点 对称轴 y2=2px y2=-2px (p>0) (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

(0,0) x轴

(0,0) x轴

(0,0) y轴

(0,0) y轴

焦 点

________ ________ ________ ________ 离心率 e=1 e=1 e=1 e=1

?p ? ? ,0? ?2 ?

? p ? ?- ,0? ? 2 ?

? p? ?0, ? 2? ?

? p? ?0,- ? 2? ?

p p p p 准 线 x=- x= y=- y= 2 2 2 2 ________ ________ ________ ________ |PF|= |PF|= |PF|= |PF|= 焦半径 p p p p x0+2 y0+2 2-x0 2-y0

考点一 直线与抛物线的位置关系 示范1 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2), (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 5 与抛物线 C 有公共点且直线 OA 与直线 l 的距离等于 ?若存 5 在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

分析 第(2)问中要判断直线与抛物线是否有公共点可转化 为方程组是否有实数解的问题.

解析 (1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p· 1, 所以 p=2, 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.

(2)假设存在符合题意的直线 l 其方程为 y=-2x+t.
?y=-2x+t, ? 由? 2 ?y =4x ?

得 y2+2y-2t=0.

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ=4+8t≥0,解得 1 5 |t| 1 t≥-2.另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= 5 ,即 = ,解 5 5 得 t=± 1.
? 1 ? ? 1 ? 因为-1??-2,+∞?,1∈?-2,+∞? ? ? ? ?

所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

【点评】利用方程组是否有实数解,判断直线和抛物线是 否有公共点是基本方法.

9 展示1 设有抛物线 C:y=-x + x-4,通过原点 O 作抛物 2
2

线 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象限, (1)求实数 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一交点 Q 的坐 标.

【解析】(1)法一

设点 P 的坐标是(x1,y1), 9 2 则 y1=kx1,①y1=-x1+ x1-4.② 2 ? 9? 2 把①代入②,得 x1+?k-2?x1+4=0. ? ? ? 9?2 17 1 ?k- ? -16=0.解得 k= 或 k= . 因为点 P 为切点,所以 2? 2 2 ? 17 1 当 k= 2 时,x1=-2,y1=-17;当 k=2时,x1=2,y1=1. 1 因为点 P 在第一象限,所以所求的斜率 k=2.

(2)过点 P 作切线的垂线,其方程为 y=-2x+5,③ 13 2 代入抛物线方程,得 x - 2 x+9=0.设点 Q 的坐标为(x2, ?9 ? 9 y2),则 2x2=9.所以 x2=2,y2=-4.所以点 Q 的坐标为?2,-4?. ? ?

法二 (1)不妨设切点为(x0,y0)且 x0>0,y0>0, 9 9 y′=-2x+ 2 ,则 k=-2x0 +2 .从而切线方程为 y-y0 = ? ? 9? 9? ?-2x0+ ?(x-x0).由于切线过原点,所以 y0=?-2x0+ ?x0,即 2? 2? ? ? 9 9 1 2 2 -x0+2x0-4=-2x0+2x0.于是 x0=2.从而 k=2.下同. (2)同法一.

y0 法三 (1)过原点、切点的直线的斜率 k=x = 0 1 可求得 x0=2,k=2. (2)同法一.

9 2 x0- x0-4 2 x0 ,

方法点拨:研究直线和抛物线的位置关系,联立直线方程 和抛物线方程,转化为方程组是否有实数解的问题是基本方法, 必须掌握.求抛物线的切线的问题可利用导数求解.

考点二 抛物线中的最值问题 示范2 抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离 的最小值是( 4 A.3 ) 7 B.5 8 C.5 D.3

分析 要求抛物线上的点到直线的距离的最小值, 可以转化 为求目标函数的最小值,并可转化为切线与已知直线这两平行 线间的距离.

解析 法一 设点(x,-x2)到 4x+3y-8=0 的距离为 d, |4x-3x2-8| |3x2-4x+8| d= = 5 5
? ? 2?2 20? ?3?x- ? + ? 3? 3? ? ?



5

20 4 ≥ = . 3×5 3

法二 设 l′∥l 且与抛物线相切,其方程设为 4x+3y+c=0.
?4x+3y+c=0, ? ? ?y=-x2, ?

消 y 得 3x2-4x-c=0,

∴Δ=16+12c=0, 4 ∴c=-3, 4 ∴l′:4x+3y-3=0, l′与 l 间的距离 d=
? 4 ? ?- +8? ? 3 ?

5

4 =3为所求.

答案 A

【点评】将问题转化很重要.

展示2 如图所示, 已知 BC 是一条曲线段, B 在直线 l 上, 点 点 C 到直线 l 的距离为 5,直线 l 外一点 A 到直线 l 的距离为 2, 对于曲线段 BC 上的任意一点 P 总满足|PA|-d=3,其中 d 是点 P 到直线 l 的距离,

(1)建立适当的平面直角坐标系,写出直线 l 的方程及点 A 的坐标,并求出点 B,C 的坐标; (2)求曲线段 BC 的方程; (3)设另有一定点 D,AD⊥l,点 A,D 位于直线 l 的两侧且 点 D 到直线 l 的距离为 a(a>0),求曲线段 BC 上的点到点 D 的 最近距离.

【解析】(1)如右图所示,以直线 DA 为 x 轴、直线 l 为 y 轴 建立平面直角坐标系,则直线 l 的方程为 x=0,A(2,0).

∵|PA|-d=3, ∴B(0, 5),C(-5, 15).

(2)由 ?x-2?2+y2=3-x, 化简,得 y2=-2x+5(-5≤x≤0,y≥ 5). (3)设 Q(x0,y0)是 BC 上任一点, 则|QD|= ?x0+a?2+y2= x2-2?1-a?x0+a2+5. 0 0 ∴当 1≤a≤6 时,|QD|的最小值为 2a+4; 当 0<a<1 时,|QD|的最小值为 a2+5; 当 a>6 时,|QD|的最小值为 a2-10a+40.

方法点拨:将要求解的最值问题转化为我们熟悉的函数问 题、切线问题等,能有效降低计算量.

考点三 抛物线中的综合问题 x2 y 2 示范3 设 b>0,椭圆的方程为 2+ 2=1,抛物线的方程为 2b b x2=8(y-b).如图所示,过点 F(0,b+2)作 x 轴的平行线,与抛 物线在第一象限的交点为 G,已知抛物线在点 G 的切线经过椭 圆的右焦点 F1,

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设点 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物 线上是否存在点 P,使得△ABP 为直角三角形?若存在,请指 出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐 标).

分析 多曲线综合是一种重要的题型,应抓住确定各条曲线 的关键求曲线方程.第(2)问中,要讨论直角顶点的位置.

1 2 解析 (1)由 x =8(y-b)得 y= x +b, 8
2

当 y=b+2 时,x=± 4,∴G 点的坐标为(4,b+2), 1 又 y′= x,y′|x=4=1, 4 过点 G 的切线方程为 y-(b+2)=x-4,即 y=x+b-2, 令 y=0 得 x=2-b,∴F1 点的坐标为(2-b,0); 由椭圆方程得 F1 点的坐标为(b,0),∴2-b=b,即 b=1, x2 2 因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 +y =1 和 x2= 2 8(y-1).

(2)∵过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P, ∴以∠PAB 为直角的 Rt△ABP 只有一个,同理以∠PBA 为 直角的 Rt△ABP 只有一个;若以∠APB 为直角,设 P 点的坐标 ? ? 1 2 → → 为?x,8x +1?,则 A、B 坐标分别为(- 2,0),( 2,0)由AP· BP ? ? ?1 2 ?2 1 5 2 =x -2+?8x +1? =0,得64x4+4x2-1=0,关于 x2 的一元二次 ? ? 方程有一解,∴x 有二解,即以∠APB 为直角的 Rt△ABP 有二 个;因此抛物线上共存在 4 个点使△ABP 为直角三角形.

【点评】第?2?问中的分类讨论是由于不知道△ABP 的哪个 角是直角引出的,考试时要注意类似情形.

1 1 2 展示3 如下图所示,已知直线 y= x 与抛物线 y= x -4 交 2 8 于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 y=-5 交于点 Q,

(1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含点 A, B)的动点时, 求△OPQ 的面积的最大值.

【分析】(1)先求线段 AB 的中垂线方程,从而求点 Q;(2) 设点 P 的坐标,表示△OPQ 的面积,根据函数性质求最值.

? 1 ?y=2x, 【解析】(1)解方程组? ?y=1x2-4, ? 8
?x1=-4, ? 得? ?y1=-2, ? ?x2=8, ? ? ?y2=4, ?

即 A(-4,-2),B(8,4).

从而线段 AB 的中点为 M(2,1). 1 由 kAB=2,得线段 AB 的垂直平分线方程为 y-1=-2(x-2).因 y=-5,则 x=5.∴Q(5,-5).

(2)直线 OQ 的方程为 x+y=0,设

? ? 1 2 P?x,8x -4?, ? ?

∵点 P 到线段 OQ 的距离 ? 1 2 ? ?x+ x -4? 8 1 2 ? ? d= = |x +8x-32|,|OQ|=5 2, 2 8 2 1 5 ∴S△OPQ=2|OQ|d=16|x2+8x-32|. ∵点 P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点且点 P 不在直线 OQ 上,∴-4≤x≤4 3-4 或 4 3-4<x≤8.

∵函数 y=x2+8x-32 在区间[-4,8]上单调递增且当 x=-4 时,|x2+8x-32|=48;当 x=8 时,|x2+8x-32|=96,∴当 x=8 5 时,△OPQ 的面积取得最大值16×96=30.

方法点拨:求交点,一般解联立方程组即可.三角形面积问 题,常常要求弦长、求点线距离表示面积.求面积的最值,可以 建立函数关系,再求目标函数的最值.解题时要注意数形结合、 分类讨论.

本课的主要考点有抛物线的范围、对称性、顶点、离心率、 准线等几何性质,直线与抛物线的位置关系判断,抛物线的切 线等.解题时要注意运用转化思想、分类讨论思想和方程思想.

1.(2011 福建)如下图所示,已知直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A,

(1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

【解析】(1)法一
?x2=4y, ? 由? ?y=x+b, ?

得 x2-4x-4b=0.

因为直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切, 所以 Δ=(-4)2-4(-4b)=0.解得 b=-1.

1 2 1 法二 设切点 A(x0,y0),由 y=4x ,得 y′=2x. 1 所以切线 l 在点 A 处的斜率为 k= x0.因为切线 l 的斜率为 1, 2 1 1 2 1 2 则 k=2x0=1,x0=2.又点 A 在抛物线上,所以 y0=4x0=4×2 =1.于是点 A 的坐标为 A(2,1). 因为点 A 在直线 ls 上, 所以 1=2 +b,b=-1.

(2)由(1),得

?x2=4y, ? b=-1.则由? ?y=x-1, ?

得 x=2,y=1.于是点

A 的坐标为 A(2,1),设以点 A 为圆心的圆 A 的方程为(x-2)2+(y -1)2=r2,抛物线 C:x2=4y 的准线为 y=-1,而圆 A 与抛物 线 C 的准线相切,则 r=1-(-1)=2.所以圆 A 的方程为(x-2)2 +(y-1)2=4.

2.(2011浙江理)如右图所示,已知抛物线C1:x2=y,圆 C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M, (1)求点M到抛物线C1的准线的距离; (2)己知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的 两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂 直于AB,求直线l的方程.

1 【解析】(1)由题意,可知抛物线的准线方程为y=- .所以 4 17 圆心M(0,4)到准线的距离是 4 .

(2)设P(x0,x 2 ),A(x1,x 2 ),B(x2,x 2 ),由题意,得x0≠0, 0 1 2 x0≠± 1,x1≠x2.设过点P的圆C2的切线方程为y-x2=k(x-x0), 0 即y=kx-kx0+x2,① 0 |kx0+4-x2| 0 2 则 =1,即(x0-1)k2+2x0(4-x2)k+(x2-4)2-1= 0 0 1+k2 0. 设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2是上 2 2x0?x2-4? ?x0-4?2-1 0 述方程的两根.所以k1+k2= 2 ,k1k2= . x0-1 x2-1 0

将①代入y=x2,得x2-kx+kx0-x2=0. 0 由于x0是此方程的根,则x1=k1-x0,x2=k2-x0.所以 x2-x2 2x0?x2-4? 1 2 0 kAB= =x1+x2=k1+k2-2x0= -2x0,kMP= 2 x1-x2 x0-1 x2-4 0 x0 . ?2x0?x2-4? ??x2-4? 0 ? ?? 0 ? -2x0?? 由MP⊥AB,得kAB·MP=? 2 k ?=-1. x0-1 ? x0 ? ? ? ? 23 23 23? ? ? 2 解得x0= 5 ,即点P的坐标为?± , 5 ?. 5 ? ? 3 115 所以直线l的方程为y=± x+4. 115

3.(2011浙江文)如下图所示,设点P为抛物线C1:x2=y上 的动点,过点P作圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线交直线l:y =-3 于A,B两点, (1)求圆C2的圆心M到抛物线C1的准线的距离. (2)是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平 分?若存在,求出点P的坐标;若不存在;请说明理由.

1 【解析】(1)由题意,可知抛物线C1的准线方程为y=- . 4 ? 1 ? 11 所以圆心M到抛物线C1的准线的距离为?-4-?-3??= 4 . ? ?

(2)设点P的坐标为(x0,x 2 ),抛物线C1在点P处的切线交直 0 线l于点D,再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD, 2 则过点P(x0,x 0 )的抛物线C1的切线方程为y-x 2 =2x0(x- 0 x0).① 15 当x0=1时,过点P(1,1)与圆C2相切的直线PA为y-1= 8 (x -1). 17 可得xA=15,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.

当x0=-1时,过点P(-1,1)与圆C2相切的直线PB为 15 y-1=- 8 (x+1). 17 可得xA=-1,xB= ,xD=1,xA+xB≠2xD.所以x 2 - 0 15 1≠0. 设切线PA,PB 的斜率为k1,k2,则 PA:y-x2=k1(x-x0),② 0 PB:y-x2=k2(x-x0).③ 0 x2-3 0 将y=-3分别代入①②③,得xD= 2x (x0≠0),xA=x0- 0 x2+3 x2+3 0 0 k1 ,xB=x0- k2 (k1,k2≠0).

1 1 2 从而xA+xB=2x0-(x0+3)?k +k ?. ? 1 2? |-x0k1+x2+3| 0 又 =1, k2+1 1 2 即(x2-1)k2-2(x2+3)x0k1+(x0+3)2-1=0, 0 1 0 2 同理(x2-1)k2-2(x2+3)x0k2+(x0+3)2-1=0. 0 2 0 2 2 所以k1,k2是关于k的方程(x 0 -1)k2-2(x 0 +3)x0k+(x 2 +3)2 0 -1=0的两个不相等的根,从而 2 2x0?x2+3? ?x0+3?2-1 0 k1+k2= 2 ,k1k2= .因为xA+xB=2xD, x0-1 x2-1 0

?

?

?1 1 ? x2-3 1 1 1 0 2 ? + ?= 所以2x0-(3+x0) k k ,即 + = . x0 k1 k2 x0 ? 1 2?

2?3+x2?x0 1 4 0 4 从而 = .进而得x0=8,x0=± 8. ?3+x2?2 x0 0 4 综上,存在点P满足题意,点P的坐标为(± 8, 2).

4.(2009广东理)已知曲线C:y=x2与直线l:x-y+2=0交 于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)且xA<xB,记曲线C在点A和点B之间 那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D,设点P(s,t) 是L上的任一点且点P与点A和点B均不重合, (1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方 程; 51 2 2 2 (2)若曲线G:x -2ax+y -4y+a + 25 =0与平面区域D有 公共点,试求实数a的最小值.

【解析】(1)解曲线C与直线l的联立方程组 ?y=x2, ?x =-1, ?x =2, ? ? 1 ? 2 ? ? ? 得 ?x-y+2=0, ?y1=1, ?y2=4. ? ? ? 又xA<xB,所以点A,B的坐标分别为A(-1,1),B(2,4). ?1 5? ∵点Q是线段AB的中点,∴点Q的坐标为Q?2,2?. ? ? ∵点P(s,t)是L上的任一点且点P与点A和点B均不重合,∴ t=s2,即P(s,s2)且-1<s<2.

设线段PQ的中点为M(x,y), ? 1 ? 2+s ?x= ? 2 , 则点M的轨迹的参数方程为? ? 5+s2 ? 2 ?y= 2 ? (s为参数且-1<s<2). ? 1?2 5 1 5 消去s并整理,得y=2?x-4? + 且- <x< . 4 4 4 ? ? 所以线段PQ的中点M的轨迹方程 ? 1?2 5? 1 5? y=2?x-4? +4?-4<x<4?. ? ? ? ?

51 (2)曲线G:x -2ax+y -4y+a + =0可化为(x-a)2+(y 25 ?7? 7 2 ? ?2,它是以G(a,2)为圆心、以 为半径的圆. -2) = 5 5 ? ? 设直线l:x-y+2=0与y轴相交于点E,则E点的坐标为 E(0,2).
2 2 2

如右下图所示,自点A作直线l:x-y+2=0的垂线,交直 线y=2于点F,

在Rt△EAF中,∠AEF=45° ,|AE|= 2,所以|AF|= 2. 7 ∵5< 2,∴当a<0且圆G与直线l相切时,圆心G必定在线 段FE上且切点必定在线段AE上.此时实数a的值就是所求的最 |a-2+2| 7 小值.当圆G与直线l:x-y+2=0相切时, = , 5 1+1 7 2 7 2 解得a=- 5 或者a= 5 (舍去). 所以使曲线G与平面区域D有公共点的实数a的最小值是- 7 2 . 5

5.(2009浙江文)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4) 17 到其焦点的距离为 , 4 (1)求实数p与m的值; (2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0),过点P的直线交 抛物线C于另一点Q,交x轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C于另 一点N,若MN是C的切线,求实数t的最小值.

p 【解析】(1)由抛物线的方程,得其准线方程为y=- .根据 2 抛物线的定义,得点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距 p 17 1 离,即4+2= 4 .解得p=2.∴抛物线方程为x2=y,将A(m,4)代入 抛物线方程,解得m=± 2.

(2)由题意,知过点P(t,t2)的直线PQ的斜率存在且不为0, 设其为k.则lPQ:y-t2=k(x-t). ?-t2+kt ? -t2+kt ? ? 当y=0时,x= ,即M? ,0?. k k ? ? ?y-t2=k?x-t?, ? 联立方程? 2 整理,得x2-kx+t(k-t)=0, ?x =y, ? 即(x-t)[x-(k-t)]=0.解得x=t或x=k-t. 1 2 ∴Q(k-t,(k-t) ).而QN⊥QP,∴直线NQ的斜率为- . k 1 2 ∴lNQ:y-(k-t) =-k[x-(k-t)].

1 ? ?y-?k-t?2=- [x-?k-t?], k 联立方程 ? ?x2=y, ?

1 整理,得x + k x-
2

1 (k-t)-(k-t)2=0,即kx2+x-(k-t)[k(k-t)+1]=0,[kx+k(k k k?k-t?+1 -t)+1][x-(k-t)]=0.解得x=- 或x=k-t. k ? k?k-t?+1 [k?k-t?+1]2? ? ∴N?- , 2 ? ?. k k ? ? 2 [k?k-t?+1] ?k2-kt+1?2 k2 ∴kNM= = 2 2 . 2 k?k-t?+1 -t +kt k?t -k -1? - - k k

k?k-t?+1 而抛物线在点N处切线斜率为k切=y′|x=- = k -2k?k-t?-2 ,整理,得k2+tk+1-2t2=0. k 2 2 2 2 ∵Δ=t -4(1-2t )≥0,解得t≤-3(舍去)或t≥3. 2 ∴tmin=3.


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