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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 文

【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 文

1.平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有 一对实数 λ 1、λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. 其中,不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λ a=(λ x1,λ y1),|a|= x1+y1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → 2 2 ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? . 3.平面向量共线的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2) (a≠0),如果 a∥b,那么 x1y2-x2y1=0;反过来,如果 x1y2 -x2y1=0,那么 a∥b. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × ) (2)若 a,b 不共线,且 λ 1a+μ 1b=λ 2a+μ 2b,则 λ 1=λ 2,μ 1=μ 2.( √ ) (3)平面向量的基底不唯一, 只要基底确定后, 平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表 示.( √ ) (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表示成 = .(
2 2

x1 y1 x2 y2

× ) )

(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( √

1

1.设 e1,e2 是平面内一组基底,那么下列说法正确的是________(填序号). ①若实数 λ 1,λ 2 使 λ 1e1+λ 2e2=0,则 λ 1=λ 2=0; ②空间内任一向量 a 可以表示为 a=λ 1e1+λ 2e2(λ 1,λ 2 为实数); ③对实数 λ 1,λ 2,λ 1e1+λ 2e2 不一定在该平面内; ④对平面内任一向量 a,使 a=λ 1e1+λ 2e2 的实数 λ 1,λ 2 有无数对. 答案 ① → → → → → 2.在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则 r+s=________. 答案 0 2 ? 2? → → → 2→ 2 → → 2→ 2→ 解析 因为CD=2DB,所以CD= CB= (AB-AC)= AB- AC,则 r+s= +?- ?=0. 3 3 3 3 3 ? 3? → → → 3.在?ABCD 中,AC 为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则向量BD的坐标为__________. 答案 (-3,-5) → → → → → → 解析 ∵AB+BC=AC,∴BC=AC-AB=(-1,-1), → → → → → ∴BD=AD-AB=BC-AB=(-3,-5). π 4. 设 0<θ < , 向量 a=(sin 2θ , cos θ ), b=(cos θ , 1), 若 a∥b, 则 tan θ =________. 2 答案 1 2
2

解析 ∵a∥b,∴sin 2θ ×1-cos θ =0, ∴2sin θ cos θ -cos θ =0, π ∵0<θ < ,∴cos θ >0,∴2sin θ =cos θ , 2 1 ∴tan θ = . 2 5. (教材改编)已知?ABCD 的顶点 A(-1, -2), B(3, -1), C(5,6), 则顶点 D 的坐标为________. 答案 (1,5) → → 解析 设 D(x,y),则由AB=DC,得(4,1)=(5-x,6-y),
?4=5-x, ? 即? ? ?1=6-y,
2

解得?

?x=1, ? ? ?y=5.

题型一 平面向量基本定理的应用

2

→ → → 例 1 (1)在梯形 ABCD 中, AB∥CD, AB=2CD, M, N 分别为 CD, BC 的中点, 若AB=λ AM+μ AN, 则 λ +μ =________. → 1→ → → 2→ (2)如图,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+ AC,则 3 11 实数 m 的值为________. 4 3 答案 (1) (2) 5 11 → → → → → → → → → → → → 1→ → 解析 (1)因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=2AN+CM+MA=2AN- AB-AM, 4 → 8→ 4→ 所以AB= AN- AM, 5 5 4 所以 λ +μ = . 5 → → (2)设BP=kBN,k∈R. → → → → → 因为AP=AB+BP=AB+kBN 1→ → → → → → =AB+k(AN-AB)=AB+k( AC-AB) 4 → k→ =(1-k)AB+ AC, 4 → → 2→ 且AP=mAB+ AC, 11

k 2 所以 1-k=m, = , 4 11
8 3 解得 k= ,m= . 11 11 思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则

进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底, 并运用该基底将条件和结论表示 成向量的形式,再通过向量的运算来解决. → → → 1→ → 1→ → (1) 在平行四边形 ABCD 中, AB = e1 , AC = e2 , NC = AC , BM = MC ,则 MN = 4 2 ________.(用 e1,e2 表示) → (2)如图,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点,且AM=

xy → → → xAB,AN=yAC,则 的值为________. x+y

3

2 5 1 答案 (1)- e1+ e2 (2) 3 12 3 → → → 解析 (1)如图,MN=CN-CM → → → 2→ =CN+2BM=CN+ BC 3 1→ 2 → → =- AC+ (AC-AB) 4 3 1 2 =- e2+ (e2-e1) 4 3 2 5 =- e1+ e2. 3 12 → 1→ 1→ → → → (2)易知AG= AB+ AC,MN=-xAB+yAC, 3 3 → ?1 ?→ 1→ 故MG=? -x?AB+ AC. 3 ?3 ? 1 → → ?1 ? 由于MG与MN共线,所以? -x?y=- x, 3 3 ? ? 1 xy 1 即 xy= (x+y),因此 = . 3 x+y 3 题型二 平面向量的坐标运算 例 2 (1)已知 a=(5,-2),b=(-4,-3),若 a-2b+3c=0,则 c=________. (2)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 A B 同方向的单位向量为__________. 4? ? 13 答案 (1)?- ,- ? 3? ? 3 4? ?3 (2)? ,- ? 5? ?5



解析 (1)由已知 3c=-a+2b =(-5,2)+(-8,-6)=(-13,-4). 4? ? 13 所以 c=?- ,- ?. 3? ? 3 (2)A B =O B -O A =(4,-1)-(1,3)=(3,-4), ∴与 A B 同方向的单位向量为









→ 4? AB ?3 =? ,- ?. 5? → ?5 |A B |

思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两
4

端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法 则. → (1)已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为__________. → → → → (2)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5), → 则BC=________. 答案 (1)(5,14) (2)(-6,21) → 解析 (1)设点 B 的坐标为(x,y),则AB=(x+1,y-5).
? ?x+1=6, → 由AB=3a,得? ?y-5=9, ?

解得?

? ?x=5, ?y=14. ?

→ → → → → → (2)BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21). 题型三 向量共线的坐标表示 命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标 例 3 (1)已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=________. (2)已知梯形 ABCD,其中 AB∥CD,且 DC=2AB,三个顶点 A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点 D 的坐标为________. 答案 (1)(-4,-8) (2)(2,4)

解析 (1)由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b, 得 1×m=2×(-2),即 m=-4. 从而 b=(-2,-4), 那么 2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). (2)∵在梯形 ABCD 中,AB∥CD,DC=2AB, → → ∴DC=2AB. 设点 D 的坐标为(x,y), → 则DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), →

AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),
?4-x=2, ? ∴? ?2-y=-2, ?

解得?

?x=2, ? ?y=4, ?

故点 D 的坐标为(2,4).

命题点 2 利用向量共线求参数 例 4 若三点 A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数 a 的值为________. 5 答案 - 4
5

→ → 解析 AB=(a-1,3),AC=(-3,4), → → 根据题意AB∥AC,∴4(a-1)=3×(-3),即 4a=-5, 5 ∴a=- . 4 命题点 3 求交点坐标 例 5 已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为________. 答案 (3,3) → → → → → 解析 方法一 由 O,P,B 三点共线,可设OP=λ OB=(4λ ,4λ ),则AP=OP-OA=(4λ - 4,4λ ). 3 → → → → → 又AC=OC-OA=(-2,6),由AP与AC共线,得(4λ -4)×6-4λ ×(-2)=0,解得 λ = ,所 4 → 3→ 以OP= OB=(3,3),所以点 P 的坐标为(3,3). 4

x y → → → → 方法二 设点 P(x,y),则OP=(x,y),因为OB=(4,4),且OP与OB共线,所以 = ,即 x= 4 4 y.
→ → → → 又AP=(x-4,y),AC=(-2,6),且AP与AC共线, 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3, 所以点 P 的坐标为(3,3). 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若 a=(x1,

y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2=x2y1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量 a 共线的向量时,可 设所求向量为 λ a(λ ∈R),然后结合其他条件列出关于 λ 的方程,求出 λ 的值后代入 λ a 即可得到所求的向量. → → (3)三点共线问题.A,B,C 三点共线等价于AB与AC共线. → → → 设OA=(-2,4),OB=(-a,2),OC=(b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B,

C 三点共线,则 + 的最小值为________. a b
答案 3+2 2 2

1 1

→ → 解析 由题意得AB=(-a+2,-2),AC=(b+2,-4), → → 又AB∥AC,所以(-a+2,-2)=λ (b+2,-4),

6

?-a+2=λ ?b+2?, ? 即? ?-2=-4λ , ?

整理得 2a+b=2,

1 1 1 1 1 1 2a b 所以 + = (2a+b)( + )= (3+ + ) a b 2 a b 2 b a 1 ≥ (3+2 2 2a b 3+2 2 · )= (当且仅当 b= 2a 时,等号成立). b a 2

11.解析法(坐标法)在向量中的应用

2π → → 典例 (14 分)给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 .如 3 → → → 图所示, 点 C 在以 O 为圆心的 AB 上运动. 若OC=xOA+yOB, 其中 x, y∈R, 求 x+y 的最大值. 思维点拨 可以建立平面直角坐标系,将向量坐标化,求出点 A,B 的坐标,用三角函数表示 出点 C 的坐标,最后转化为三角函数求最值. 规范解答 → 解 以 O 为坐标原点,OA所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,如图 1 3 所示,则 A(1,0),B(- , ).[4 分] 2 2 2π 设∠AOC=α (α ∈[0, ]),则 C(cos α ,sin α ), 3 1 cos α =x- y, ? 2 ? → → → 由OC=xOA+yOB,得? 3 sin α = y, ? ? 2 所以 x=cos α + 3 2 3 sin α ,y= sin α ,[8 分] 3 3

π 所以 x+y=cos α + 3sin α =2sin(α + ),[11 分] 6 2π 又 α ∈[0, ], 3 π 所以当 α = 时,x+y 取得最大值 2.[14 分] 3 温馨提醒 本题首先通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后用三角函数的知 识求出 x+y 的最大值. 引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决, 体现了解析法(坐标法)
7

解决问题的优势,凸显出了向量的代数特征,为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.

[方法与技巧] 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键. 2.根据向量共线可以证明点共线;利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值. [失误与防范] 1.要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向两种信息;两个向量共线 有方向相同、相反两种情况. 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能 等于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.

x1 y1 x2 y2

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.如图,设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点,给出下列向量组: → → → → → → → → ①AD与AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB.其中可作为该平面内其他向量 的基底的是________. 答案 ①③ → → → → 解析 ①中AD,AB不共线;③中CA,DC不共线. 1 3 2.已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a- b=________. 2 2 答案 (-1,2) 解析 1 1 1 3 3 3 a=( , ), b=( ,- ), 2 2 2 2 2 2

1 3 故 a- b=(-1,2). 2 2 3.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c=________. 答案 1 3 a- b 2 2

解析 设 c=λ a+μ b,∴(-1,2)=λ (1,1)+μ (1,-1),

8

?-1=λ +μ , ? ∴? ? ?2=λ -μ ,

1 λ = , ? ? 2 ∴? 3 μ =- , ? ? 2

1 3 ∴c= a- b. 2 2

4. 已知向量 a=(1,2), b=(1,0), c=(3,4). 若 λ 为实数, (a+λ b)∥c, 则 λ =________. 答案 1 2

解析 ∵a+λ b=(1+λ ,2),c=(3,4), 1+λ 2 1 且(a+λ b)∥c,∴ = ,∴λ = . 3 4 2 → → → → → → → 5.已知|OA|=1,|OB|= 3,OA·OB=0,点 C 在∠AOB 内,且OC与OA的夹角为 30°,设OC=

m → → mOA+nOB(m,n∈R),则 的值为________. n
答案 3 → → → → 解析 ∵OA·OB=0,∴OA⊥OB, 以 OA 为 x 轴,OB 为 y 轴建立直角坐标系, →

OA=(1,0),OB=(0, 3),OC=mOA+nOB=(m, 3n).
∵tan 30°= 3n









m



3 m ,∴m=3n,即 =3. 3 n

1 → → 6. 已知 A(7,1), B(1,4), 直线 y= ax 与线段 AB 交于点 C, 且AC=2CB, 则实数 a=________. 2 答案 2 解析 设 C(x,y), → → 则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y),
? ?x-7=2?1-x?, → → ∵AC=2CB,∴? ? ?y-1=2?4-y?,

解得?

? ?x=3, ? ?y=3.

1 ∴C(3,3).又∵C 在直线 y= ax 上, 2 1 ∴3= a·3,∴a=2. 2 1→ → 1→ → → 7.已知点 A(-1,2),B(2,8),AC= AB,DA=- BA,则CD的坐标为________. 3 3 答案 (-2,-4) 解析 设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),
9



DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).
1→ → 1→ → 因为AC= AB,DA=- BA, 3 3 所以有?
?x1+1=1, ? ? ?y1-2=2 ?-1-x2=1, ? 和? ? ?2-y2=2.



解得?

?x1=0, ? ?y1=4 ?

和?

?x2=-2, ? ?y2=0. ?

所以点 C,D 的坐标分别为(0,4),(-2,0), → 从而CD=(-2,-4). → → → 8.已知向量OA=(3,-4),OB=(0,-3),OC=(5-m,-3-m),若点 A,B,C 能构成三角 形,则实数 m 满足的条件是________. 5 答案 m≠ 4 → → → → 解析 由题意得AB=(-3,1),AC=(2-m,1-m),若 A,B,C 能构成三角形,则AB,AC不共 5 线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得 m≠ . 4 9.已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式; → → (2)若AC=2AB,求点 C 的坐标. → → 解 (1)由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1), → → ∵A,B,C 三点共线,∴AB∥AC. ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. → → (2)∵AC=2AB,∴(a-1,b-1)=2(2,-2). ∴?
? ?a-1=4, ?b-1=-4, ?

解得?

? ?a=5, ?b=-3. ?

∴点 C 的坐标为(5,-3). → → → 10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点共线. → → → (1)解 OM=t1OA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4) =(4t2,2t1+4t2).

10

?4t2<0, ? 当点 M 在第二或第三象限时,有? ?2t1+4t2≠0, ?

故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. → (2)证明 当 t1=1 时,由(1)知OM=(4t2,4t2+2). → → → ∵AB=OB-OA=(4,4), → → → → AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB, → → ∴AM与AB共线,又有公共点 A,∴A,B,M 三点共线. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) → 2→ 1→ 11.在△ABC 中,点 P 是 AB 上的一点,且CP= CA+ CB,Q 是 BC 的中点,AQ 与 CP 的交点为 3 3

M,又CM=tCP,则 t 的值为________.
答案 3 4





→ 2→ 1→ 解析 ∵CP= CA+ CB, 3 3 → → → → → → → ∴3CP=2CA+CB,即 2CP-2CA=CB-CP. → → ∴2AP=PB,因此 P 为 AB 的一个三等分点. ∵A,M,Q 三点共线, → → → ∴CM=xCQ+(1-x)CA

x→ → = CB+(x-1)AC (0<x<1). 2
→ → → → x → ?x ? → ∵CB=AB-AC,∴CM= AB+? -1?AC. 2 ?2 ? → → → → 1→ ∵CP=CA-PA=-AC+ AB, 3 → → 且CM=tCP(0<t<1),

x→ ?x ?→ ? → 1→? ∴ AB+? -1?AC=t?-AC+ AB?. 3 ? 2 ?2 ? ? x t x 3 ∴ = 且 -1=-t,解得 t= . 2 3 2 4
12. 已知向量 a=(1,2), b=(0,1), 设 u=a+kb, v=2a-b, 若 u∥v, 则实数 k 的值为________. 1 答案 - 2
11

解析 ∵u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),

v=(2,4)-(0,1)=(2,3),
1 又 u∥v,∴1×3=2(2+k),得 k=- . 2 13.已知向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=( 2cos α , 2sin α )(α ∈R),实数 m,n 满 足 ma+nb=c,则(m-3) +n 的最大值为________. 答案 16 解析 由 ma+nb=c,可得?
2 2 2 2

?m+n= 2cos α , ?m-n= 2sin α ,
2 2

故(m+n) +(m-n) =2,即 m +n =1,故点 M(m,n)在单位圆上,则点 P(3,0)到点 M 的距离 的最大值为 OP+1=3+1=4,故(m-3) +n 的最大值为 4 =16. → → → → → → 14.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m,使得AB+AC=mAM成立,则 m= ________. 答案 3 → → → 解析 ∵MA+MB+MC=0, ∴M 为△ABC 的重心. 如图所示,连结 AM 并延长交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点. → 2→ ∴AM= AD. 3 → 1 → → 又AD= (AB+AC), 2 → 1 → → ∴AM= (AB+AC), 3 → → → 即AB+AC=3AM,∴m=3. 15.如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交 → → → 于圆 O 外的一点 D,若OC=mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是________. 答案 (-1,0) → → 解析 由题意得,OC=kOD(k<0), → |OC| 又|k|= <1,∴-1<k<0. → |OD| → → → 又∵B,A,D 三点共线,∴OD=λ OA+(1-λ )OB, → → → → ∴mOA+nOB=kλ OA+k(1-λ )OB,
2 2 2

12

∴m=kλ ,n=k(1-λ ), ∴m+n=k,从而 m+n∈(-1,0).

13


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