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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(八)平面解析几何


单元评估检测(八) 第八章 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.(2015?马鞍山模拟)若双曲线 线方程为 ( A.y=± C.y=± x 【解析】选 A.设双曲线 x ) B.y=± x =1(a>0,b>0)的一个焦点在直线 x-y-2a=0 上,则其渐近

D.y=±3x =1(a>0,b>0)的焦距为 2c(c>0),则 c= .

在直线方程 x-y-2a=0 中,令 y=0,得 x=2a, 即直线 x-y-2a=0 与 x 轴交于点(2a,0),则有 2a=c, 所以 b= 故双曲线 = = a, x. =1(a>b>0)上存在一点 M,满足

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=〒 x,即 y=〒

2.(2015?六安模拟)以 O 为中心,F1,F2 为两个焦点的椭圆 + | A. |=2| |=2| B. |,则该椭圆的离心率为 ( C. )

D.

【解析】选 C.过 M 作 x 轴的垂线,交 x 轴于 N 点, 则 N 点坐标为 根据勾股定理可知,| C. 3.已知椭圆 ( ) B.P 点有四个 D.P 点一定不存在 + =1 的焦点是 F1,F2,如果椭圆上一点 P 满足 PF1⊥PF2,则下面结论正确的是 ,并设| | -|
2

|=2| | =|
2

|=2| | -|
2

|=2t, | ,得到 c=
2

t,而 a= ,则 e= =

.故选

A.P 点有两个 C.P 点不一定存在

【解析】选 D.设椭圆的基本量为 a,b,c,则 a=5,b=4,c=3.以 F1F2 为直径构造圆,可知圆的半径
-1-

r=c=3<4=b,即圆与椭圆不可能有交点,所以 P 点一定不存在. 4.(2015?南充模拟)已知双曲线 C: 与双曲线右支交于点 B,且 =4 =1 的左、右焦点分别是 M,N,正三角形 AMN 的一边 AN

,则双曲线 C 的离心率为 ( )

A. C.

+1 +1 D.

B.

【解析】选 B.因为正三角形 AMN,其边长 MN=2c, =4 ,设| |=m,则| |=4m=2c, |=2a+m=2a+ ,

解得 m= ,根据双曲线的定义可得| 在三角形 BMN 中,由余弦定理

cos60°=
2

= ,

整理得:3e -2e-4=0,即 e= 【加固训练】 双曲线 足 =

,或 e=

(舍去),故选 B.

=1(a>0,b>0)的虚轴的上顶点是 A,右焦点是 F,O 为坐标原点,点 P 满

,若直线 OP 的倾斜角是 60°,则该双曲线的离心率是 ( )

A.

B.2

C.

D.

【解析】选 B.由题意可知 A(0,b),F(c,0), 又 = ,所以 P ,

因为直线 OP 的倾斜角是 60°, 所以 kOP=
2 2 2

=
2

,4b =3c ,
2

2

2

则 a =c -b =c - c =

,

即 a= ,故离心率 e= =2. 5.命题 p:4<r<7,命题 q:圆(x-3) +(y+5) =r (r>0)上恰好有 2 个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1,则 p 是 q 的 ( )
2 2 2

-2-

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选 B.因为圆心(3,-5)到直线 4x-3y=2 的距离等于 5, 所以圆(x-3) +(y+5) =r 上恰好有 2 个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1 时,4<r<6,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 6.若 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,M 是椭圆上的任意一点,且△MF1F2 的内切圆的周 ) D.不确定
2 2 2

长为 3π ,则满足条件的点 M 的个数为 ( A.2 B.4 C.6

【解题提示】由内切圆的周长为 3π可确定内切圆的半径,然后利用面积相等确定点 M 的纵坐 标,进而确定 M 点的个数. 【解析】选 A.由△MF1F2 的内切圆的周长为 3π得, 内切圆的半径 r= , 所以△MF1F2 的面积为 (|MF1|+|MF2|+|F1F2|)r= |F1F2|〓|yM|, 即(10+6)〓 =6〓|yM|,得|yM|=4, 所以满足条件的点 M 是短轴的 2 个端点. 7.(2015?南昌模拟)在抛物线 y=x +ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,x2=2 的两点,过这两点引 一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x +5y =36 相切,则抛物线顶点的坐 标为 ( A.(-2,-9) C.(2,-9) 【解析】选 A.当 x1=-4 时,y1=11-4a; 当 x2=2 时,y2=2a-1, 所以割线的斜率 k= =a-2. ) B.(0,-5) D.(1,-6)
2 2 2

设直线与抛物线的切点横坐标为 x0, 由 y′=2x+a 得切线斜率为 2x0+a, 所以 2x0+a=a-2,所以 x0=-1. 所以直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为 y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0,

-3-

圆 5x +5y =36 的圆心到切线的距离 d= 由题意得
2

2

2

.

=

,

即(a-2) +1=5.又 a≠0, 所以 a=4,此时,y=x +4x-5=(x+2) -9, 顶点坐标为(-2,-9). 8.已知 a>b>0,e1,e2 分别为圆锥曲线 + =1 和 =1 的离心率,则 lge1+lge2 的值 ( A.大于 0 且小于 1 C.小于 0 B.大于 1 D.等于 0 )
2 2

【解析】选 C.由题意,得 e1=

,e2=

(a>b>0),所以 e1e2=

=

<1.

所以 lge1+lge2=lg(e1e2)=lg

<0.

【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的两种方法 (1)直接求出 a,c 的值,利用离心率公式求解. (2)依据已知条件寻找关于 a,c 的有关等式(不等式),解方程(不等式),即可求出离心率的值 (范围). 9.已知点 P 是双曲线 C: =1(a>0,b>0)的左支上一点,F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,且

PF1⊥PF2,PF2 与两条渐近线相交于 M,N 两点(如图),点 N 恰好平分线段 PF2,则双曲线的离心率是 ( )

A.

B.2

C.

D.

【解析】选 A.在△F1F2P 中,点 N 恰好平分线段 PF2,点 O 恰好平分线段 F1F2,所以 ON∥PF1,

-4-

又 ON 的斜率为 ,所以 tan∠PF1F2= , 在△F1F2P 中,设|PF2|=bt,|PF1|=at, 根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a, 所以 bt-at=2a ①, 在 Rt△F1F2P 中,|PF2| +|PF1| =4c 由①②消去 t,得(a +b )· 又 c =a +b ,所以 a =(b-a) , 即 b=2a,双曲线的离心率是 =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

②, =4c ,
2

= -

. =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点 A,B(A,B )

10.已知抛物线 y =2px(p>0)与双曲线

异于原点),抛物线的焦点为 F.若双曲线的离心率为 2,|AF|=7,则 p= ( A.3 B.6 C.12 D.42

【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出 A,B 两点的坐标,然 后利用抛物线的定义可求 p 的值. 【解析】选 B.因为双曲线的离心率为 2, 所以 e = = 所以双曲线 2

=4,即 b =3a , =1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=〒 x,代入 y =2px(p>0),
2

2

2

得 x= p 或 x=0,故 xA=xB= p, 又|AF|=xA+ = p+ =7,所以 p=6. 【加固训练】(2014?衡水模拟)若双曲线 =1(a>0,b>0)与椭圆 ) + =1(m>b>0)的离心率

之积等于 1,则以 a,b,m 为边长的三角形一定是 ( A.等腰三角形 C.锐角三角形

B.直角三角形 D.钝角三角形

【解析】选 B.设双曲线离心率为 e1,椭圆离心率为 e2,

所以 e1=

,e2=

,

故 e1·e2=

=1

-5-

? (m -a -b )b =0, 即 a +b -m =0, 所以,以 a,b,m 为边长的三角形为直角三角形. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.若 A,B 为椭圆 C: + =1(a>b>0)长轴的两个端点,垂直于 x 轴的直线与椭圆交于点 M,N,且 .
2 2 2

2

2

2

2

kAM?kBN= ,则椭圆 C 的离心率为 【解析】设 M(x,y),则 N(x,-y),

所以 kAM·kBN= 即 答案: 12.已知 P 为椭圆
2

=

=

= , .

=1-e = ,解得离心率 e=

+

=1 上任意一点,过椭圆的右顶点 A 和上顶点 B 分别作 x 轴和 y 轴的垂线,

两垂线交于点 C,过 P 作 BC,AC 的平行线交 BC 于点 M,交 AC 于点 N,交 AB 于点 D,E,矩形 PMCN 的面积是 S1,三角形 PDE 的面积是 S2,则 = .

【解析】由题意知 AB 的方程为 + =1, 设 P(x,y)在第一象限,所以 D 所以 S△ADN= 〓y〓 因为 E 所以 S 四边形 ACME= 〓 因为 P(x,y)在椭圆上, = , 〓(5-x)= (25-x ),
2

,

,

-6-

所以
2

+

=1, , (25-x ),
2

所以 y =9所以 y =
2

所以 S△ADN=S 四边形 ACME, 因为矩形 PMCN 的面积是 S1,三角形 PDE 的面积是 S2,所以 S2+S 四边形 ANPE=S1+S 四边形 ANPE,故 =1. 答案:1 13.设双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交双曲线的左支于 A,B 两点,则 .

|BF2|+|AF2|的最小值为

【解析】由题意可得|AF2|-|AF1|=2a=4, |BF2|-|BF1|=2a=4, 两式相加得|AF2|+|BF2|-|AB|=8, 所以|AF2|+|BF2|=8+|AB|≥8+ 所以|BF2|+|AF2|的最小值为 11. 答案:11 14.(2015?嘉兴模拟)已知双曲线 C: =1(a>0,b>0)的离心率为 2,A,B 分别为左、右顶点, =8+ =11,当且仅当 AB⊥x 轴时取等号,

点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点 , 点 O 为坐标原点 , 若 PA,PB,PO 的斜率分别为 k1,k2,k3,m=k1k2k3,则 m 的取值范围为 【解析】由双曲线 C: 得 b= a, =1,k1k2= · x, = = =3, =1 的离心率为 2, .

设 P(x0,y0),则 -

又双曲线的渐近线方程为 y=〒 所以 0<k3< 答案:(0,3 ,所以 0<m<3 ) .

15.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 与双曲线 -

=1 的右焦点重合,过定点 P(2,0)且斜率 .

为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,则弦 AB 的中点到抛物线的准线的距离为

-7-

【解析】由题意,设抛物线的方程为 y =2px(p>0), 因为双曲线 所以 =3,即 p=6, 所以抛物线的标准方程为 y =12x. 过定点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l 的方程为 y=x-2, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去 y 可得 x -16x+4=0, 所以 x1+x2=16,线段 AB 的中点到抛物线的准线的距离为 答案:11 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12 分)(2015?福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y =4x 相交于不同的 A,B 两点. (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 (2)如果 ? ? 的值.
2 2 2

2

=1 的右焦点坐标为(3,0),

+ =

=

=11.

=-4,证明:直线 l 必过一定点,并求出该定点.
2 2

【解析】 (1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设 l:x=ty+1,代入抛物线 y =4x,消去 x 得 y -4ty-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4, 所以
2

·
2

=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2

2

=-4t +4t +1-4=-3. (2)设 l:x=ty+b,代入抛物线 y =4x, 消去 x 得 y -4ty-4b=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4b, 所以
2 2 2

·
2 2

=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t y1y2+bt(y1+y2)+b +y1y2
2

2

2

=-4bt +4bt +b -4b=b -4b. 令 b -4b=-4,所以 b -4b+4=0,所以 b=2, 所以直线 l 过定点(2,0). 所以若 · =-4,则直线 l 必过一定点(2,0).
2 2

-8-

17.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线 x(1)求圆 O 的方程. (2)若圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2

y=4 相切.

,求直线 MN 的方程. ? 的取

(3)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求 值范围. 【解析】(1)半径 r= 故圆 O 的方程为 x +y =4.
2 2

=2,

(2)因为圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,故 MN 的斜率等于直线 x+2y=0 斜率的负倒数, 等于 2, 设 MN 的方程为 y=2x+b,即 2x-y+b=0.

由弦长公式可得,圆心 O 到直线 MN 的距离等于 由点到直线的距离公式可得 1= 故 MN 的方程为 2x-y〒 =0. ,b=〒 ,

=1.

(3)圆 O 与 x 轴相交于 A(-2,0),B(2,0)两点,圆内的动点 P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列, 所以|PA|·|PB|=|PO| ,设点 P(x,y), 则有
2 2

·
2

=x +y ,

2

2

两边平方,化简可得 x =y +2. 由点 P 在圆内可得 x +y <4,故有 0≤y <1. 因为 即 · · =(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x +y -4=2(y -1)∈[-2,0), 的取值范围是[-2,0).
2 2 2 2 2 2 2

18.(12 分)(2015? 渭南模拟)已知 A,B 是抛物线 y =4x 上的两点,N(1,0),若存在实数λ ,使 λ ,且|AB|= ,令 A(xA,yA),知 xA>1,yA>0,求λ 的值.
2

=

【解析】易知 N(1,0)为抛物线 y =4x 的焦点,且直线 AB 过焦点 N, 当直线 AB 与 x 轴垂直时,xA=1 与 xA>1 矛盾,不合题意. 所以符合条件的直线 AB 的斜率存在且设为 k,

-9-

则直线方程为 y=k(x-1),代入 y =4x 得 k x -2(k +2)x+k =0, 已知 A(xA,yA),设 B(xB,yB), 则 xA+xB= ,xAxB=1. = ,
2 2 2 2

2

由抛物线的性质知 AB=xA+xB+2=4+ 得 k=〒 ,

又因为 xA>1,yA>0,所以 k=

,xA=3,xB= .





,得λ=

=

= .

19.(12 分 ) 已 知 椭 圆 C: F:(x-1) +y =r (r>0)上. (1)求椭圆 C 和圆 F 的方程.
2 2 2

+

=1(a>b>0) 的 离 心 率 为 , 右 焦 点 为 F, 右 顶 点 A 在 圆

(2)已知过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于另一点 B,与圆 F 交于另一点 P.请判断是否存在斜率不为 0 的直线 l,使点 P 恰好为线段 AB 的中点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意可得 c=1, 又由题意可得 = ,所以 a=2, 所以 b =a -c =3, 所以椭圆 C 的方程为 + =1,
2 2 2

所以椭圆 C 的右顶点为 A(2,0), 代入圆 F 的方程,可得 r =1, 所以圆 F 的方程为(x-1) +y =1. (2)假设存在直线 l:y=k(x-2)(k≠0)满足条件, 由 得(4k +3)x -16k x+16k -12=0. 设 B(x1,y1),则 2+x1= ,
2 2 2 2 2 2 2

- 10 -

可得中点 P 由点 P 在圆 F 上可得 化简整理得 k =0, 又因为 k≠0,
2

, + =1,

所以不存在满足条件的直线 l. 【一题多解】解决本题(2)还有如下方法: 假设存在直线 l 满足题意, 由(1)可得 OA 是圆 F 的直径, 所以 OP⊥AB. 由点 P 是 AB 的中点,可得|OB|=|OA|=2. 设点 B(x1,y1),则由题意可得 + =1. <4, =3+ <4,

又因为直线 l 的斜率不为 0,所以 所以|OB| =
2

+

=

+3

这与|OA|=|OB|矛盾,所以不存在满足条件的直线 l. 【加固训练】已知 A,B 是抛物线 W:y=x 上的两个点,点 A 的坐标为(1,1),直线 AB 的斜率为 k(k>0).设抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方. (1)求 k 的取值范围. (2)设 C 为 W 上一点,且 AB⊥AC,过 B,C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 D,判断四边形 ABDC 是否为梯形,并说明理由. 【解析】(1)抛物线 y=x 的焦点为
2 2

.

由题意,得直线 AB 的方程为 y-1=k(x-1), 令 x=0,得 y=1-k, 即直线 AB 与 y 轴相交于点(0,1-k). 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方, 所以 1-k> ,解得 k< . 因为 k>0,所以 0<k< . (2)结论:四边形 ABDC 不可能为梯形.

- 11 -

理由如下: 假设四边形 ABDC 为梯形. 由题意,设 B(x1, ),C(x2, ),D(x3,y3),

联立方程 消去 y,得 x -kx+k-1=0, 由根与系数的关系,得 1+x1=k,所以 x1=k-1. 同理,得 x2=- -1. 对函数 y=x 求导,得 y′=2x, 所以抛物线 y=x 在点 B 处的切线 BD 的斜率为 2x1=2k-2, 抛物线 y=x 在点 C 处的切线 CD 的斜率为 2x2=- -2. 由四边形 ABDC 为梯形,得 AB∥CD 或 AC∥BD. 若 AB∥CD,则 k=- -2, 即 k +2k+2=0, 因为方程 k +2k+2=0 无解, 所以 AB 与 CD 不平行, 若 AC∥BD,则- =2k-2,即 2k -2k+1=0, 因为方程 2k -2k+1=0 无解, 所以 AC 与 BD 不平行, 所以四边形 ABDC 不是梯形,与假设矛盾. 因此四边形 ABDC 不可能为梯形. 20.(13 分)已知椭圆 C: + 径的圆与直线 x+y+ =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半
2 2 2 2 2 2 2 2

=0 相切,A,B 是椭圆的左、右顶点,直线 l 过 B 点且与 x 轴垂直.

- 12 -

(1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 G 是椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点,作 GH⊥x 轴于点 H,延长 HG 到点 Q 使得 HG=GQ,连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M,N 为线段 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系, 并证明你的结论. 【解析】(1)由题意可得 e= = . =0 相切,

因为以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+ 所以
2 2 2

=b,解得 b=1.

由 a =b +c ,可得 a=2. 所以椭圆 C 的标准方程为 +y =1. (2)直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切,证明如下: 由(1)可知 A(-2,0),B(2,0),直线 l 的方程为 x=2. 设 G(x0,y0)(y0≠0), 于是 H(x0,0),Q(x0,2y0),且有 + =1,即 4 =4.
2

连接 BQ,设直线 AQ 与直线 BQ 的斜率分别为 kAQ,kBQ, 因为 kAQ·kBQ= · = = =-1,

即 AQ⊥BQ,所以点 Q 在以 AB 为直径的圆上. 因为直线 AQ 的方程为 y= (x+2).



解得

即M

,所以 N

.

所以直线 QN 的斜率为 kQN=

=

=

=

,

- 13 -

所以 kOQ·kQN=

·

=-1,

于是直线 OQ 与直线 QN 垂直, 所以直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切. 21.(14 分)已知椭圆 C: + 被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆 C 的方程. (2)设经过点 M(0,2)作直线 AB 交椭圆 C 于 A,B 两点,求△AOB 面积的最大值. (3)设椭圆的上顶点为 N,是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为△PQN 的垂心?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)设 F(c,0),则 = ,知 a= c. =1(a>b>0)的右焦点为 F,离心率为 ,O 为坐标原点. ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线

过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x=c, 代入椭圆方程,有 解得 y=〒 于是
2 2

+

=1,

b. ,解得 b=1. ,c=1.
2

b=
2

又 a -c =b ,从而 a=

所以椭圆 C 的方程为 +y =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意可设直线 AB 的方程为 y=kx+2. 由
2 2

消去 y 并整理,

得(2k +1)x +8kx+6=0, 由Δ=(8k) -24(2k +1)>0,得 k > . 由根与系数的关系, 得 x1+x2=,x1x2= . ,
2 2 2

因为点 O 到直线 AB 的距离为 d=

- 14 -

|AB|= 所以 S△AOB= |AB|d=

,

=
2

.
2

设 t=2k -3,由 k > ,知 t>0.

于是 S△AOB=

=

.

由 t+

≥8,得 S△AOB≤
2

,

当且仅当 t=4,即 k = 时等号成立. 所以△AOB 面积的最大值为 .

(3)假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,且 F 为△PQN 的垂心. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为 N(0,1),F(1,0),所以 kNF=-1. 由 NF⊥PQ,知 kPQ=1. 设直线 l 的方程为 y=x+m, 由 得 3x +4mx+2m -2=0.
2 2

由Δ>0,得 m <3,且 x1+x2=由题意,有 因为 · =0.

2

,x1x2=

.

=(x1,y1-1),

=(x2-1,y2),

所以 x1(x2-1)+y2(y1-1)=0, 即 x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0, 所以 2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m -m=0, 于是 2〓 - m(m-1)+m -m=0,
2 2

解得 m=- 或 m=1. 经检验,当 m=1 时,△PQN 不存在,故舍去 m=1.

- 15 -

当 m=- 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y=x- .

- 16 -


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