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2.1直线与圆的位置关系(1)


我回顾
点和圆的位置关系有几种?
(1)d<r 点在圆内

(2)d=r
(3)d>r

点在圆上
点在圆外

3.1直线与圆的位置关系(1)

直线与圆的位置关系
(用公共点的个数来区分) 直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交, 直线和圆有唯一的公共点, 叫做直线和圆相切。
.O

.
A

.O

.
B

l

(这时的直线叫圆的切线,公共点D为切点。)

.
切点D

l

直线和圆没有公共点, 叫做直线和圆相离。

.O l

我发现
思考: 在直线与圆的三种位置关系中,垂足与 圆分别 有什么位置关系?
直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 垂足在圆内 垂足在圆上 垂足在圆外

转化思想

做一做
1、设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为 d.根据下列条件判断直线l与⊙O的位置关系. (1)d=4,r=3;

∵d> r∴直线l与⊙O相离

(2)d= 1.5 , r= 3 ∵ ; d < r∴直线l与⊙O相交 √ 5 ,r=2 √ 5; ( 3) d = 2 ∵d=r∴直线l与⊙O相切

2、已知⊙O的半径为r,点O到直线L的 距离为5厘米。 (1)若⊙O与L相切,则r=______厘米。 (2) 若r等于2厘米,则L与⊙O有__个公 共点; (3)若r大于5厘米,则L与⊙O的位置关系 是____________;

3、⊙O的直径为4,圆心O到直线l 的距离为3,则直线l与⊙O的位 置关系是( ) (A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)相切或相交

4、 直线上的一点到圆心O的距 离等于⊙O的半径,则直线与 ⊙O ( ) (A) 相切 (B) 相交 (C)相离 (D)相切或相交

我尝试 例1:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,
r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系? (1)r =2.4cm;(2)r =2cm;(3)r =3cm 解:过C作CD⊥AB,垂足为D(如图),

AB ? AC2 ? BC2 ? 32 ? 42 ? 5 1 1 根据三角形的面积公式有: CD ? AB ? AC ? BC 2 2
AC ? BC 3 ? 4 ? CD ? ? ? 2.4cm AB 5

D

即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
(1)当r =2.4cm时, ∵d=r ,因此⊙C和直线AB相切 (2)当r =2cm时, ∵d>r ,因此⊙C和直线AB相离 (3)当r =3cm时, ∵d<r ,因此⊙C和直线AB相交

变式一:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm, BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆,
1、当r满足____________ 时, ⊙C与直线AB相切。

B 5

2、当r满足________________时, ⊙C与直线AB相离。 3、当r满足____________时, ⊙C与直线AB相交。

4
C 3

D

A

变式二:若要使圆C与线段AB只有一个公共点,
这时圆C的半径 r 有什么要求?
B

当 r = 2.4

C D A

或 3 < r ≤ 4时, 圆C与线段AB只 有一个公共点。



船有无触礁的危险
例2:在码头A的北偏东60°方向有一个海岛,离该 岛中心P点的15海里范围内是一个暗礁区。货船从码头A 由西向东方向航行,行驶了10海里到达B点,这时岛中心 P在北偏东45°方向, (1)若货船不改变航向,你认为货船会有触礁的危 险吗?

思考:要判断货轮是否 有触礁危险,关键是要 解决怎样的一个数学问 题?
A



暗礁区
P

600

450

B

H

(2)为了避开暗礁区,船 必须改变航向,问船至少 转过多少角度,才能避开 暗礁区?



暗礁区
P

思考:船恰好避开 暗礁区,此时船的 航线与暗礁区有怎 样的位置关系?

600

450

A

B

H

我小结
1、直线与圆三种位置关系

2、四种数学思想
分类讨论思想 数形结合思想:数量关系——位置关系; 类比思想:点与圆的位置关系的探究---直线与圆的位置关系的探究 转化思想

我能行
1、在平面直角坐标系中,以A (1,2)为圆心的 圆的半径满足下列条件时,分别求出其半径的 取值范围: (1)与y轴只有一个交点 (2)与x轴只有一个交点 (3)与坐标轴只有唯一交点 (4)与坐标轴有两个交点 (5)与坐标轴有三个交点 (6)与坐标轴有四个交点

2、⊙O的半径为4cm,弦AC=4 3 cm, AB=4cm, 若以点 O为圆心,再作一个圆与AC相切,则这个圆的 半径为多少?这个圆与AB的位置关系如何?

3、两个同心圆的半径分别是3cm和2cm, AB是大圆的一条弦。当AB与小圆相交、 相切、相离时,AB的长分别满足什么条件?

A O

B

A O

B

A

B

O

我真牛
1、如图,∠AOB=30°,点M在OB上,OM=5cm, 以M为圆心,r为半径画圆,试讨论: (1)⊙M和射线OA没有公共点时,r的取值; (2)⊙M和射线OA有一个公共点时,r的取值; (3)⊙M和射线OA有两个公共点时,r的取值。

2、 如图,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC, ∠C= 30° ,AD=1,AB=2.
试猜想在BC是否存在一点P,使得⊙P与线段CD、 AB都相切,如存在,请确定⊙P的半径.
A D

B

30?

C

3、在平面直角坐标系中,以A (-2,0)为圆心的圆 半径为1,直线l为y=2x-2,若⊙A沿x轴向右运 动,当⊙A与直线l有公共点时,点A移动的最大 距离是多少?

方程 几何综合练习题
设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d,r 是方程(m+9)x2-(m+6)x +1=0的两根,且直线与 ⊙O相切时,求m的值?
解:由题意可得 b2-4ac= [-(m+6)]2-4(m+9)=0 解得 m1= -8 m 2= 0 当m=-8时原方程 为x2+2x+1=0 x1=x2= -1 (不符合题意舍去) 当m=0时原方程 为9x2-6x+1=0 x1=x2= 1 3 ∴ m=0

析:直线与⊙O相切

d=r
b2-4ac=0
[-(m+6)]2-4(m+9)=0


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