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2013版高中数学全程学习方略配套课件:3.2.2一元二次不等式及其解法习题课(人教A版必修5)_图文

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不等式中的恒成立问题 【名师指津】1.不等式的解集为R的条件 (1)不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)的

条件是:
当a=0时,b=0,c>0;
? 当a≠0时, ? a?0 . ? ? 0 ?

(2)不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数(或恒成立)的 条件是: 当a=0时,b=0,c<0;当a≠0时, ?
?a ? 0 . ? ? 0 ?

2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 (1)f(x)≤a恒成立? ?[f(x)]max≤a;

(2)f(x)≥a恒成立? [f(x)]min≥a. ?
【特别提醒】解题时对参数的讨论要做到不重不漏.

【例1】当a为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解是全 体实数? 【审题指导】解答本题应先考虑a2-1=0的情形,然后当a2-1
?a 2 ? 1 ? 0, ≠0时按 ? 求解. ?? ? 0

【规范解答】(1)当a2-1=0,即a=〒1时,

若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立.
若a=-1,则原不等式为2x-1<0,

即x< 1 , 不符合题目要求,舍去.
2

(2)当a2-1≠0,即a≠〒1时,原不等式的解集为R的条件是
2 ? a ? ?1 ? 0 ? 2 2 ? ? a ? 1 ? 4 a ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? 解得 ? 3 <a<1. 5 综上所述,当 ? 3 <a≤1时,原不等式的解为全体实数. 5

【例】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c且f(-1)=0,是否存在

常数a,b,c,使得不等式x≤f(x)≤ 1 (x2+1)对一切实数x都
2

成立,并求出a,b,c的值.

【审题指导】由已知条件列出a、b、c的关系式,用一个参
数表示其他参数,然后利用不等式求解.

【规范解答】已知f(-1)=a-b+c=0



若存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤ 1(x2+1),
2

则1≤f(1)≤1,∴f(1)=a+b+c=1
1 1 1 1 , 则f(x)=ax2+ x+ -a, 2 2 2 2 ∵x≤f(x)≤ 1(x2+1)对一切实数x都成立, 2 1 ? 2 1 ax ? x ? ? a ? x ? ? 2 2 ∴ 恒成立. ? ?ax 2 ? 1 x ? 1 ? a ? 1 (x 2 ? 1) ? 2 2 2 ?



由①②得b= , a+c=

1 ? 2 1 ax ? x ? ? a ? 0 ? ? 2 2 即? 恒成立. ?(a ? 1 )x 2 ? 1 x ? a ? 0 ? 2 2 ? 对于不等式ax2- 1 x+ 1 -a≥0恒成立,则 2 2

?a ? 0 ?a ? 0 1 ? ? 得? ,? a ? . ? 2 1 1 2 4 4a ? 2a ? ? 0 ?(a ? ) ? 0 ? 4 4 ? ? 对于不等式(a- 1 )x2+ 1 x-a≤0恒成立,则 2 2 1 ? 1 ? a ? ? 0 a ? ? ? 1 ? 2 ? 2 即 , ? a ? . ? ? 4 ?4a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ?(a ? 1 ) 2 ? 0 ? ? 4 4 ? ?

∴a= 1 时,x≤f(x)≤ 1(x2+1)对一切实数x都成立.
4 2

∴存在常数 a ? 1 , b ? 1 ,c ? 1 , 使得不等式x≤f(x)≤ 1 (x2+1)
4 2 4 2

对一切实数x都成立.

一元二次不等式的实际应用
【名师指津】解不等式应用题,一般可按如下四步进行:

(1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等
关系; (2)引入数学符号,用不等式表示不等关系(或表示成函数 关系); (3)解不等式(或求函数最值); (4)回扣实际问题.

【特别提醒】解答应用题一定要注意问题的实际意义和单

位统一.

【例2】政府收购某种农产品的原价是100元/担,其中征税标准 为每100元征10元(叫做税率为10个百分点,即10%),计划收 购a万担,为了减轻农民负担,现决定将税率降低x个百分点, 预计收购量可增加2x个百分点,要使此项税收在税率调节后不 低于原计划的83.2%,试确定x的取值范围. 【审题指导】税收=征税总额〓税率,建立税收随税率降低的百 分点x变化的函数关系,然后用不等式表示不等关系即可 .

【规范解答】∵税率降低x个百分点,
∴预计收购量可增加为a( 1 ? 2x )万担,
10 ? x ,由题意得 100 10 ? x 100〓a( 1 ? 2x )〓 ≥100〓a〓10%〓83.2%, 100 100 100

税率变为

即x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2,∴0<x≤2. 即x的取值范围是(0,2].

与参数有关的分式不等式

【名师指津】将分式不等式转化为整式不等式应注意的问题
(1)在将分式不等式化为整式不等式的过程中应注意分母的

符号,不能冒然将其乘到另一边,正确的方法是移项通分.
(2)化为含参数的一元二次不等式后,先讨论二次项系数的 符号,再讨论根的大小,解题过程有条不紊,顺理成章.

【例】解不等式

a ? x ? 1? x?2

>1(a≠1)

【审题指导】先将其转化为整式不等式,再利用解一元二次 不等式的知识解答,注意分类讨论.
a ? x ? 1? x?2

【规范解答】原不等式可化为
即(a-1)(x-

-1>0,

a?2 )(x-2)>0.① a ?1 a?2 (1)当a>1时,①即为 (x ? ) (x-2)>0, a ?1 ?a 而 a?2 ?2 = <0. a ?1 a ?1 a?2 ∴ <2,此时x>2或x< a ? 2 . a ?1 a ?1

(2)当a<1时,①即为(x而 2? a ?2 ? a .
a ?1 a ?1

a?2 ) (x-2)<0, a ?1

(ⅰ)若0<a<1,则

a?2 a?2 >2,此时2<x< ; a ?1 a ?1 a?2 <x<2. a ?1

(ⅱ)若a=0,则(x-2)2<0,此时无解; (ⅲ)若a<0,则 a ? 2 <2,此时
a ?1

综上所述: 当a>1时,不等式的解集为{x|x< a ? 2 或x>2};
a ?1

当0<a<1时,不等式的解集为{x|2<x<

a?2 }; a ?1

当a=0时,不等式的解集为? ?;
当a<0时,不等式的解集为{x| a ? 2 <x<2}.
a ?1

【典例】(12分)已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都 在x轴上方,求实数k的取值范围. 【审题指导】函数图象在x轴上方,由图象的不同情况去分析. 【规范解答】(1)当k2+4k-5=0时,k=-5或1. 若k=-5,则y=24x+3的图象不可能都在x轴上方,故k≠-5. ……………………………………………………………………3分 若k=1,则y=3的图象都在x轴上方. ………………………5分

(2)若k2+4k-5≠0则所给函数为二次函数,应有
?k 2 ? 4k ? 5 ? 0 ? ?? k ? 5 ?? k ? 1? ? 0 ,即 ? ? ? ?? ? 0 ?? k ? 1?? k ? 19 ? ? 0

……………………8分

解得1<k<19. …………………………………………………10分 由(1)、(2)得1≤k<19. ………………………………12分

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.若不等式x2+mx+ m >0的解集为R,则实数m的取值范围是
2

( (A)m>2 (C)m<0或m>2 【解析】选D.x2+mx+ ∴0<m<2,故选D. (B)m<2 (D)0<m<2



m m >0恒成立等价于Δ<0,即m2-4〓 <0, 2 2

2.若函数 y ? kx 2 ? 6kx ? (k ? 8) 的定义域为R,则k的取值范 围是( ) (B)(1,+∞) (D)[0,1]

(A)[1,+∞) (C){0}∪(1,+∞) 【解析】选D.当k=0时,成立.

当k≠0时,若定义域为R,即kx2-6kx+(k+8)≥0的解集为R,
? ?k>0, 则 ? ? ? 0<k≤1. 2 ( ? 6k)? 4k ? k ? 8 ? ? 0 ? ?? ?

综上k∈[0,1].

3.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,

则实数a的取值范围是(
(A)(-∞,2)



(B)(-∞,2]

(C)(-2,2)

(D)(-2,2]

【解析】选D.当a-2≠0时
? ?a ? 2, ?a ? 2 ? 0, ?? 2 ? -2<a<2. ? 2 ? ?4 ? a ? 2 ? ? 4 ? a ? 2 ?? ?4 ? ? 0 ?a ? 4

当a-2=0时,-4<0恒成立. 综上所述,-2<a≤2.故选D.

4.如果关于x的不等式2kx2+kx-

3 <0对一切实数x都成立, 8

则k的取值范围是_______.
3 8 ?2k ? 0, 当k≠0时,等价于? ? 3 2 ? ? k ? 4 ? 2k ? ( ? ) ? 0, ? 8 ?

【解析】当k=0时, ? <0对一切实数x都成立.

∴-3<k<0,综上所述,-3<k≤0.

答案:(-3,0]

5.某大学在对一个长800米、宽600米 的空地进行绿化时,是这样设想的:

中间为矩形草坪,四周是等宽的花坛,
若要保证草坪的面积不小于空地面积的二分之一,试确定

花坛宽度的取值范围.

【解析】设花坛宽度为x米,则矩形草坪的长为(800-2x) 米,宽为(600-2x)米,根据题意,得(800-2x)(600-2x) ≥1 〓800〓600.整理得x2-700x+60 000≥0,解得x≥600(舍
2

去)或x≤100,由题意知x>0,所以0<x≤100. 答:当花坛宽度在(0,100]米的范围内取值时,草坪的 面积不小于空地面积的二分之一.


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