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第7章立体几何第2讲空间图形的基本关系与公理知能训练轻松闯关理北师大版

第 2 讲 空间图形的基本关系与公理 1.已知 l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 解析:选 B.在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故 A 错;两条平行直线中 的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B 正确;相互平行的三条直线不 一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧 棱,故 D 错. 2.(2016·赣州四校联考)若平面 α ∥平面 β ,点 A,C∈α ,B,D∈β ,则直线 AC∥直线 BD 的充要条件是( ) A.AB∥CD B.AD∥CB C.AB 与 CD 相交 D.A,B,C,D 四点共面 解析:选 D.因为平面 α ∥平面 β ,要使直线 AC∥直线 BD,则直线 AC 与 BD 是共面直线, 即 A,B,C,D 四点必须共面. 3.(2014·高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3, l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 解析:选 D. 如图,在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,记 l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若 l4=AA1,满足 l1⊥l2,l2 ⊥l3,l3⊥l4,此时 l1∥l4,可以排除选项 A 和 C.若 l4=DC1,也满足条件,可以排除选项 B. 故选 D. 4.如图,α ∩β =l,A,B∈α ,C∈β ,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A, B,C 三点的平面记作 γ ,则 γ 与 β 的交线必经过( ) A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M 解析:选 D.因为 AB γ ,M∈AB,所以 M∈γ . 又 α ∩β =l,M∈l,所以 M∈β . 根据公理 3 可知,M 在 γ 与 β 的交线上. 同理可知,点 C 也在 γ 与 β 的交线上. 5.(2016·昆明质检)已知 A、B、C、D 是空间四个点,甲:A、B、C、D 四点不共面,乙: 直线 AB 和直线 CD 不相交,则甲是乙成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.因为 A、B、C、D 四点不共面,则直线 AB 和直线 CD 不相交,反之,直线 AB 和 直线 CD 不相交,A、B、C、D 四点不一定不共面.故甲是乙成立的充分不必要条件. 6.(2016·郑州模拟)如图所示,ABCD?A1B1C1D1 是正方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论正确的是( ) A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O,A1 不共面 C.A,M,C,O 不共面 D.B,B1,O,M 共面 解析:选 A.连接 A1C1,AC(图略),则 A1C1∥AC, 所以 A1,C1,A,C 四点共面,所以 A1C 平面 ACC1A1. 因为 M∈A1C,所以 M∈平面 ACC1A1. 又 M∈平面 AB1D1, 所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上, 同理 A,O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上. 所以 A,M,O 三点共线. 7. (2016·郑州模拟)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中 点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60°角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是____________. 解析: 如图,把平面展开图还原成正四面体,知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60°角,DE 与 MN 垂直,故②③④正确. 答案:②③④ 8. 如图所示,在三棱锥 A?BCD 中,E,F,G,H 分别是棱 AB,BC,CD,DA 的中点,则当 AC,BD 满足条件________时,四边形 EFGH 为菱形,当 AC,BD 满足条件________时,四边形 EFGH 是正方形. 1 1 解析:易知 EH∥BD∥FG,且 EH= BD=FG,同理 EF∥AC∥HG,且 EF= AC=HG,显然四边形 2 2 EFGH 为平行四边形.要使平行四边形 EFGH 为菱形需满足 EF=EH,即 AC=BD;要使四边形 EFGH 为正方形需满足 EF=EH 且 EF⊥EH,即 AC=BD 且 AC⊥BD. 答案:AC=BD AC=BD 且 AC⊥BD 9.在图中,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异 面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号). 解析:图①中,直线 GH∥MN;图②中,G,H,N 三点共面,但 M?平面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面;图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面;图④中,G,M,N 共面,但 H?平 面 GMN,因此 GH 与 MN 异面.所以在图②④中 GH 与 MN 异面. 答案:②④ 10. 如图所示,正方体的棱长为 1,B′C∩BC′=O,则 AO 与 A′C′所成角的度数为________. 解析:连接 AC.因为 A′C′∥AC, 所以 AO 与 A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角). 因为 OC⊥OB,AB⊥平面 BB′C′C, 所以 OC⊥AB.又 AB∩BO=B, 所以 OC⊥平面 ABO. 又 OA 平面 ABO,所以 OC⊥OA. 2 在 Rt△AOC 中,OC

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