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从一道美国数学邀请赛试题的多解看数学解题的层次


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 从一道美国数学邀请赛试题的多解看数学解 题的层次 作者:刘培杰 来源:《中学数学杂志(高中版)》2015 年第 05 期 本文先给出一道试题的四个不同解法并以此论及关于解题方法的层次问题,起因是现在应 试教育大背景之下,关于问题的解法受到了空前的重视,《美国数学月刊》前任主编哈尔莫斯 曾说:“问题是数学的心脏.”国际解题大师波利亚又说:“解题像钓鱼术一样,永远不会被学 会.”同时又告诫广大数学教师要“养成良好的解题胃口”,那么究竟应该怎样教给学生解题方法 呢?以第 8 届美国数学邀请赛的第 15 题为例: \[试题 A\]实数 a,x,b,y 满足 ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,求 ax5+by5 的值. 在英国科普作家辛格所著的《费马最后定理》一书中,形容数学定理的第一个证明“想要 进入一个黑暗的屋子,当然首先是要靠蛮力打破窗户,或破门而入”.下面的解法一虽不优美但 毕竟提供了一种可靠的解法. \[解法一\]根据题意,得 ax+by=3,(1)ax2+by2=7,(2)ax3+by3=16,(3)ax4+by4=42.(4) 首先证明 x≠0,y≠0. 若 x=0,y=0,式(1),(2),(3),(4)均不成立 若 x=0,y≠0,则有 by=3,by2=7,by3=16,by4=42, 以上四式显然不可能同时成立 同样可知,x≠0,y=0 也不可能,于是 x≠0,y≠0. 对式(4),两边同乘以 x,有 ax5=42x-bxy4,(5) 再对式(4)两边同乘以 y,有 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn by5=42y-ax4y,(6) 式(5)+(6)有 ax5+by5=42(x+y)-xy(ax3+by3) 再由式(3)得 ax5+by5=42(x+y)-16xy,(7) 同样由式(3)可得 ax4=16x-bxy3, by4=16y-ax3y. 再由式(4)及式(2)得 42=16(x+y)-7xy,(8) 同样由式(2)得 ax3+by3=7(x+y)-3xy,(9) 解关于 x+y 和 xy 的方程(8),(9)得 x+y=-14,xy=-38, 代入式(7)得 ax5+by5=42× (-14)-16× (-38)=20. 在有了\[解法一\]之后,就好比进入了屋子,找到电灯开关,打开灯看到了门,再由门 进入,解法自然会简洁的多. \[解法二\]此题的形式为 axn+byn,设其为 Rn,所以有 Rn=axn+byn=(axn-1+byn-1)(x+y)-(axn-1y+bxyn-1)=(axn-1+byn-1)(x+y)-xy (axn-2+byn-2)=Rn-1(x+y)-Rn-2xy 取 n=3 有: 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn R2(x+y)-R1xy=R3, 即 7(x+y)-3xy=16,(1) 取 n=4 有: R3(x+y)-R2xy=R4, 即 16(x+y)-7xy=42,(2) 取 n=5 有: R5=R4(x+y)-R3xy,(3) 解(1),(2)得 x+y=-14,xy=-38. 代入(3)式得 R5=42× (-14)-16× (-38)=20, 所以 ax5+by5=20. 对一个问题解法是否优美的评价除了正确之外,还有一个维度是使用工具的高下.华人数 论专家张益唐解决孪生素数猜想的论文之所以短短三周就被《数学年刊》所接受

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